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第6章《平行四边形》复习题-- 常用五种构造三角形中位线的方法
【题型1 连接两点构造三角形的中位线】
1．如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
2．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，则为（　　）
A．3 B． C．4 D．
4.如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点．
(1)求证：和互相平分；
(2)若，，，求的面积．
5．如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接．
(1)求证：与互相平分；
(2)若，求的长．
6．如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接交于点，若，，求的长．
7．（1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明．
已知：如图1，是的中位线．
求证：．
（2）【实践应用】
如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论．
【题型2 倍长法构造三角形的中位线】
1．如图，四边形中，．M是的中点，则的长为( )
A． B．2 C． D．3
2．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 ．
4．【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.
已知：如图1，在中，，是的中点；
（1）求证：.
（2）【灵活运用】如图2，四边形ABCD中，，，E，F分别是，的中点，连接，，，求证：．
5．如图，在中，，，是的中点，是上一点，若平分的周长，则的长等于 ．
【题型3 已知角平分线与垂直关系构造中位线】
1.在中，点是的中点，平分，于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2.如图，在中，BD平分∠ABC，过点C作于点D，E是边AC的中点，连接DE，若，，则AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．7 D．9
3．已知：如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长等于 ．
4.如图，中，，分别平分、，，连接，则 ．

5．如图，中，，过点作的平行线，与的平分线交于点，若，．、分别是、的中点，则的长为 ．
6．已知：点在正方形的边的延长线上，连接，过点作，交边于点．
(1)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由：
(2)如图2，连接，，作的平分线交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作，交的延长线于点，为的中点，连接．若，，请求出的长．
7．在和中，，，，，点F是线段的中点，连接．
(1)若D在上，
①如图1，点E恰好落在上，请探究线段与的数量关系；
②如图2，试探究线段与的数量关系；
(2)如图3，，点D不在上，， ， ，直接写出的面积是————·
【题型4 已知中点，取其他边中点构造三角形的中位线】
1．如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ．
2．如图，已知中，，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．

(1)如图1，若点是的中点，求证：；
(2)如图2，若，且点是的中点．
①判断线段、与之间存在的数量关系，并证明；
②若，直接写出的面积．
【题型5 作其他辅助线构造三角形的中位线】
1．如图，在中，平分交于点．若，是中点，，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知如图，正方形，，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则 ．
3．已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上．
(1)①依题意补全图1；
②若垂直，直接写出的值；
(2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明．
4．如图（1），在等腰中，，可以由通过顺时针旋转变换得到．
(1)请直接写出旋转中心及最小旋转角的大小（用含的式子表示） ；
(2)如图（2），若M为中点，点D在上，过点M作于Q，交于点N．
①求证：N为的中点；
②若，点D在上运动时（包括M，C两个端点），直接写出的最小值．
5．如图，在和中，，，，不动，绕点旋转，连接为的中点，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
6．如图，在矩形纸片中，，，E为边上一点，将沿所在的直线折叠，点C恰好落在边上的点F处，过点F作，垂足为点M，取的中点N，连接，则的长为 ．
参考答案
【题型1 连接两点构造三角形的中位线】
1．A
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可．
【详解】解：如图，过点B作于H，连接；

∵F，M分别是的中点，
∴，
当取最小值时，的值最小，
由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】连接，判定四边形是矩形，推出，由三角形中位线定理得到，因此，当时，最小，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式，得到的面积，求出，即可得到的最小值是．
【详解】解：连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，当时，最小，
此时的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明是的中位线．连接交于O，由平行四边形的性质推出，，证明是的中位线，得到，求出，得到，求出，从而．
【详解】解：连接交于O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4.（1）证明：如图，连接，
∵是的中线，点是的中点，
∴，，
同理可得：，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴和互相平分．
（2）解：由（1）已证：和互相平分，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
5．（1）证明：连接，．

∵点E，F分别为、的中点，
∴， ．
又∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴与互相平分．
（2）解：在中，，E为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴．
6．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点G，H分别是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
7．证明：（1）如图所示，延长到F，使得，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，且；
（2）如图，连接，
∵是的中位线，是边上的中线，
∴分别为的三边中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
【题型2 倍长法构造三角形的中位线】
1．C
【分析】延长到E使，则四边形是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到，根据跟勾股定理得到的长，于是得到结论．
【详解】：延长到E使，
∵，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴，
∵，
∴C是的中点，
∵M是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了、三角形中位线定理、正方形的性质、三角形三边关系、勾股定理，延长至点，使，连接，，，由三角形中位线定理可得，由正方形的性质结合勾股定理可得，，由三角形三边关系可得，从而可得的最大值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，，，
，
点是的中点，，
是的中位线，
，
正方形、正方形的边长分别为4和1，
，，
，
的最大值为，
的最大值为，
故选：D．
3．3
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
，是的中点，
是的中位线，
，
故答案为：3．
4．解：证明：如图1，延长至点，使，连接、，
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，
，是的中点，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
．
5．
【分析】此题考查了三角形中位线定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点；延长至点使得，连接，作于点，则，易得，又由已知得，则，故为中位线，从而得．
【详解】延长至点使得，连接，作于点，

则，
∴，
∴，
∵平分的周长
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴为中位线，
∴．
故答案为：．
【题型3 已知角平分线与垂直关系构造中位线】
1.（1）解：延长交于，

平分，于点，
，，
在和中，
，
．
，
点是的中点，
，
是的中位线．
；
（2），
，
是的中位线．
，
故的长为1．
2.A
【分析】如图，延长BA，CD交于点F，根据角平分线和垂线证得BF=BC，DF=CD，再利用中位线的性质得到AF=2DE，即可计算AB=BF-AF，求得答案．
【详解】如图，延长BA，CD交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴△FBC是等腰三角形（三线合一），
∴，，
∴D是CF的中点，
∵E是边AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∴；
故选：A．
3．
【分析】本题考查了三角形中位线的性质以及勾股定理的应用，设交于点，过点作，则，为中点，在中求出的长度，根据已知条件易知为中点，因此为中点，则，即可求解．
【详解】解：设交于点，过点作，
是的中线，，
为中点，，
，则，，
是的角平分线，
∴
又∵，
∴
∴
又∵
，
为中点，
为中点，
．
故答案为：．
4.2
【分析】利用勾股定理求得，分别延长交于点F、G，证明和，推出，，，，得到是的中位线，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
分别延长交于点F、G，

∵分别平分，，又，
∴，
∴，，
同理，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
5．
【分析】连接并延长交于，先求出，由，是的平分线推出，证明得，，则，再证明为的中位线，即可得解．
【详解】解：如图，连接并延长交于，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点为的中点，即点是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
6．（1）解：与的数量关系为：．理由如下：
四边形是正方形，
，，
即：．
在与中，
，
，
；
（2）证明：，，
是等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，
．
平分，
．
，
即，
，
；
（3）解：延长交于点，如图，
由（1）知：，
．
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理得：
，
四边形是正方形，
平分，
平分，三角形的三条角平分线交于一点，
平分，
．
，
．
在和中，
，
，
，，
，
，为的中点，
为的中位线，
．
7．（1）解：① ，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点F是线段的中点，
∴，
∵，
∴；
② ，理由如下：
延长至S，使，连接，如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）解：延长至S，使，连接，，过点D作于点T．如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
同上可证，
∴．
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
【题型4 已知中点，取其他边中点构造三角形的中位线】
1．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理．取的中点K，连接，证明，得到，求出的长即可得到．
【详解】解：取的中点K，连接，
∵点D为的中点，点K为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，点D为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．C
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、以及三角形中位线等知识，取的中点F，连接，，由旋转的性质及三角形中位线定理求出，由勾股定理求出的长，由直角三角形的性质求出的长，则可求出答案．
【详解】解：取的中点F，连接，，
∵将直角边绕A点逆时针旋转至，
∴，
∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
∵F为中点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案．
【详解】解：如图，在上取点，使得，连接，
则，
∵是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，设的中点为，连接、，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，为的中位线，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
5．（1）∵点是的中点，
．
由折叠，得．
，
．
是的一个外角，
．
，
，
．

（2）①，理由如下：
如图，过点作交延长线于点，连接．
．
点是的中点，
，
．
．
由折叠，得，
，
．
在Rt中，由勾股定理，得，
．

②取的中点M，连接，则是的中位线，
则
，

设，则
在由勾股定理得：
即
解得：
则，
设则
解得：
故的面积为．
【题型5 作其他辅助线构造三角形的中位线】
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
延长、交于点F，过点D作交于G，证，得出，证出，得出，，证明是的中位线，得出，得出，即可得出答案．
【详解】解：延长、交于点F，过点D作交于G，如图所示：
则，
∵E是中点，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．
【分析】并延长交于， 连接，根据正方形的性质得到根据全等三角形的性质得到根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
【详解】解： 连接并延长交于， 连接，
∵四边形是正方形，
，
∵分别是边的中点，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
∵点分别是的中点，
，
故答案为：．
3．（1）解：①补全图形如图，
②由旋转得，，旋转角度为，
∴，
∴，
∵垂直，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接并延长，交延长线于点，连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由旋转得，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
即：．
4．（1）解：可以由通过旋转变换得到，，，，
旋转中心为，旋转方向是顺时针，旋转角为；
（2）①证明：过作于，交于，如图：
可以由通过旋转变换得到，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，，
，
是的中位线，
点为的中点；
②解：点在上运动（包括，两个端点），当与重合时，最小，故最小，如图：
，，为中点，
，，
，，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
的最小值为．
5．（1）证明：如图①，
∵，，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵在中，F为的中点，
∴，
∴．
（2）证明：成立，理由如下：
如图②，延长交于G，在上截取，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．
【分析】连接，，由折叠的性质得出，由勾股定理求出，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【详解】解：如图，连接，，
由翻折的性质可知，垂直平分线段，
，
又，
，，共线，
，
四边形是矩形，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．

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