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2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题七 二元一次方程组
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 二元一次方程组的解法
【例1】．用指定的方法解下列方程组
(1)（代入法）
(2)（加减法）
方法指导
二元一次方程组通常解法两种：代入法，加减法，我们可以根据具体的情况选择简便的解法，如果方程中有未知数系数是1时，一般可以应用代入消元法，如果两个方程的相同未知数系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法，如果方程组中系数没有特殊规律，采用加减消元法。
变式训练1
1．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
2．解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________；
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组；
(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解．
3．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得；乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根．
4．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5．
(1)如果，2〇，求的值；
(2)若1〇，4〇，求，的值．
5．已知关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
重难点2 二元一次方程的整数解
【例2】．已知二元一次方程．
(1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______；
(2)填表，使x，y的值是方程的解；
x 1 2 3 4 5
y
(3)求方程的非负整数解．
方法指导
二元一次方程一般有无数组解，在特定情况下有有限的解，通常用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再在给定的条件下取特殊值，确定另一个未知数的值，
变式训练2
1．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，．
(1)当时，求的值；
(2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值．
2．张老师计划用200元购买A，B两种奖品（两种都要买），A种奖品每个15元，B种奖品每个25元，在钱全部用完的情况下，购买方案共有多少种？
3．已知小明某日摄取了热量，摄取食物的情况如下表所示：
食物 谷物 蔬菜 水果 牛奶 蛋或肉
摄取份数 x 4 3 y 6
每份热量 880 160 240 600 300
小明摄取了几份谷物、几份牛奶（写出一种答案即可）？
4．根据如表素材，探索解决任务．
新年礼盒生产方案的设计
素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套．
素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套；乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套．
问题解决
任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？
任务3 在任务2的条件下写出所有可行的生产方案．
5．阅读下面材料，完成任务．
我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由，得（为正整数），，则有．
又为正整数，为正整数，
为3的正整数倍数，从而，
，的正整数解为
任务：
(1)请你写出方程的正整数解：_____；
(2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个；
(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？
重难点3 二元一次方程解的概念的应用
【例3】．若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值．
方法指导
能使方程组成立的未知数的值叫做方程组的解，如果一对对应值能够使方程成立，则这一对值一定是方程的解，反过来是方程组的解，代入方程一定左右两边值相等。
变式训练3
1．阅读与思考
对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由．
(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
2．已知方程组的解满足，求的值．
3．计算：
(1)解方程组：
(2)解方程组：
(3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值．
(4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值．
4．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
；；
(2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；
(3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．
5．已知关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解．
(2)求的值．
重难点4 二元一次方程组解决实际问题
【例4】．根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
方法指导
列方程解应用题的步骤是：（1）审题，弄清楚题目中的已知量、未知量。（2）设，设未知数，（3）根据等量关系列出符合题意的方程组。（4）解方程组。（5）检验并作答。
变式训练4
1．一列快车长为，一列慢车长为．若两车同向而行，则快车从追上慢车开始直到完全超过慢车需要；若两车相向而行，则快车从与慢车相遇开始到完全离开慢车只需要．快车和慢车的速度分别是多少？
2．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由．
3．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3个长方形铁片；
方法2：可以裁出4个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
4．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进柠檬和苹果两种水果共1500千克进行销售，其中柠檬的购进单价为10元/千克，苹果的购进单价为15元/千克．求柠檬和苹果两种水果各购进多少千克？

5．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？
重难点5 数学思想
建模思想
【例5-1】．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用）
每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元
及以下 a 0.80
超过不超过的部分 b 0.80
超过的部分 6.0 0.80
已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元．
(1)求的值；
(2)6月份小王家用水，应交水费多少元？
方法指导
实际问题建立方程模型，将问题中的关键语句转化为数学问题，建立方程模型。
变式训练5-1
1．《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？
2．列二元一次方程组解决实际问题：
为丰富课余生活，加强体育锻炼，七年级（1）班计划购置跳绳和排球作为锻炼器材．已知购买2个排球和5根跳绳共需350元；购买4个排球和3根跳绳则需490元．该班共有45名学生，需为每人配备1根跳绳，且每三名学生共用1个排球．若该班统一采购这两种器材，已筹集经费2700元．请问这笔经费是否能满足本次采购需求？
3．列二元一次方程组解决下列实际问题：
每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表：
捐款（元） 100 50 20 10
人数 2 4
表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元．
转化思想
【例5-2】．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5．
(1)如果，2〇，求的值；
(2)若1〇，4〇，求，的值．
方法指导
把新定义问题转化为二元一次方程组问题，解方程组得出结论。
变式训练5-2
1．对于有理数，规定新运算：，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：，，求的值．
2．问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值．
同学们正在讨论着不同的解题思路：
甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值．
乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学说：可以先解方程组，再求的值．
．．．
请选择一种合适的方法解决上面的问题．
3．已知二元一次方程组的解适合方程，求k的值．
整体思想
【例5-3】．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为，即，③
把方程①代入③得，∴，
把代入①得，
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求整式的值．
方法指导
所谓整体思想，就是打破从局部常规解决问题的思路，要从整体结构入手，观察要解决问题与已知条件之间的整体联系，找到解决问题的捷径。
变式训练5-3
1．已知方程组的解是求方程组的解．
2．【注重阅读理解】
先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：
由，得．
把代入，得，解得．
把代入，得．
原方程组的解为
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：
3．若关于的二元一次方程组，满足，求的值．
2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题七 二元一次方程组（解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 二元一次方程组的解法
【例1】．用指定的方法解下列方程组
(1)（代入法）
(2)（加减法）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解答步骤是解题的关键．
（1）将①代入②得，，进而将代入①得，即可求解；
（2）①②
【详解】（1）解：
将①代入②得，
解得：
将代入①得
∴原方程组的解为：
（2）解：
①②得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴原方程组的解为：
方法指导
二元一次方程组通常解法两种：代入法，加减法，我们可以根据具体的情况选择简便的解法，如果方程中有未知数系数是1时，一般可以应用代入消元法，如果两个方程的相同未知数系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法，如果方程组中系数没有特殊规律，采用加减消元法。
变式训练1
1．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入②得：，解得，
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
2．解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________；
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组；
(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解．
【答案】(1)，4，1，
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：，4，1，；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）解：设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
3．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得；乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，求平方根．把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值；把m与n的值代入即可求得平方根．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴的平方根为，
即：的平方根为．
4．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5．
(1)如果，2〇，求的值；
(2)若1〇，4〇，求，的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，结合已知条件列得正确的方程及方程组是解题的关键．
（1）根据题意列得一元一次方程，解方程即可；
（2）根据题意列得二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得：；
（2）解：由题意可得，
解得：，
即，．
5．已知关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
（1）将两方程组中的第一个方程联立求出与的值；
（2）将第二个方程联立，把与的值代入求出与的值，进而求出所求式子的值．
【详解】（1）由题意得：，
解得：；
（2）把代入，
得：，
解得：
，
；
重难点2 二元一次方程的整数解
【例2】．已知二元一次方程．
(1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______；
(2)填表，使x，y的值是方程的解；
x 1 2 3 4 5
y
(3)求方程的非负整数解．
【答案】(1)
(2)填表见解析
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键．
（1）要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为1即可．
（2）将分别代入，求出的值即可；
（3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可；
【详解】（1）解：，
得，
所以，
故答案为：；
（2）解：将的值分别代入中得到y的值分别为：；
∴填表如下：
x 1 2 3 4 5
y 4
（3）解：当时，不符合题意，
当时，不符合题意，
结合上表可知：方程的非负整数解为：．
方法指导
二元一次方程一般有无数组解，在特定情况下有有限的解，通常用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再在给定的条件下取特殊值，确定另一个未知数的值，
变式训练2
1．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，．
(1)当时，求的值；
(2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
（1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可；
（2）由题意得，得到，求出．
【详解】（1）解：将代入得，
，，
，
，
，
；
（2）解：关于x，y的二元一次方程，，，
，
，
均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
将代入得，
，
，
方程的正整数解是，
当时，方程有正整数解．
2．张老师计划用200元购买A，B两种奖品（两种都要买），A种奖品每个15元，B种奖品每个25元，在钱全部用完的情况下，购买方案共有多少种？
【答案】购买A种奖品5个，B种奖品5个；或购买A种奖品10个，B种奖品2个
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为正整数确定出x，y的值．
设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据题意列出方程，再根据x，y为正整数求出符合题意的解即可．
【详解】设购买A种奖品个，B种奖品个．
根据题意，得．
由均为正整数，
可得或．
答：购买A种奖品5个，B种奖品5个；或购买A种奖品10个，B种奖品2个．
3．已知小明某日摄取了热量，摄取食物的情况如下表所示：
食物 谷物 蔬菜 水果 牛奶 蛋或肉
摄取份数 x 4 3 y 6
每份热量 880 160 240 600 300
小明摄取了几份谷物、几份牛奶（写出一种答案即可）？
【答案】答案不唯一，如谷物摄取3份，牛奶摄取3份
【分析】此题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程，整理得到，然后求解即可．
【详解】根据题意得，
∴
∴
∴当时，．
∴小明摄取了3份谷物、3份牛奶．
4．根据如表素材，探索解决任务．
新年礼盒生产方案的设计
素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套．
素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套；乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套．
问题解决
任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？
任务3 在任务2的条件下写出所有可行的生产方案．
【答案】任务1：甲礼盒生产42万套，则乙礼盒生产28万套；
任务2：两种
任务3：方案一：增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套；方案二：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、方案设计等知识，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．
任务1：设甲礼盒生产万套，则乙礼盒生产万套，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案；
任务2：首先计算增加生产前所获得的利润值，根据题意可知增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套，易得，根据“，都为正整数”分析，即可获得答案；
任务3：结合任务2中计算，即可获得答案．
【详解】解：任务1：设甲礼盒生产万套，则乙礼盒生产万套，
根据题意，可得，
解得 （万套），
所以，（万套），
答：甲礼盒生产42万套，则乙礼盒生产28万套；
任务2：增加生产前，获得的利润为（万元），
根据题意，增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套，
则有 ，
整理可得 ，
∴，
因为，都为正整数，
所以或，
所以，该工厂有两种生产方案；
任务3：在（2）的条件下，两方案分别为：
方案一：增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套；
方案二：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套．
5．阅读下面材料，完成任务．
我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由，得（为正整数），，则有．
又为正整数，为正整数，
为3的正整数倍数，从而，
，的正整数解为
任务：
(1)请你写出方程的正整数解：_____；
(2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个；
(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？
【答案】(1)
(2)4
(3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键．
（1）根据材料提示方法计算即可；
（2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可；
（3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵方程的解为正整数，
∴，
解得，，
∵是正整数，
∴是的倍数，
∴当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴方程的正整数解为；
（2）解：∵为自然数，且，是的倍数，
∴，
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
当时，原式的值为，是自然数，符合题意，
∴；
∴满足条件的整数有4个，
故答案为：4；
（3）解：设购买本笔记本，支钢笔，
∴，
，
又均为正整数，
为5的正整数倍数，
或，
故有如下两种购买方案：
方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；
方案二：购买1本笔记本和10支钢笔．
重难点3 二元一次方程解的概念的应用
【例3】．若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．法一：把参数m当成常数，按正常的方程组求解，再把方程组的解代入满足的第三个方程得到关于m的一元一次方程即可求出m的值；法二：消参，方程①－②就可以消去m；法三：整体代入，由，可知，，即可得关于m和y的二元一次方程组，即可求出m的值．
【详解】解：法一：
①得③，
②得④，
③④得，
把代入②得，
解得，
将代入得，
解得；
法二：
①②得，
∵，
∴，
解得，
将代入得，
解得，
将，代入②得；
法三：
由，可知，，代入得，
∴，
解得．
方法指导
能使方程组成立的未知数的值叫做方程组的解，如果一对对应值能够使方程成立，则这一对值一定是方程的解，反过来是方程组的解，代入方程一定左右两边值相等。
变式训练3
1．阅读与思考
对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由．
(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
【答案】(1)具有“邻好关系”，理由见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可；
（2）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：具有“邻好关系”，理由如下：
，
由得，，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：，
满足，故具有“邻好关系”；
（2）解：
解方程组得：，
∵方程组的解与具有“邻好关系”，
∴，
解得：或．
2．已知方程组的解满足，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一元一次方程，求出二元一次方程组的解是解题的关键．
先利用加减消元法求出方程的解为，再由得到，解方程即可．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解满足，
∴，
∴．
3．计算：
(1)解方程组：
(2)解方程组：
(3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值．
(4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】（1）用代入消元法直接求解二元一次方程即可；
（2）方程组整理后，用加减消元法直接求解二元一次方程即可；
（3）先解方程组，求得x，y的值，再代入求解即可；
（4）由题意可知两个二元一次方程组的解相同，可以把不含参数的两个二元一次方程组在一起，把含有参数的两个二元一次方程组在一起，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
将代入得，，
解得，
将代入得，，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组整理得，
得，
解得，
将代入①得，，
解得，
∴方程组的解为；
（3）解：由题意得，
得，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴方程组的解为；
将代入得，，
解得；
（4）解：由题意得，
得，即③，
得，
解得，
将代入得，，
解得，
将，代入得
解得，
∴．
4．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
；；
(2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；
(3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答．
（2）先整理原方程为，再结合“开心”方程组的定义，得出，再代入，进行计算，即可作答．
（3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出，然后解出，或，，再分别代入，结合题意列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵中的，
故不是“开心”方程组；
∵中的
∴是“开心”方程组；
∵，
∴，
把代入，
得，
解得，
把代入，
∴，
∵，
故不是“开心”方程组；
故答案为：．
（2）解：∵，
∴两式子相加得，
整理得，
∵关于，的方程组是“开心”方程组，
∴，
即，
解得或；
（3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴
即把代入，
得
整理得，
∴，
故或，
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
当时，；
∵，
∴，
则，
整理得，
∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
∴，
即，
则
∴，
此时；
综上：的值为或．
5．已知关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题考查了方程组相同解问题，加减消元法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出，即可作答．
（2）先把代入得，再相加得，即可作答．
【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解，
∴
，得
解得，
把代入，得，
解得，
∴这个相同的解为；
（2）解：由（1）得，
把分别代入，
∴，
把上式两式子相加得，
∴．
重难点4 二元一次方程组解决实际问题
【例4】．根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
【答案】任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2：有三种方案，①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包；③购买水笔2盒，笔记本8包
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．
任务1：设一盒水笔为元，一包笔记本为元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元建立方程组求解即可；
任务2：设购买水笔盒，购买笔记本包，根据总费用为880元可得方程，求出方程的正整数解即可得到答案．
【详解】解：任务1，设一盒水笔为元，一包笔记本为元，
由题意得，，
解得，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
任务2，设购买水笔盒，购买笔记本包．
由题意得，，
∴，
∵，均为正整数
∴当时，，即购买水笔6盒，笔记本2包．
当时，，即购买水笔4盒，笔记本5包．
当时，，即购买水笔2盒，笔记本8包．
则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包③购买水笔2盒，笔记本8包；
方法指导
列方程解应用题的步骤是：（1）审题，弄清楚题目中的已知量、未知量。（2）设，设未知数，（3）根据等量关系列出符合题意的方程组。（4）解方程组。（5）检验并作答。
变式训练4
1．一列快车长为，一列慢车长为．若两车同向而行，则快车从追上慢车开始直到完全超过慢车需要；若两车相向而行，则快车从与慢车相遇开始到完全离开慢车只需要．快车和慢车的速度分别是多少？
【答案】快车和慢车的速度分别是和
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键．
设快车和慢车的速度分别是和，根据题意，列出方程组求解即可．
【详解】解：设快车和慢车的速度分别是和．
根据题意，得
解得
答：快车和慢车的速度分别是和．
2．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由．
【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可．
【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，
根据题意得：，
解得：，
所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务．
3．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3个长方形铁片；
方法2：可以裁出4个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
【答案】(1)7，3
(2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个
(3)18个
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解．
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可．
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张．
故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张，
故答案为：7，3；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得
解得
故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得
解得
∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），
∴可做铁盒（个）．
4．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进柠檬和苹果两种水果共1500千克进行销售，其中柠檬的购进单价为10元/千克，苹果的购进单价为15元/千克．求柠檬和苹果两种水果各购进多少千克？

【答案】购进柠檬1000千克，购进苹果500千克
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设购进柠檬千克，购进苹果千克．再结合该合作社用17500元从农户处购进柠檬和苹果两种水果共1500千克进行销售，其中柠檬的购进单价为10元/千克，苹果的购进单价为15元/千克，进行列方程，即可作答．
【详解】解：设购进柠檬千克，购进苹果千克．
根据题意，得
解得：
答：购进柠檬1000千克，购进苹果500千克．
5．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？
【答案】小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可.
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，，
由题意得，
解得：，
经检验， 符合题意．
答：小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、．
重难点5 数学思想
建模思想
【例5-1】．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用）
每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元
及以下 a 0.80
超过不超过的部分 b 0.80
超过的部分 6.0 0.80
已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元．
(1)求的值；
(2)6月份小王家用水，应交水费多少元？
【答案】(1)a值为值为4.2
(2)146.6元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
（2）根据题意可以列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
，
解得，，
即a值为值为4.2；
（2）根据题意知，吨的水费为：，
答：6月份小王家用水，应交水费元．
方法指导
实际问题建立方程模型，将问题中的关键语句转化为数学问题，建立方程模型。
变式训练5-1
1．《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？
【答案】长木为6.5尺
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用 ，设绳子x尺，长木y尺．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：设绳子x尺，长木y尺．
由题意可得
解得
答：长木为6.5尺．
2．列二元一次方程组解决实际问题：
为丰富课余生活，加强体育锻炼，七年级（1）班计划购置跳绳和排球作为锻炼器材．已知购买2个排球和5根跳绳共需350元；购买4个排球和3根跳绳则需490元．该班共有45名学生，需为每人配备1根跳绳，且每三名学生共用1个排球．若该班统一采购这两种器材，已筹集经费2700元．请问这笔经费是否能满足本次采购需求？
【答案】这笔经费不能满足本次采购需求
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意找出等量关系是解题的关键．设排球单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，求出单价，再计算班级所需器材的总费用，最后与2700进行比较即可．
【详解】解：这笔经费不能满足本次采购需求，理由如下：
设排球单价为x元，跳绳单价为y元，
由题意得，
解得，
（元），
∵，
∴这笔经费不能满足本次采购需求．
3．列二元一次方程组解决下列实际问题：
每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表：
捐款（元） 100 50 20 10
人数 2 4
表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元．
【答案】捐50元有12人，捐20元有18人．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用．设捐50元有人，捐20元有人，根据总人数为36人，总捐款为1200元，列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设捐50元有人，捐20元有人，
由题意得：，
解得，
答：捐50元有12人，捐20元有18人．
转化思想
【例5-2】．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：○，例如：4○5．
(1)如果，2〇，求的值；
(2)若1〇，4〇，求，的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，结合已知条件列得正确的方程及方程组是解题的关键．
（1）根据题意列得一元一次方程，解方程即可；
（2）根据题意列得二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得：；
（2）解：由题意可得，
解得：，
即，．
方法指导
把新定义问题转化为二元一次方程组问题，解方程组得出结论。
变式训练5-2
1．对于有理数，规定新运算：，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：，，求的值．
【答案】16
【分析】根据新规定结合已知条件得出，即可求出a、b的值，再代入计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新规定运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，且满足，
∴ 分别代入，列方程组：
解得：
∴
∴
2．问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值．
同学们正在讨论着不同的解题思路：
甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值．
乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学说：可以先解方程组，再求的值．
．．．
请选择一种合适的方法解决上面的问题．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．选择一种合适的方法求解即可．
【详解】解：甲同学解法：
得，，
解得，
把代入②得，，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得；
利用乙同学的解法：，
③+①得，，
即④，
④代入②得，，
解得．
利用丙同学的解法：
先解方程组，
①②得，，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为，
把代入方程得，，解得．
3．已知二元一次方程组的解适合方程，求k的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解二元一次方程组，以及解会解二元一次方程组是解题的关键．得，结合可求出k的值．
【详解】解：
得
，
∵，
∴，
∴．
整体思想
【例5-3】．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为，即，③
把方程①代入③得，∴，
把代入①得，
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求整式的值．
【答案】(1)
(2)19
【分析】本题考查解二元一次方程组等知识．
（1）将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，即可求出y，进而可得解；
（2）由①得，即③，把方程③代入②得，即可求出，进而可求，再整体代入所求式子即可得解．
【详解】（1）解：将方程②变形为，即③，
把方程①代入③得，
∴，
把代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：由①得，即③，
把方程③代入②得，
解得，
把代入③得，
∴，
答：整式的值为19．
方法指导
所谓整体思想，就是打破从局部常规解决问题的思路，要从整体结构入手，观察要解决问题与已知条件之间的整体联系，找到解决问题的捷径。
变式训练5-3
1．已知方程组的解是求方程组的解．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案．
【详解】解：由题意得：方程组的解为，
解得：．
故答案为：．
2．【注重阅读理解】
先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：
由，得．
把代入，得，解得．
把代入，得．
原方程组的解为
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，把方程变形可得：，整体代入方程消去未知数，可得：，再把代入方程求出的值即可．
【详解】解：，
由可得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为．
3．若关于的二元一次方程组，满足，求的值．
【答案】3
【分析】利用整体思想表示，结合已知，构造方程解答即可．
本题考查了整体思想解方程组，解方程，熟练掌握运算是解题的关键．
【详解】解：由，两式相减，得，
又，
故，
解得．
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