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北师大版数学八年级下册
第四章 因式分解
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
4.1 因式分解
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
1.计算： ________.
2.计算： _____________.
3.计算： ________.
第贰章节
新课导入
新课导入
1. 单项式：若一个代数式是_______________，这样的代数式叫作单项式，单独______或________也是单项式.
数与字母的乘积
一个数
一个字母
例如，
2. 多项式：几个单项式的___叫作多项式.
和
例如，
3. 整式：单项式和多项式统称整式.
思考 下题简便运算怎样进行？
问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
第叁章节
新知探究
新知探究
因式分解的概念
1
议一议
你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗
与同伴交流.
提示：类比 993 - 99 的因数分解
a3 - a = a(a2 - 1)
= a(a + 1)(a - 1)
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
(1)
a
m
b
m
c
m
a+b+c
m
________________＝________________
m(a + b + c)
ma + mb + mc
x
x
________________＝________________
(2)
1
x
x
1
1
1
x+1
x+1
x2 + 2x + 1
(x + 1)2
联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.
区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
归纳总结
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1)
D. ax + by + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9
√
×
×
×
×
×
提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式.
辩一辩
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同
由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是整式乘法，
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与上面的变形互为逆过程.
因式分解与整式乘法的关系
2
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系
是互为相反的变形，即
因式分解等式的特征：
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
左边是多项式，
右边是几个整式的乘积.
例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为
a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3)
= ax2 + ax - 6a，
∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.
典例精析
下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2
C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2
B
练一练
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ).
C
A.
B.
C.
D.
2.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ).
D
A. B.
C. D.
3.下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是( ).
C
A. B.
C. D.
4.下列各式的因式分解中正确的是( ).
D
A. B.
C. D.
5.下列从左到右的变形中，不属于因式分解的是( ).
D
A. B.
C. D.
6.下列由左到右的变形，是因式分解的有____.(填序号)
① ；
② ；
③ ；
④ .
①
7.把分解因式得到,则 的值为___.
2
8.任意选取四个连续自然数，将它们的积再加上1,其结果可以表示成一个
自然数的平方形式.如： .类似地，将
表示成一个自然数的平方，则这个自然数是_____;
一般地，若为自然数，则 可以表示成一个
自然数的平方，这个自然数是____________.(用含 的代数式表示)
181
9.仔细阅读下面的例题，解答问题.
例题：已知二次三项式有一个因式是 ,求另一个因式
以及 的值.
解:设另一个因式为 ,则
.
,
解得
另一个因式为,的值为 .
第伍章节
课堂小结
课堂小结
因式分解与整式乘法都是整式的变形，这两者有什么区别与联系呢？
如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆变形，即整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.
因式分解 整式变形
区别
联系 把一个多项式转化为几个整式的积的形式
把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式
m(a+b+c)
ma+mb+mc
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a±b)2
a2±2ab+b2
整式乘法
因式分解
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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