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北师大版数学八年级下册
第四章 因式分解
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
4.3 第1课时 平方差公式
3 公式法
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
1.计算： ________.
2.计算： ____________.
3.若，，则 _____.
第贰章节
新课导入
新课导入
填空：
（1）(x+5)(x-5) =______；
（2）(3x+y)(3x-y) =_______；
（3）(3m+2n)(3m-2n) =__________.
它们的结果有什么共同特征？
第叁章节
新知探究
新知探究
用平方差公式进行因式分解
1
观察下面两个等式，它们有什么共同特征
x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
(3x)2
是两数的平方差的形式
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
乘法公式
因式分解
52
运算法则：
文字说明：
两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积.
a2 - b2
= (a + b)(a b)
和
差
运用平方差公式因式分解
定义总结
将乘法公式 (a + b)(a b) = a2 - b2 反过来，就得到
√
√
×
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
√
√
辨一辨
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2 - y2
(4) -x2 + y2
(5) x2 - 25y2
(6) 9m2 - 1
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式.
总结
-(x2 + y2)
y2 - x2
x2 - (5y)2
(3m)2 - 12
典例精析
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2.
解：(1) 原式＝52－(4x)2
a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b)
＝(5＋4x)
(5－4x)
解：(2) 原式＝(3a)2－ ( b)2
＝(3a＋ b)2 (3a－ b)2
例2 分解因式：
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝(b－a)(3a＋b).
解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式继续分解
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
(2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
方法总结
例3 把下列各式因式分解：
解：(1) 原式＝2x(x2－ 4)
＝2x( x + 2 )( x - 2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解
(2) 原式＝ab(a2 - 1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查
＝ab(a + 1)(a - 1).
(1) 2x3－8x； (2) a3b－ab.
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1.下列各式中，可以使用平方差公式分解因式的是( ).
B
A. B. C. D.
2.下列多项式中，分解因式结果为 的是( ).
D
A. B. C. D.
3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ).
D
A. B. C. D.
4.分解因式： ( ).
A
A. B.
C. D.
5.把 因式分解的结果是( ).
D
A. B.
C. D.
6.将多项式 因式分解为( ).
D
A. B.
C. D.
7.把下列多项式因式分解.
(1) ;
[答案] 原式 .
(2) .
[答案] 原式 .
8.将多项式 进行因式分解的结果是( ).
A
A. B.
C. D.
9.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为
不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上
的式子是(“ ”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有
( ).
D
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
10.对于任意正整数，多项式 都能被( ).
A
A.8整除 B.整除 C.整除 D. 整除
11.利用平方差公式在实数范围内分解因式： _________________.
12.已知，，则代数式 的值为___.
2
13.把下列各式因式分解.
(1) ;
[答案] 原式 .
(2) ;
[答案] 原式 .
(3) ;
[答案] 原式 .
(4) .
[答案] 原式 .
14.发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数.
(1)验证：
① ___；
②设两个正整数为， ，请验证“发现”中的结论正确.
解：
.
， 是正整数,
是4的倍数，即两个正整数之和与这两个正整数
之差的平方和一定是4的倍数.
(2)拓展：
①已知，，求 的值；
[答案] , ,
且 ,
.
②直接写出两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是几的倍数.
[答案] 两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是2的倍数.
第伍章节
课堂小结
课堂小结
平方差公式分解因式
公式
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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