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北师大版数学八年级下册
第六章 平行四边形
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
6.4 多边形的内角和与外角和
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
1.过某多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，则
这个多边形是( ).
C
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
2.过边形的一个顶点可以画出10条对角线，则 的值是____.
13
第贰章节
新课导入
新课导入
三角形是如何定义的？
思考
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形.
仿照三角形定义，你能学着给四边形.五边形……n边形下定义吗？
在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形.
.
.
.
.
.
顶点
对角线
边
内角
外角
第叁章节
新知探究
新知探究
1
多边形的内角和
问题2 小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和，你知道他们是怎样做的吗
五边形的内角和
＝3个三角形内角和之和
＝180°×3＝540°.
五边形的内角和
＝5个三角形内角和之和－周角
＝180°×5－360°＝540°.
你还有其他方法吗？
按照 问题2 的方法一，六边形能分成多少个三角形 n 边形呢 你能确定 n 边形的内角和吗
想一想
4个
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
···
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
(n - 2)×180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
···
···
······
···
由特殊到一般
定理 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°
( n 是大于或等于 3 的自然数).
总结归纳
按照 问题2 的方法二再试一试？
多边形的内角和公式
例1 在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°，那么 ∠B 与 ∠D 有什么关系？
B
A
D
C
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典例精析
解：∵∠A +∠B +∠C +∠D
= (4 - 2)×180° = 360°，
∴∠B +∠D
= 360°－(∠A +∠C) = 180°.
想一想：正 n 边形的一个内角是 度.
想一想
正三角形 (等边三角形) 、正四边形 (正方形) 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
60°
108°
90°
120°
135°
议一议
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
540°
360°
180°
2
多边形的外角和
如图 ，小刚沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角.
情境探究
跑步方向改变的角分别是 ∠1 、∠2 、∠3 、∠4、 ∠5.
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个 它们的和是多少
小刚是这样思考的，
∵∠1 +∠EAB = 180°，
∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°，
∠4 +∠CDE = 180°，
∠5 +∠DEA = 180°，
∴∠1 + ∠EAB + ∠2 + ∠ABC + ∠3 +∠BCD
+ ∠4 + ∠CDE + ∠5 + ∠DEA = 900°.
∵五边形的内角和为 (5 - 2)×180° = 540°.
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5
= 900° - 540° = 360°.
即 ∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE +∠DEA = 540°，
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
在多边形每个顶点处各取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
归纳总结
多边形的外角与外角和
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
6×180°－ (6－2)×180° = 360°
8×180°－(8－2)×180° = 360°
定理 多边形的外角和都等于 360° .
例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和是 (n - 2)·180° ，外角和等于 360°.
典例精析
根据题意，得 (n - 2)·180 = 3× 360°，
解得 n = 1080°，
所以，这个正多边形是八边形.
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1.(1)已知一个多边形的内角和为 ，则该多边形的边数为____.
(2)正六边形的每个内角都等于_____度.
11
120
2.在四边形中，，，，的度数之比为，则
等于( ).
C
A. B. C. D.
3.一个多边形的内角和可能是( ).
C
A. B. C. D.
4.一个多边形的每一个内角都等于 ，那么这个多边形的边数为
( ).
B
A.8 B.9 C.10 D.11
5.如果一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形是( ).
C
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
6.下列角度中，不能成为多边形内角和的是( ).
A
A. B. C. D.
7.过多边形一个顶点的对角线把多边形分割成6个三角形，则它的边数是
( ).
A
A.8 B.7 C.6 D.5
8.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常
精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横
截面大都是正六边形.如图2，一个巢房的横截面为正六边形 ，
若对角线的长约为，则正六边形 的边长为( ).
图1
图2
A. B. C. D.
√
9.如果一个多边形的边数增加2，那么这个多边形的内角和增加_____ .
360
10.已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角多 ，求这个多边形
的边数.
解:设内角为 ，则外角为 ，由题意得 ，解得
，则外角为 .多边形的边数： .
11.如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形
就叫做正多边形，如图是一组正多边形，观察每个正多边形中 的变
化情况，解答下列问题.
(1)将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 … 18
的度数 _____ _____ _____ _____ … _____
(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的 若存在，直
接写出 的值；若不存在，请说明理由.
解:存在一个正边形，使其中的 ，理由是：根据题意得
，解得 ，即当多边形是正九边形时，能使其中的
.
(3)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的 若存在，直
接写出 的值；若不存在，请说明理由.
解:不存在，理由如下：
假设存在正边形使得 ，得
，
解得：，又 是正整数，
所以不存在正边形使得 .
第伍章节
课堂小结
课堂小结
多边形的内角和
内角和计算公式
(n - 2) ×180°(n≥3的整数)
外角和
多边形的外角和等于 360°.
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
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汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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