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2024-2025 学年天津五中高二（下）5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < < 2}， = { ∈ | 1 ≤ < 3}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. { 1,0,1,2} C. [ 1,2) D. ( 2,3)
2.设 ∈ ，则“ > 1”是“2 2 + 1 > 0”的( )条件．
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
3.已知命题 ： ∈ ， ≤ 1，则( )
A. ： ∈ ， ≥ 1 B. ： ∈ ， ≥ 1
C. ： ∈ ， > 1 D. ： ∈ ， > 1
4.4 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 4 名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最
后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. 14 B.
1
3 C.
1
2 D. 1
5.已知一个口袋中装有 3 个红球和 2 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色
不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为 ，则 的期望为( )
A. 95 B.
18 6 24
5 C. 5 D. 5
2
6.已知函数 ( ) = ，则 ( )在 = 1 处的切线方程为( )
A. = 0 B. 2 + 1 = 0 C. 2 1 = 0 D. 1 = 0
7.如果关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为( 1,2)，则关于 的不等式 2 > 0 的解集为( )
A. ( 1,2) B. ( ∞, 1) ∪ (2, + ∞)
C. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞) D. ( 2,1)
8.已知 > 0， > 0， 2 + 8 = 2 1 1，则 + 3 的最小值是( )
A. 4 B. 2 2 C. 2 D. 2 3
9.已知函数 = ( )在 上可导，且 (1) = 1，其导函数 ′( )满足 ′( ) 2 ( ) > 0，则不等式 2 (ln(
1)) < ( 1)2的解集为( )
A. (1, ) B. (1, + 1) C. ( , + 1) D. ( + 1, + ∞)
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
10. 930°的值是______．
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11.已知 = 1213， 是第四象限角，则 =______．
12.若 = 1 +2 2，则 sin cos =______．
13.若 sin( 4 ) =
5
5 ，则 cos( + 4 ) = ______．
14.将函数 ( ) = 2 + 3 2 的图象向右平移3个单位，得到 ( )的图象，再将 ( )图象上的所有
1
点的横坐标变成原来的2，得到 ( )的图象，则下列说法正确的有______．
①函数 ( )的最小正周期为 2 ；
②( 5 6 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心；
③函数 ( ) 5 图象的一个对称轴方程为 = 6；
5
④函数 ( )在区间[ 24 , 24 ]上单调递增．
15.不等式( 2) 2 + 2( 2) 4 < 0 对一切 ∈ 恒成立，则实数 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 10 分)
设 ( ) = + 2 + 在 = 1 及 = 2 时都取得极值．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 ( )的单调区间和极值．
17.(本小题 14 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 = 3， = 4， = 2 ，且 ≠ ．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)求 的值；
(Ⅲ)求 sin(2 4 )的值．
18.(本小题 16 分)
已知函数 ( ) = + + 1．
(1)当 = 1 时，求 ( )在 = 1 处的切线方程．
(2)求函数 ( )的单调区间和极值．
(3)当 ≥ 1 时，若不等式 ( ) 1 ≤ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 12
11. 125
12. 5
13. 55
14.②④
15.( 2,2]
16.(1)由题意， ′( ) = + 2 + 1，
因为 ( )在 = 1 及 = 2 时都取得极值，
′(1) = 0 + 2 + 1 = 0
所以 ，即 ，
′(2) = 0 2+ 4 + 1 = 0
解得 = 23， =
1
6．
(2) 2由(1)可得 ( ) = 3
1 26 + ，
2
′( ) = 2 1 2 +3 3 3 + 1 = 3 =
( 1)( 2)
3 ( > 0)，
令 ′( ) = 0，可得 = 1 或 = 2，
当 ∈ (0,1) ∪ (2, + ∞)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1,2)时， ′( ) > 0，
所以 ( )的单调递减区间为(0,1)和(2, + ∞)，单调递增区间为(1,2)；
5 4 2
极小值为 (1) = 6，极大值为 (2) = 3 3 2．
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17. 解：(Ⅰ)由正弦定理 = ，已知 = 2 ，则 = 2 = 2 ，
4 3 2
则2 = ，化简得 = 3；
(Ⅱ)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，则 9 = 2 + 16 2 4 23，解得 = 3 或 =
7 7
3，因 ≠ ，故 = 3；
(Ⅲ) = 1 cos2 = 53 ，则 2 = 2 =
4 5
， 2 = 2 29 1 =
1
9，

利用两角差公式：sin(2 4 ) = 2 4 2
= 4 5 2 ( 1 ) 2 = 4 10+ 24 9 2 9 2 18 ．
18.(1)当 = 1 时， ( ) = + + 1( > 0)， (1) = 2，
又 ′( ) = 1 + 1 ， ′(1) = 2，
所以 ( )在 = 1 处的切线方程为 2 = 2( 1)，即 2 = 0；
(2) + ′( ) = 1 + = ( > 0)，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增，无极值；
当 < 0 时，由 ′( ) < 0，得 0 < < ， ′( ) > 0，得 > ，
故 ( )在(0, )上单调递减，( , + ∞)上单调递增，在 = 处取得极小值 ( ) = + (
) + 1；
综上，当 ≥ 0 时， ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无减区间与极值；
当 < 0 时， ( )的单调递减区间为(0, )，递增区间为( , + ∞)，极小值为 ( ) = + (
) + 1，无极大值；
(3) ( ) 1 = + 1 1( ≥ 1)，
令 ( ) = + 1 1，
1
则 ′( ) =
1 = ( ≥ 1)，
( )当 ≤ 1 时， ′( ) < 0， ( )在[1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) = (1) = 0，所以 ( ) ≤ 0 恒成立，符合题意；
( )当 > 1 时，令 ( ) = 1，则 ′( ) = 1 1 < 0，
故 ( )在[1, + ∞)上单调递减，所以 ( ) = (1) = 1 > 0，
其中 ( ) = 1 < 0，且 ( )在[1, + ∞)上单调递减，
故根据零点存在性定理可知， 0 ∈ [1, ]，使得 ( 0) = 0，
即 ∈ (1, 0)， ( ) > 0， ∈ ( 0, + ∞)， ( ) < 0，
所以 ∈ (1, 0)， ′( ) > 0，故 ( )在(1, 0)上单调递增，
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又因为 (1) = 0，
所以 ∈ (1, 0)， ( ) > 0，不符合题意．
综上所述， 的取值范围为 ≤ 1，即 ∈ ( ∞,1]．
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