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2024-2025 学年四川省成都市石室成飞中学高二（下）5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 21 .双曲线 3 2 = 1 的渐近线方程是( )
A. =± 62 B. =±
6
3 C. =±
3
2 D. =±
2
3
2.数列{ }是首项为 1 且公差不为 0 的等差数列，若 2 8 = 3 5，则 20 =( )
A. 20 B. 39 C. 41 D. 58
3.已知(2 1) ( ∈ )的展开式中只有第 3 项的二项式系数最大，则 2项的系数为( )
A. 16 B. 32 C. 24 D. 8
4.记 为等比数列{ }的前 项和，若 2 = 4， 4 = 6，则 6 =( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5.在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己 6 位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这 6 位专
家的不同发言顺序共有( )
A. 240 种 B. 280 种 C. 480 种 D. 720 种
6 .已知函数 ( ) = 2 + sin( 2 + )在(0, 2 )上单调递减，则实数 的最大值为( )
A. 1 B. 1 C. 22 3 D.
2

7.已知正四棱锥的侧棱长为 3 3，当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
8.若 ∈ (1, + ∞)，不等式 + + + 1 ≥ ln( 1)恒成立(其中 是自然对数的底数)，则实数 的最小
值为( )
A. 2 B. 1 C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }满足 1 + 2 2 + + 2 1 = 2 ，数列{ }的前 项和为 ，则( )
A. 5 = 6 B.数列{ }是等比数列
C. 4，
1
8， 12构成等差数列 D.数列{ }前 200
50
项和为
+1 101
10.若(1 + )2024 = + + 2 20240 1 2 + + 2024 ，则( )
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A. 0 = 0
B. 10121 + 2 + 3 + + 2023 + 2024 = 4 1
C. + 1 1 1 20240 2 1 + 22 2 + 22024 2024 = 3
D. 20231 + 3 + 5 + 2023 = 2
11.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ( ) = ′( )， ( )不恒为零且 ( 2)为偶函数，则( )
A. ( )为偶函数 B. ( 2) = 0
C. ( + 2) = ( 2) D. (2024) + (2026) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知曲线 = 在 = 1 处的切线与直线 + 5 = 0 平行，则实数 的值为______．
13.将 5 本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到 1 本书，且甲同学只得到 1 本书，则不
同的分法总数为______．

14 1.设数列{ }的前 项和为 ，且 =
2
，则数列{ ( +1) }的前 项和为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列， 4为 2和 8的等比中项，记数列{ }的前 项和为 ．
(1)求 和 ；
(2)设 = ( 1) 1
2
( ∈
)，求数列{ }的前 2022 项的和．

16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，平面 1 ⊥平面 1 1， 为 1 的中点， 1 = = 2， 1 = 2 2，
1 = 2 = 2 3．
(1)证明： 1 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 1的夹角的余弦值．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 1．
(1)求函数 ( )的极值；
(2)若不等式 ( ) ≤ 12 ( + 6)恒成立，且 ∈ ，求 的最小值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知 1， 2分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点，直线 ： + 2 = 0 与 轴相交于点 ，
与椭圆 相交于不同的 ， 两点，△ 1 2的面积为 2 2，且椭圆 的短轴长与焦距相等．
(1)求椭圆 的方程和实数 的取值范围；
(2)若线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ，且△ 为直角三角形，求点 的坐标和直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
已知曲线 ( ) = ( 1) 与直线 = 1 有且仅有两个不同的交点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，且 > 0. (其中 是
自然对数的底数)
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： 1 + 2 < 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.70
14.( 1) 2 +1 + 2
15.(1)因为 4为 2和 8的等比中项，
所以 24 = 2 8，
又因为数列{ }是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列，
则(2 + 3 )2 = (2 + )(2 + 7 )，
所以 = 2，
即 = 2 ，
= (2+2 ) 2 = ( + 1)；
(2) 2 2 ( +1)因为 1 1 1 = ( 1) = ( 1) 2 = ( 1) ( + 1)，
所以数列{ }的前 2022 项的和为： 1 + 2 + + 2022 = 2 3 + 4 5 + + 2022 2023 = (2 3) +
(4 5) + + (2022 2023) = 1 × 20222 = 1011．
16.(1)证明：因为 为 1 的中点， 1 = 2 ，所以 1 = = ，
则∠ 1 = ∠ 1，∠ = ∠ ，∠ 1 + ∠ = ∠ 1 + ∠ ，
又∠ 1 + ∠ + ∠ 1 + ∠ = 180°，
所以∠ 1 = 90°，即 1 ⊥ ，
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因为 1 = 2 2， = 2， 1 = 2 3，
所以 1 2 + 2 = 21 ，即 ⊥ 1 ，
又平面 1 ⊥平面 1 1，平面 1 ∩平面 1 1 = 1 ，
平面 1 ，所以 ⊥平面 1 1，
又 1 平面 1 1，则 ⊥ 1，又 ∩ = ，
所以 1 ⊥平面 ；
(2)解：由(1)知， ⊥平面 1 1，
又 平面 1 1，则 ⊥ ，
又 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 1 ⊥ ，
所以 ， ， 1两两垂直，以 为坐标原点，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：
因为 1 = = 2， 1 = 2 2，所以 = 2，
则 (0,2,0)， 1(0,2,2)， (0,0,0)， (2,0,0)，
所以 1 的中点 (1,1,1)，
则 = (1,1,1)， = (0,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

= + + = 0
则由 ⊥ ， ⊥ ，可得 ，
= 2 = 0
令 = 1，则 = 1，可得平面 的一个法向量为 = (1,0, 1)，
不妨取平面 1的一个法向量为 = (1,0,0)，
cos , = = 1 = 2则 | | | | 2×1 2 ，
所以平面 与平面 1的夹角的余弦值为
2．
2
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17.(1) ∵ ′( ) = 3(1 ) 2 ，
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
∴ = ( ) ( ) = 3当 时，函数 取得极大值 + 1，无极小值．
(2) ∵ ( ) ≤ 1不等式 2 ( + 6)
3 1
恒成立，即 + 1 ≤ 2 ( + 6)恒成立，
1 ( + 6) > 0 ≥ 3 + 由于2 ，则 1 2 ，设 ( ) =
3 +
+3 1 2
，
2 2 +3
(3 1 2 1
则 ′( ) =
+1)(2 +3 ) (3 + )( +3) ( +3)(3 2 3 )
1 2 2 = 1 2 ，(2 +3 ) (2 +3 )2
设 ( ) = 3 12 3 ，则 ′( ) =
1 3
2 < 0，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 52 > 0， (2) = 2 3 2 =
2 8 < 0，
∴存在 0 ∈ (1,2)
1 1
，使 ( 0) = 3 2 0 3 0 = 0，即 3 0 = 3 2 0．
当 ∈ (0, 0)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
3 1 + 3+1
∴ ( ) = ( 0) =
3 0+ 0 2 0 0 2 0 1
1 2
=
+3 1
= =
0 0
2
0+3
1
0 20+3 0
．
2 2 2 0
又 0 ∈ (1,2)
1 1
，则 ∈ ( 2 , 1)，由于 ≥ ( )
1
恒成立， ( ) ∈ ( 2 , 1)，且 ∈ ，0
∴ 的最小值为 1．
18.(1)由题意知 (0,2)，因为△ 1 2的面积为 2 2，
1
所以2 2 2 = 2 2 = 2，
又椭圆 的短轴长与焦距相等，所以 2 = 2 = 2 2 = 2，
2 2
则 2 = 2 + 2 = 4 ，椭圆 的方程为： 4 + 2 = 1；
+ 2 = 0
联立 2 2 ，整理得：(1 + 2 2) 2 + 8 + 4 = 0，
4 + 2 = 1
则 = 64 2 16(1 + 2 2) > 0 2 2，解得： > 2 或 < 2 ，
2 2则实数 的取值范围为：( ∞, 2 ) ∪ ( 2 , + ∞)；
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，设线段 的中点为 ( 0, 0)，
(1) + = 8 4由 知： 1 2 1+2 2， 1 2 = 1+2 2，
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= 4 = 4
2 2 4
则 0 1+2 2， 0 1+2 2 + 2 = 1+2 2，即 ( 1+2 2 ,
2
1+2 2 )，
设 ( , 0)，由 ⊥ ，
2
则 1+2
2 1 2
4 = ，即 2 + 2 + = 0，①
1+2 2
因为△ 为直角三角形，又 = ，所以∠ = 90°，即 = 0，
所以( 1 )( 2 ) + 1 2 = 0，( 1 )( 2 ) + ( 1 + 2)( 2 + 2) = 0，
整理为( 2 + 1) 1 2 + (2 )( 21 + 2) + + 4 = 0，
则：( 2 + 1) 4 8 21+2 2 + (2 ) 1+2 2 + + 4 = 0，
化简为 2(1 + 2 2) 4 2 + 8 + 8 = 0 ②，
由①得(2 2 + 1) = 2 ，即(2 2 + 1) 2 = 2 ，代入②得 2 4 2 + 8 + 8 = 0，
2
整理得 2 2 + 3 + 4 = 0 ③，又由①得 = 2 2+1，
代入③得： 2 2 + 3 2 2 2+1+ 4 = 0，
即 2 2(2 2 + 1) + 3 ( 2 ) + 4(2 2 + 1) = 0，
解得： =± 1，满足 > 0，
当 = 1 = 2 ( 2时， 3，点 的坐标为 3 , 0)，直线 的方程为： = + 2，
当 = 1 2 2时， = 3，点 的坐标为( 3 , 0)，直线 的方程为： = + 2，
综上，直线 的方程为： =± + 2．
19.(1)由于函数 ( ) = ( 1) 与直线 = 1 有且仅有两个不同的交点，
因此方程 ( 1) = 1 有且仅有两个不同的实数根，所以方程 ( 1) = 0 有且仅有两个不同的实
数根．
令函数 ( ) = ( 1)，那么导函数 ′( ) = ，又 > 0，根据 ′( ) = 0，得 = ，
因此 ∈ ( , + ∞)时，导函数 ′( ) > 0， ( )单调递增；
∈ ( ∞, )时，导函数 ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 = 时，函数 ( )取得极小值，也是最小值，要使函数 ( )有两个零点，
那么 ( ) < 0，即 (2 ) < 0，解得 > 2，
当 = 1 < 时，得 (1) = > 0，那么函数 ( )在(1, )上有且只有一个零点；
当 = 2 > 时， (2 ) = 2 2 + = ( 2 + 1)，
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设函数 ( ) = 2 + 1 2 2，那么导函数 ′( ) = 1 = > 0，因此函数 ( )在(
2, + ∞)上单调递增，
那么 ( ) > ( 2) = 2 3 > 0，因此 (2 ) = ( 2 + 1) > 0，
那么函数 ( )在( , 2 )上有且只有一个零点，因此函数 ( )有且仅有两个零点， ∈ ( 2 +∞)．
(2)证明：根据第一问可知： 1， 2分别为 ( )的两个零点，设 1 < 1 < < 2，
要证 1 + 2 < 2 ，即证 2 < 2 1，
由于 1 < 1 < < 2，因此 2 1 > ，
根据第一问知函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，因此只需证明 ( 2) < (2 1)，而 ( 2) = ( 1)，
因此只需证 ( 1) < (2 1)，令函数 ( ) = (2 ) ( )，且 1 < < ，
2
因此函数 ( ) = + 2 2 ，1 < < ，
2 2 2 2
导函数 ′( ) = + 2 =
+ 2
=
( )
< 0，
因此函数 ( )在(1, )上单调递减， ( ) > ( ) = (2 ) ( ) = 0，
所以 (2 ) > ( )在(1, )上恒成立，即 (2 1) > ( 1)，
综上所述： 1 + 2 < 2 ．
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