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2024-2025学年八年级下册期末模拟卷（台州市专用）
数 学
（考试范围：八下全册 考试时间：100分钟 分值：120分）
卷首语：同学们，展开智慧的翅膀，细心浇灌每一题，笔墨生花，收获成长的喜悦！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（　　）．
A． B．
C． D．它们的大小关系不确定
3．二次根式化简结果正确的为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程，变形后结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．若 的两根分别是 与5，则多项式 可以分解为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(　　)
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
8．已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是(　　)
A． B． C． D．
9．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（　　）的解．
A． B． C． D．
10．如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．若菱形两条对角线的长度是方程x2－6x＋8＝0的两根，则该菱形的边长为　 　．
12．已知关于x的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是　 　.
13．正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是　 　.
14．如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（，），B（，）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为　 　．
15．如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，则平行四边形 的面积为　 　.
16．正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝ （k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1，则x的取值范围是　 　.
三、解答题 (本题有 8 小题, 第17-21题每题 8 分, 第 22,23 题每题 10 分, 第 24 题 12 分, 共 72 分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）
（2）
19．圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了次，获得如下测试成绩折线统计图根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是单位：平方米根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
20．如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上．
（1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹）
（2）求的长度．
22．在直角坐标系中，设．
（1）已知点都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
（2）当时，；当时，，求k的值．
23．某校八年级开展社会实践活动， 下表是某小组的活动记录表， 请根据相关信息解决实际问题．
社会实践活动记录表
小组名称 活动时间 2024.6
小组成员 地点 北岸果蔬超市
实践内容 调查杨梅销售行情； 帮助超市解决销售问题； 同时思考民生获益等事宜．
调研信息 杨梅进价为 40 元/箱．
当杨梅售价为 50 元/箱时， 每月可销售 500 箱．
若每箱售价每上涨 1 元， 则月销售量将减少 10 箱．
解决问题 问题 1 当销售单价定为每箱 55 元时， 月销售量是多少？
问题 2 设销售单价为每箱 元，请用 的代数式表示月 销售利润．
问题 3 请自行提出一个实际问题，并尝试解决之
24．定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．
【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置；
【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长；
【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接．
①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由；
②若，，求的长．
答案解析部分
1．B
解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：B
根据二次根式有意义的条件得到，求出x的取值范围解题即可．
2．B
解：∵水果超市的苹果大小不一，而该顾客选购大小均匀的苹果，
∴说明顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，
∴超市苹果质量的方差大于顾客选购苹果的方差，即，
故答案为：B．
方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小，而根据题意可得顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，据此可得答案．
3．D
解：∵，，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
先根据，得出，再化简．
4．A
解：设，则依题得
为的中点
反比例函数（）的图象经过两点
化简得
，
．
故答案为：A．
设，得到点A、M的坐标代入反比例函数（）求出b解题即可．
5．A
解： 解方程
移项，
配方得，
即：
故答案为A
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解题步骤是解一元二次方程的关键。根据配方法的步骤求解可得答案。
6．C
∵x2-2px+3q=0的两根分别是-3与5，
∴2x2-4px+6q=2（x2-2px+3p）
=2（x+3）（x-5），
故答案为：C.
先提取公因式2，再根据已知分解即可.
7．D
解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
8．A
解：∵某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，且经过
∴设电流I与电阻R满足
把代入，
解得
∴该蓄电池的电压是
故答案为：A
先设，再把（3，8）代入解析式，用待定系数法求解即可．
9．C
解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形，∴（x+5）2=64，
整理得：x2+10x=39，
故答案为：C．
根据正方形的面积公式并结合正方形的面积为64得出方程，再整理即可．
10．A
解：连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，如图所示：
根据轴对称可知：，，，，
∵矩形中，
∴，
∵三个全等菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
即，
∴，，
∴，
故答案为：A．
连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，由轴对称的性质得出∠ECN=∠FCM，CN=CM=MN，AG=AH=GH，由全等菱形性质得BF=CF，∠QAB=QBA，∠AFC=∠AFB，由周角定义可推出∠AFC=∠AFB=135°，由二直线平行，同旁内角互补得∠FAQ=45°，根据菱形每条对角线平分一组对角得∠BAQ=∠ABQ=22.5°，由平角定义推出∠GAK=∠HAQ=22.5°，然胡可证出∠BAH=∠ABH=45°，由等角对等边得AH=BH，由等腰直角三角形的性质、平角定义可推出∠PCB=∠CBP=22.5°，由等角对等边得CP=BP，设CM=AH=BH=a，BM=PM=x，则BP=CP=a-x，由等腰直角三角形的性质得，从而得出，求出x，即可得出，求出，，最后求出结果即可．
11．
解：∵x2-6x+8=0，
∴(x-2)(x-4)=0
解得x=2或x=4，
∵菱形ABCD的两条对角线长分别是方程x2-6x+8=0的两根，
∴该菱形的对角线长分别为2或4，
设菱形ABCD的两条对角线相交于O，如图，
则AC⊥BD，OA=AC=2，OB=BD=1，
∴AB= ，
故答案为∶
先求出对角线的长，再根据勾股定理求出边长解题即可．
12．-7
把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，
∴原方程为
解得x1=-7，x2=2，
故另一个解为 .
故答案为：-7.
先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可
13．-2
解：、在反比例函数的图象上，
，
正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
点A与点B关于原点对称，
，，
.
故答案为：-2.
根据A、B在反比例函数图象上可得x1y1=x2y2=1，根据正比例函数与反比例函数图象的对称性可得点A与点B关于原点对称，则x1=-x2，y1=-y2，x1y2+x2y1=-x1y1-x2y2，据此计算.
14．8
解：根据题意可知：A（，），B（，），
∴，，
，
∴，OA=8，OB=4，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，
以OA为y'轴，OB为x'轴建立新的坐标系，如图所示：
此时，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（4，0），
设直线AB的解析式为y'=kx'+b，
∴，
解得：，
∴直线AB解析式为y'=﹣2x'+8，
∵ 的直线与曲线l相交于点M、N，
∴，
解得或，
∴M（1，6），N（3，2），
∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=×4×6﹣×4×2=8，
故答案为8．
由点A、B的坐标，确定△OAB为直角三角形，然后以OB、OA为x'轴、y'轴建立新的直角坐标系，并求出直线AB解析式， 联立直线AB与y'=的方程，得到交点M、N，最后通过S△OMN=S△OBM﹣S△OBN即可解决问题.
15．
解：过点 作 于点 ，如图所示.
∵ 是 的平分线，
∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴BC=BE，
∴ ，
∴ .
∴平行四边形 的面积为 .
故答案为： .
根据平行四边形的性质、角平分线的性质得出，根据等角对等边得出AD=DE=3，再根据 证明BC=BE，由此根据等腰三角形的三线合一及勾股定理求出BF，即可求出平行四边形的面积.
16．x＜-3或0＜x＜3
解：由反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是M（-3，2），
∴另一个交点是（3，-2），
当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方，
∴x的取值范围是x＜-3或0＜x＜3，
故答案为：x＜-3或0＜x＜3.
利用反比例函数关于原点对称，可得到反比例函数与正比例函数的图象的另一个交点坐标，由当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方，可求出x的取值范围.
17．（1）解：原式
（2）解：原式
（1）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可得；
（2）分子分母同乘以，再计算二次根式的乘法即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（1）解：，，
∴，
∴，．
（2）解：，，
，
即或，
∴，．
（1）利用直接开方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：，
，
∴，
∴，．
（2）解：，
，
，
即或，
∴，．
19．（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：米，
方方成绩的平均数：米，
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是米，米；
（2）解：方方成绩的方差为：平方米；
（3）解：，
圆圆同学的成绩较好，
理由：由可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．，
圆圆同学的成绩较好，
理由：由可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
20．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，CD∥AB，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠BAD+∠ADC=180°，结合已知，由等量代换得∠BCD+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，然后由平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得CE∥BD，易得△ABD是等腰直角三角形，得BD=AB=2，由平行四边形的对边平行且相等得CD=AB=2，CD∥AB，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形CDBE是平行四边形，得BE=CD=2，CE=BD=2，进而算出AE，然后由勾股定理求出AC的长即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
21．（1）解：如图所示，连接AC交BD于F，取格点H，连接DH交AC于O，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵DA、DB的中点分别为E，F，
∴是△ABD的中位线，
∴．
（1）如图所示，由平行四边形的对角线互相平分可得连接AC交BD于F；利用方格纸的特点AB的中点H，连接DH交AC于O，可得点O是三角形ABD的重心，根据三角形重心定义，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理求出AB的长，则由三角形中位线等于第三边的一半可得．
（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵的中点分别为E，F，
∴是的中位线，
∴．
22．（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
（1）①将点A的坐标代入 即可算出k的值；
②把代入①所求函数的解析式即可求得n的值；
（2）根据反比例函数图象上任意一个自变量及其对应的函数值的乘积都等于比例系数“k”建立方程，解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值．
（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
23．解：问题1：依题意，当销售单价定为每箱55元时，月销售量是（箱）；
问题2：依题意，设销售单价为每箱元，
则月销售量为箱
每箱的销售利润为元，
月销售利润元
问题3：依题意，提出问题：若该超市将当月的获利目标定为8000元，且尽可能的让利顾客，那么销售单价应定为每千克多少元？
解答如下：
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：销售单价应定为每千克60元．
24．解：【探究1】
如图，点P即为所求作：
理由如下：
连接，
，，，
∴，
∴格点P是的“幸运点”；
【探究2】
解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴CD=AB=2，OA=OC=OB=OD，∠BAD=∠ABC=90°.
∴.
∴OA=OD=2.
∵点P为AD上一点，
连接，，，过O作于H，如图所示，
∴
设AP=x，
则，
∴，，.
若点P离A近，
则
∵点P是的“幸运点”，
∴则，
∴，
整理，得，
解得（舍负）；
若点P离B近，
则
∵点P是的“幸运点”，
∴则，
∴，
整理，得，
解得，（舍）
综上，满足条件的的值为或；
【探究3】
①点A是的“幸运点”，理由如下：
连接，如图：
∵、均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴点A是的“幸运点”；
②由①中结论得，
∵，
∴，
∴，
过C作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∴在，，
∴.
若点D在A的右下方，则DH=AH－AD=1.
∴；
若点D在A左上方时，如图，
则，
∴，
综上，的长为或．
【探究1】根据网格特点，利用勾股定理，分别计算出PA2，PB2，PC2，结合题中定义即可得到点P的位置；
【探究2】先根据矩形的性质和边长计算出AC的长，继而的OA的长.连接，，，过O作于H，根据等腰三角形的性质可得AH的长，设AP=x，可表示出PD，PB，OH，PC的长；再分点P离A近和点P离B近两种情况分别表示出PO的长，结合题中定义列方程求解x值即可；
【探究3】①连接，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定推导出△BCD≌△ACE，得到，再在Rt△BAD中利用勾股定理，可证得，结合定义即可得结论；
②由①中结论得结合已知求得，过C作于H，利用含30度角的直角三角形的性质求得，.再分点D在A的右下方时和点D在A左上方时，计算出的DH的长，即可利用勾股定理求解DE的长．

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