资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年浙江省中考数学模拟试卷（10）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 浙江二模）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．2 B．﹣3 C．1 D．0
2．（2025 红安县模拟）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
3．（2025 宁海县二模）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 宜兴市二模）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
5．（2025 义乌市二模）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计：
金额（元） 50 80 100 200 500
人数（人） 5 12 10 6 1
根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　）
A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元
6．（2025 深圳二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
7．（2025 青白江区模拟）我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 新会区二模）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，DB＝6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为（　　）
A． B． C．12 D．24
9．（2025 福州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　）
A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m
C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n
10．（2025 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 青白江区模拟）因式分解：t2﹣4t+4＝ 　 　 ．
12．（2025 徐州模拟）当x＝ 　 　 时，分式与的值互为相反数．
13．（2025 西宁一模）如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为 　 　 ．
14．（2025 龙泉市一模）不透明袋子中装有7个球，其中有5个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 　 　 ．
15．（2025 玉环市二模）如图，在△ABC中，AB﹣AC＝6，AD平分∠CAB，CD⊥AD，点E是BC的中点，连接DE，则DE的长为　 　 ．
16．（2025 鹤壁一模）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝18，E为BC上一点，将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，连结CF．若∠FEC＝2∠FCE，且CF＝12，则BE的长为　 　 ，AB的长为　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 谯城区模拟）计算：．
18．（2025 淄博二模）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（2025 衢州三模）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AB＝AD，AE⊥BC，AB＝13，AE＝12，CD＝11．
（1）求BE的长．
（2）求tan∠ACE的值．
20．（2025 保定二模）为了解某校九年级学生体育现场测试的成绩情况，从九（1）班和九（2）班学生成绩中各随机抽取了10名学生的成绩，嘉琪对两组数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．如图为1班、2班体育测试成绩的频数分布折线图：
b．表1：1班体育测试成绩各分数段人数统计表：
成绩（分） 25 26 27 28 29 30
人数（人） 1 1 m 1 1 3
c．表2：两个班级体育测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
班级 平均数 中位数 众数
1班 a b 27、30
2班 27.9 28 c
根据以上信息，回答下列问题；
（1）表1中m＝ 　 　 ；请补全图中的折线统计图；
（2）表2中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ；
（3）若规定27分及以上为优秀，请结合两个班学生的体育成绩情况，估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有多少人？
21．（2025 鹿城区校级二模）小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题：
如图，在锐角三角形ABC中，AC＞AB＞CB，现要在△ABC所在的平面内找一点P，使∠BPC＝2∠A，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下：
小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为P；
小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为P；
小明：可以在∠B内作∠PBA＝∠A，使PB交AC边于点P即可．
（1）填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”）
小聪的作图思路 　 　 ；小慧的作图思路 　 　 ；小明的作图思路 　 　 ．
（2）请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明∠BPC＝2∠A．
22．（2025 中山市校级模拟）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求一次函数的解析式．
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）一次函数y1＝ax+b向下平移m个单位，使得平移以后直线与反比例函数只有一个公共点，求m的值．
23．（2025 邗江区模拟）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2+a）（a为实数）．
（1）二次函数图象的对称轴是　 　 ；
（2）若该函数图象经过点（3，m），且满足m≥16，求a的值；
（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t，x2≥1时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
24．（2025 绥化二模）如图CD是⊙O的直径，A是⊙O上异于C、D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
【认识图形】
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
【探索关系】
（2）若，探求BC与CD的数量关系；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求PE PA的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 浙江二模）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．2 B．﹣3 C．1 D．0
【点拨】根据有理数的大小关系解决此题．
【解析】解：根据有理数的大小关系，﹣3＜﹣2＜0＜1＜2．
∴比﹣2小的数是﹣3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小关系是解决本题的关键．
2．（2025 红安县模拟）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2025 宁海县二模）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解析】解：从正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（2025 宜兴市二模）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
【点拨】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．
【解析】解：A．a2 a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故该选项不正确，不符合题意；
C．a4÷a＝a3，故该选项正确，符合题意；
D．2a+3a＝5a，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
5．（2025 义乌市二模）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计：
金额（元） 50 80 100 200 500
人数（人） 5 12 10 6 1
根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　）
A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元
【点拨】根据的众数和中位数的定义分别进行解答即可．
【解析】解：∵捐款80元的有12人，人数最多，
∴众数是80元，
∵九年级共有学生：5+12+10+6+1＝34（人），
所以第17，18个数据为：80，100，
∴中位数：（80+100）÷2＝90，
故选：C．
【点睛】本题考查了众数和中位数，解题的关键是根据它们的定义进行解答．
6．（2025 深圳二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【点拨】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（2025 青白江区模拟）我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】此题不变的是井深，用代数式表示井深即可得方程．
此题中的等量关系有：
①将绳三折测之，绳多五尺；
②绳四折测之，绳多一尺．
【解析】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，可得：；
故选：A．
【点睛】此题考查方程组的应用，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
8．（2025 新会区二模）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，DB＝6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为（　　）
A． B． C．12 D．24
【点拨】由菱形的性质推出AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝DB＝3，由勾股定理求出AB＝5，由菱形的面积公式得到AB DE＝AC BD，即可求出DE的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，OB＝DB，
∵AC＝8，DB＝6，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵DE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB DE＝AC BD，
∴5×DE＝×6×8，
∴DE＝．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，关键是由勾股定理求出AB的长，由菱形的面积公式得到AB DE＝AC BD．
9．（2025 福州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　）
A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m
C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n
【点拨】根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：∵当x＝0时，y＝c；二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（2，c），
∴该函数图象的对称轴为直线x＝＝1，
当c＞m时，该函数图象开口向上，n＞m，故选项A正确，选项B错误；
当c＜m时，该函数图象开口向下，n＜m，故选项C错误；
当c＜m时，2﹣1＝1，3﹣1＝2，则c＞n，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（2025 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2
【点拨】连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，由正方形的性质得BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，则∠ABD＝∠NBC，即可证明△ABD≌△NBC，得∠BAD＝∠BNC，推导出∠AIC＝90°，可证明AC2+DN2＝CD2+AN2，由DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，得CD2＝2BC2＝2a2，AN2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，则y2+x2＝2a2+2y2+2a2，整理得x2﹣y2＝4a2，所以x2﹣y2为定值，于是得到问题的答案．
【解析】解：连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，
∵四边形BDEC和四边形AMNB都是正方形，
∴BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，
∴∠ABD＝∠NBC＝90°+∠ABC，
在△ABD和△NBC中，
，
∴△ABD≌△NBC（SAS），
∴∠BAD＝∠BNC，
∵∠ALI＝∠BLN，
∴∠AIC＝∠BAD+∠ALI＝∠BNC+∠BLN＝90°，
∴∠AIN＝∠DIN＝∠CID＝90°，
∵AC2+DN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，CD2+AN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，
∴AC2+DN2＝CD2+AN2，
∵DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，
∴CD2＝BD2+BC2＝2BC2＝2a2，AN2＝AB2+NB2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，
∴y2+x2＝2a2+2y2+2a2，
∴x2﹣y2＝4a2，
∴x2﹣y2为定值，
故选：D．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 青白江区模拟）因式分解：t2﹣4t+4＝ 　（t﹣2）2　 ．
【点拨】根据完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：t2﹣4t+4＝（t﹣2）2，
故答案为：（t﹣2）2．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．（2025 徐州模拟）当x＝ 　0　 时，分式与的值互为相反数．
【点拨】先根据题意列出方程，求解方程得结论．
【解析】解：∵分式与的值互为相反数，
∴＝﹣．
∴x+2＝2﹣x．
∴x＝0．
经检验，x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
13．（2025 西宁一模）如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为 　50°　 ．
【点拨】连接OA，OB，根据切线的性质，四边形的内角和，求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理，求出∠ACB的度数即可．
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝100°，
∴；
故答案为：50°．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（2025 龙泉市一模）不透明袋子中装有7个球，其中有5个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 　　 ．
【点拨】直接由概率公式求解即可．
【解析】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有5个绿球、2个红球，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
15．（2025 玉环市二模）如图，在△ABC中，AB﹣AC＝6，AD平分∠CAB，CD⊥AD，点E是BC的中点，连接DE，则DE的长为　3　 ．
【点拨】延长CD交AB于F，证明△ADC≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，BD＝DF，得到BC＝6，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解析】解：延长CD交AB于F，
在△ADC和△ADF中，
，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴AF＝AC，CD＝DF，
∴BF＝AB﹣AF＝AB﹣AC＝6，
∵CD＝DF，BE＝EC，
∴DE＝CF＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16．（2025 鹤壁一模）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝18，E为BC上一点，将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，连结CF．若∠FEC＝2∠FCE，且CF＝12，则BE的长为　8　 ，AB的长为　　 ．
【点拨】连接BF，过点F作FG⊥BC于点G，设BF，AE交于点H，根据已知条件得出∠FBG＝∠C，进而得出BF＝FC，在Rt△FGC，Rt△EFG中勾股定理求得FG，BE，进而证明∠FBG＝∠BAE，在Rt△FGC中，得出sin∠C＝＝，cos∠C＝＝，进而在Rt△BHE，Rt△ABH中，求得BH，AB，即可求解．
【解析】解：如图所示，连接BF，过点F作FG⊥BC于点G，设BF，AE交于点H，
∵将ABE沿着AE翻折得到△AFE，
∴EB＝EF，
∴∠FBG＝∠BFE，
∴∠FEG＝2∠FBG，
∵∠FEC＝2∠FCE，即∠FEG＝2∠C，
∴∠FBG＝∠C，
∴BF＝FC，
∵FG⊥BC，BC＝18，
∴，
∵CF＝12，
在Rt△FGC中，由勾股定理得：FG＝＝＝3，
设BE＝EF＝x，则EG＝BG﹣BE＝9﹣x，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：FG2+EG2＝EF2，
∴，
解得：x＝8，即BE＝8，
由折叠得AE⊥BF，
∴∠FBG+∠AEB＝∠BAE+∠AEB，
∴∠FBG＝∠BAE，
在Rt△FGC中，FG＝3，GC＝9，CF＝12，
∴sin∠C＝＝＝，cos∠C＝＝，
∵∠FBG＝∠C＝∠BAE，
∴在Rt△BHE中，BH＝BE×cos∠FBG＝8×＝6，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质以及三角函数的定义是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 谯城区模拟）计算：．
【点拨】根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数，绝对值的意义，二次根式的运算法则等计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝5．
【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
18．（2025 淄博二模）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解析】解：，
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2025 衢州三模）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AB＝AD，AE⊥BC，AB＝13，AE＝12，CD＝11．
（1）求BE的长．
（2）求tan∠ACE的值．
【点拨】（1）直接利用勾股定理求出BE的长即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出DE的长，故可得出CE的长，进而可得出结论．
【解析】解：（1）∵AE⊥BC，AB＝13，AE＝12，
∴BE＝＝＝5；
（2）∵AB＝AD，AE⊥BC，BE＝5，
∴DE＝BE＝5，
∵CD＝11，
∴CE＝DE+CD＝5+11＝16，
∴tan∠ACE＝＝＝．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（2025 保定二模）为了解某校九年级学生体育现场测试的成绩情况，从九（1）班和九（2）班学生成绩中各随机抽取了10名学生的成绩，嘉琪对两组数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．如图为1班、2班体育测试成绩的频数分布折线图：
b．表1：1班体育测试成绩各分数段人数统计表：
成绩（分） 25 26 27 28 29 30
人数（人） 1 1 m 1 1 3
c．表2：两个班级体育测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
班级 平均数 中位数 众数
1班 a b 27、30
2班 27.9 28 c
根据以上信息，回答下列问题；
（1）表1中m＝ 　3　 ；请补全图中的折线统计图；
（2）表2中a＝ 　27.9　 ，b＝ 　27.5　 ，c＝ 　29　 ；
（3）若规定27分及以上为优秀，请结合两个班学生的体育成绩情况，估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有多少人？
【点拨】（1）计算出成绩为27分的学生人数，补全折线统计图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的定义即可得到结论；
（3）运用样本估计总体即可得到结论．
【解析】解：（1）m＝10﹣1﹣1﹣1﹣1﹣3＝3，
补全图形如下：
故答案为：3；
（2）根据平均数计算方法可得：；
10个分数按从小到大顺序排列，最中间的两个分数是27分和28分，
所以，中位数；
2班成绩中，29分出现次数最多，一共出现3次，
故众数c＝29；
故答案为：27.9；27.5；29；
（3）根据样本估计总体可得（人），
答：估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有1200人．
【点睛】本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键．
21．（2025 鹿城区校级二模）小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题：
如图，在锐角三角形ABC中，AC＞AB＞CB，现要在△ABC所在的平面内找一点P，使∠BPC＝2∠A，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下：
小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为P；
小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为P；
小明：可以在∠B内作∠PBA＝∠A，使PB交AC边于点P即可．
（1）填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”）
小聪的作图思路 　正确　 ；小慧的作图思路 　错误　 ；小明的作图思路 　正确　 ．
（2）请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明∠BPC＝2∠A．
【点拨】（1）根据他们一直一一判断即可；
（2）根据小聪与小明的方法，作出图形，再利用相关知识证明即可．
【解析】解：（1）小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确．
故答案为：正确，错误，正确；
（2）小聪的作法如图所示：
理由：∵点P是线段AC，BC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴点P是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠BPC＝2∠A；
小明的作法如图所示：
利用：作线段AB的垂直平分线，则PA＝PB，
∴∠A＝∠PBA，
∴∠BPC＝∠A+∠PBA＝2∠A．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22．（2025 中山市校级模拟）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求一次函数的解析式．
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）一次函数y1＝ax+b向下平移m个单位，使得平移以后直线与反比例函数只有一个公共点，求m的值．
【点拨】（1）先利用点在反函数上求点A和点B的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）图形结合分析即可求解；
（3）根据图形的平移得出平移后的解析式，再联合反比例函数，得出二元一次方程，根据根的判别式即可求解m的值．
【解析】解：（1）把x＝2，代入，得y＝2，
∴A（2，2），
把y＝1代入，得x＝4，
∴B（4，1），
把A（2，2），B（4，1）代入y1＝ax+b，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式．
（2）∵A（2，2），B（4，1），
∴根据图示可得，当0＜x≤2或x≥4，．
∴不等式的解集为：0＜x≤2或x≥4．
（3）由（1）知，
设平移后的直线为，
联立得，
∴，
∵平移后的直线与反比例函数的图象只有一个公共点，
∴Δ＝0，
即，
∴（m﹣3）2＝8，
∴
∴，，
∴m的值为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求解析，解二元一次方程组，图形平移的规律，根的判别式的运用是解题的关键．
23．（2025 邗江区模拟）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2+a）（a为实数）．
（1）二次函数图象的对称轴是　直线x＝﹣1　 ；
（2）若该函数图象经过点（3，m），且满足m≥16，求a的值；
（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t，x2≥1时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【点拨】（1）利用二次函数的性质解答即可；
（2）利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
（3）结合二次函数的图象，利用二次函数的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解析】解：（1）令y＝（x﹣a）（x+2+a）＝0，
∴x＝a或x＝﹣2﹣a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣1；
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵该函数图象经过点（3，m），
∴m＝（3﹣a）（5+a）＝﹣（a+1）2+16≤16，
又∵m≥16，
∴m＝16，
∴16＝（3﹣a）（5+a），
解得：a＝﹣1；
（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线的开口方向向上，
∵当t﹣1≤x1≤t，x2≥1时，均满足y1≤y2，
∴，
解得：﹣2≤t≤1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2025 绥化二模）如图CD是⊙O的直径，A是⊙O上异于C、D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
【认识图形】
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
【探索关系】
（2）若，探求BC与CD的数量关系；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求PE PA的值．
【点拨】（1）连接OA，由等边对的等角的性质，得出∠BAC＝∠OAD，根据直角所对的圆周角是直角，得到∠CAD＝90°，进而推出OA⊥AB，即可证明结论；
（2）证明△ABC∽△DBA，得到，从而得出BD＝4BC，即可得到结论；
（3）由（2）可得，利用同弧所对的圆周角相等以及直角所对的圆周角是直角，得出CD2＝2PC2＝54，则PC2＝27，再证明△ACP∽△CEP，得出PE PA＝PC2，即可求出PE PA的值．
【解析】（1）证明：CD是⊙O的直径，A是⊙O上异于C、D的一点，点B是DC延长线上一点，∠BAC＝∠ADB．
如图，连接OA，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BAC＝∠OAD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠OAD＝∠CAO+∠BAC＝∠BAO＝90°，
∴OA⊥AB，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：CD＝3BC；理由如下：
∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB，
∴△ABC∽△DBA，
∴，
∵，
∴，
∴AB＝2BC，BD＝2AB，
∴BD＝4BC，
∴CD＝BD﹣BC＝3BC；
（3）解：由（2）可知，AB＝2BC，CD＝3BC，
∵，
∴，，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠DAP，
∵∠CAP＝∠CDP，∠DAP＝∠DCP，
∴∠CDP＝DCP，
∴PC＝PD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CPD＝90°，
在直角三角形PCD中，由勾股定理得：CD2＝PC2+PD2＝2PC2＝54，
解得：PC2＝27，
∵∠APC＝∠ADC，∠CAP＝∠DAP，
∴∠ACP＝∠AED，
∵∠AED＝∠CEP，
∴∠ACP＝∠CEP，
∵∠APC＝∠CPE，
∴△ACP∽△CEP，
∴，
∴PE PA＝PC2＝27．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角、圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑