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2024-2025 学年山东省青岛二中分校高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = (3 + )(1 )， 为虚数单位，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2.已知 ， 为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，则( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 / D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
3.已知向量 、 满足| | = 1，| | = 2 3， (2 + ) = 18，则 与 的夹角为( )
A. B. 6 3 C.
2 3
3 D. 4
4.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记
榴花塔高为 ，测量小组选取与塔底 在同一水平面内的两个测量点 和 ，现测
得∠ = 105°，∠ = 45°， = 45 ，在点 处测得塔顶 的仰角为 30°，
则塔高 为( )
A. 15 6 B. 15 2 C. 45 6 D. 45 22 2
5.已知 1， 2是平面内的一组基底， = 4 1 + 3 2， = 2 1 + 2， = 5 1 3 2，若 ， ， 三点
共线，则实数 的值为( )
A. 9 B. 13 C. 15 D. 18
6.已知圆锥 的轴截面是三角形 ，如图，△ ′ ′ ′是水平放置的三角形 的直观图，若 ′ ′
平行于 ′轴，且 2 ′ ′ = ′ ′ = 2，则圆锥 的侧面积为( )
A. 2 5
B. 17
C. 2 2
D. 5
7.在三棱锥 中， = = = 3, , , 两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为( )
A. 3 9 15 2 B. 2 C. 2 D. 9
8.在直角梯形 中，已知 // ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 2，点 是 边上的中点，点
是 边上一个动点.则 的取值范围是( )
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A. [ 1 , 116 2 ]
B. [0, 12 ]
C. [ 1 14 , 2 ]
D. [ 1 116 , 4 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 2 1+ ( + 1) ， ∈ ，则下列结论正确的是( )
A.若 为纯虚数，则 =± 1
B.若 在复平面内对应的点位于第四象限，则 ∈ ( ∞, 1)

C.若 = 0，则 = 1
D.若 = 0，则| | = 1
10.已知 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < 2 )的部分图象如图所示，则( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( )的图像可由 = 2 2 的图象向左平移6个单位得到
C. ( ) 5 的对称轴为 = 12 + ( ∈ )
D. ( ) [ 11 在区间 6 , 2 ]上的最大值为 3
11.如图，在单位正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1上运动，下列命题中正确的是( )
A.在点 运动过程中，直线 1 与 1始终为异面直线
B.三棱锥 1的体积为定值
C.异面直线 1 与直线 1所成的角为定值
D.在点 运动过程中，不存在某个位置，使得面 1 //平面 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2 15° + 2. 2 2 15° = ______．
13.已知向量 = (1,2)， = (1, )，若(2 )// ，则 = ______．
14 .已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若△ 为锐角三角形， = 3，且 = 3，则△
周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知 2 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，其中 为虚数单位．
(1)求 + 2 的值；

(2)记复数 = + ，求复数1+ 的模．
16.(本小题 15 分)
如图所示，在三棱柱 1 1 1中，过 的平面与上底面 1 1 1交于 ( 与 1 1不重合)．
(1)求证： // ；
(2)若 ， ， 分别是 ， ， 1 1的中点，求证：平面 1//平面 ．
17.(本小题 15 分)
在△ 3中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + 2 = ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 3， + = 2，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
3
已知向量 = (1,1)，向量 与向量 的夹角为 4，且 = 1．
(1)求向量 ；
(2)设向量 = (1,0)，向量 = ( , cos2( 4

2 ))，其中 ∈ [0, 2 ]，若 = 0，试求| +
|的取值范围．
19.(本小题 17 分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ 的三个内角均
小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为费马点；当△ 有一个内角大于或等于 120°
时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，且 2 + 2 2 = 1．
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(1)求角 ；
(2)若 = 6，设点 为△ 的费马点，求 + + ；
(3)设点 为△ 的费马点，| | + | | = | |，求实数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32
13.2
14.(3 + 3, 3 3]
15.解：(1) ∵ 2 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，
∴ (2 )2 + (2 ) + = 0，即 4 4 + 2 + 2 + = 0，
∴ 3 + 2 + (4 + ) = 0，
则 3 + 2 + = 0，4 + = 0，
解得： = 4， = 5，得 + 2 = 6；

(2) = 4 + 5 ， = 4 5 ，

∴ 4 5 4 5 | 4 5 |
( 4)2+( 5)2 41 82
1+ = 1+ ，则| 1+ | = | 1+ | = |1+ | = = = ．12+12 2 2
16.证明：(1)在三棱柱 1 1 1中，
平面 1 1 1//平面 ，平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 1 1 1 = ，
故 BC// ；
(2)在三棱柱 1 1 1中，
， ， 分别是 ， ， 1 1的中点，
所以 1 // ， 1 = ，
所以四边形 1 是平行四边形，
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所以 1 // ，
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∴所以 //平面 1 ，
又 // ， 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ，
∩ = ， ， 平面
所以平面 1//平面 ．
17.解：(1) ∵ + 32 = ，
∴ 3由正弦定理可得 + 2 = ，
又 = sin( + ) = + ，
∴ 32 = ，
∵ ≠ 0，
∴ = 32 ，
∵ ∈ (0, )，
∴ = 6．
(2) ∵ = 6， = 3，
2
∴ +3
2 3
由余弦定理可得 = 2 22× × 3 = 2 ，整理可得 + 3 = 3 ，
又 + = 2，两式联立，可解得 = = 1，
∴ 1 1 1△ = 2 = 2 × 1 × 3 × 2 =
3
4 ．
18.解：(1)设 = ( , )，
+ = 1
则 2 × 2 + 2cos 3 ，4 = 1
+ = 1
即 2 + 2 = 1，
∴ = 1 = 0 = 0 或 = 1，
∴ = ( 1,0)或 = (0, 1)．
(2)因为量 = (1,0)， = 0，
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所以 = (0, 1)，
| + | = ( , cos2( 4 2 ) 1)，
= ( , 12 )，
| + | = cos2 + ( 1 )2 = 32 4 sin
2 12 +
5
4 =
3 1 2 4
4 ( + 3 ) + 3，
因为 ∈ [0, 2 ]，所以 ∈ [0,1]，所以| +
| ∈ [0, 54 ]．
19.
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