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大庆市第五十七中学
2024—2025学年度下学期八年级第一次月考
数 学 试 题
一、单项选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）给出下列分式：．其中不是最简分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（本题3分）下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）若分式中a，b都扩大到原来的2倍，则分式的值是( )
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
4．（本题3分）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）已知分式的值等于零，那么x的值是（ ）
A．4 B． C． D．0
6．（本题3分）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如果方程有增根，那么m的值等于（ ）
A． B．4 C．5 D．
8．（本题3分）某快递公司请了甲、乙两名搬运工搬运包裹，甲比乙每小时多搬运包裹，甲搬运包裹所用的时间与乙搬运包裹所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少包裹？若设甲每小时搬运货物，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）下列计算结果正确的有（ ）
①；②；
③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（本题3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）约分： ．
12．（本题3分），和的最简公分母是 ．
13．（本题3分）若关于的方程的解为，则的值是 ．
14．（本题3分）一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是 ．
15．（本题3分）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ．
16．（本题3分）已知，则分式的值为 ．
17．（本题3分）若，则的值是 ．
18．（本题3分）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ．
三、解答题：（本题共9个小题，共66分）
19．（本题8分）约分：
(1) (2)
20．（本题12分）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
21．（本题8分）某商场经理预测一种应季羊毛衫能在市场上畅销，就用5000元购进一批这种羊毛衫，上市后果然供不应求．于是经理又用11000元购进了第二批这种羊毛衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了5元．求该商场第一批羊毛衫每件的进价．
22．（本题8分）（1）已知，求的值；
（2）先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
23．（本题6分）解下列分式方程:
(1); (2).
24．（本题8分）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：
，则分式与互为“3阶分式”．
(1)分式与互为“________阶分式”；
(2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”；
(3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值．
25．（本题8分）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
单枪充电桩 双枪充电桩
花费：元 花费：元
单价：元/个 单价：元/个
(1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
(2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
26．（本题8分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
大庆市第五十七中学
2024—2025学年度下学期八年级第一次月考
数 学 试 题 参 考 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B A B A A C B
11． 12．
13．/ 14．
15．且 16．
17．4 18．
19．（1）解：；
（2）解：
20．（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
21．
解：设该商场第一批羊毛衫每件的进价是x元
根据题意，得，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意．
答：该商场第一批羊毛衫每件的进价是50元．
22．
（1）解：，
．
，
，
；
（2）解：
，
且，
且，
当时，
原式．
23．
解:(1)方程两边乘x-2，得x-3+x-2=-3，
解得x=1，
检验:当x=1时，x-2=﹣1≠0，
则x=1是原方程的解；
(2)方程两边乘(x+2)(x-2)，得(x-2)2+4=x2-4，
解得x=3，
检验：当x=3时，x2-4=5≠0，
则x=3是原方程的解.
24．(1)5
(2) 证明：把代入得，
,
与互为“2阶分式”；
(3)解：分式与互为”1阶分式”,
,
,
,即,
又为正数，
，
的值为．
25．
（1）解：根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个）
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)
设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元
∵此次加购小区预备支出不超过元
∴
解得
∴的最小值为
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
26．(1)，；
（2）解：∵
，
∴这的水不能倒完；
（3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为
，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴经过次操作之后能达到．

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