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2024-2025学年第二学期九年级数学科第一次学科素养
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1. 4的倒数是（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
4. 下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 中国海油2024年3月8日宣布，在南海珠江口盆地发现我国首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量约1.02亿吨油当量，数据“1.02亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心的长为半径画弧，两弧交于点，若，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
8. 如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于，，则的长为（ ）
A. 26 B. 24 C. 12 D. 10
9. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A. B. C. D.
10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 的平方根是_______．
12. 若，则______．
13. 如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、， 连接， 则_______________ °
14. 如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为_________.
15. 如图，菱形面积为20，于E，连结，交于F，连结，记的面积为．的面积为，则的值为_______．
三、解答题（本大题共8小题，每小题7分）
16. 计算：．
17. 如图，已知三角形，点E是上一点．
（1）尺规作图：上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
18. 如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求．
19. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
20. 【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表：
电阻
电流
（1）根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）；
（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______；
（3）【深入探究】
已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时取值范围：______．
21. 某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率．
22. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
（3）创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
23. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程；
（2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式；
（3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标．

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