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河北省沧州市青县第三中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共12题，共36.0分)
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A. - B.
C. D.
2．下列各式中、运算正确的是（　　）
A. += B. =-5
C. ÷= D. （）-1=-
3．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m,AC=20m,则A，B两点间的距离是（　　）
A. 200m B. 20m
C. 40m D. 50m
4．如图，在Rt△ABC中，AB=4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF=16，则S△ABC=（　　）
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列结论中不正确的是（　　）
A. 如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边
B. 如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角
C. 如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角
D. a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边
6．将一根橡皮筋两端固定在点 ， 处，拉展成线段 ，拉动橡皮筋上的一点 ，当 是顶角为 的等腰三角形时，已知 ，则橡皮筋被拉长了
A. B.
C. D.
7．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为( )
A. 10 B. 12 C. 24 D. 48
8．用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为（　　）cm.
A. 5 B. 10 C. 4 D. 8
9．如图，正方形的边长为3，E为边上一点，，故正方形沿折叠，使点A恰好与点E重合，连接，，，则四边形的面积为（ ）
A. B.
C. 6 D. 5
10．如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP； ②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（　　）
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
11．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5，D为BC边上一点，CD=1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（　　）
A. 2 B. 3
C. D. 2-1
12．二次根式除法可以这样解：如==7+4．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）
①若a是的小数部分，则的值为+1；
②比较两个二次根式的大小＞；
③计算+++…+=1-；
④对于式子，对它的分子分母同时乘以-或或7-2，均不能对其分母有理化；
⑤设实数x,y满足（x+）（y+）=2022，则（x+y）2+2022=2022；
⑥若x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985，则正整数n=2．
A. ①④⑤ B. ②③④ C. ②④⑤⑥ D. ②④⑥
二、填空题(共4题，共12.0分)
13．若 ，则 ______.
14． 中， ， ， ， 是 的中点，则 ________.
15．如图，过点A的直线L∥x轴，点B在x轴的正半轴上，OC平分∠AOB交l于点C（2，4），则A的坐标是 _____．
16．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．
三、解答题(共8题，共72.0分)
17． 计算：
先化简，再求值： ，其中
18．已知：四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC为格点三角形．
（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-5，4），点B的坐标为（-2，0）．此时，点C的坐标为 _____；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
20．如图，在四边形 中， ， ，垂足为 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点
求证：四边形 是平行四边形；
若 ， ， ，求 的长．
21．我们规定，若a+b=2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5-与y是关于1的平衡数，求x,y的值；
（2）若（m+）×（1-）=-2n+3（-1），判断m+与5n-是否是关于1的平衡数，并说明理由．
22．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索 绳索头与地面接触 退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？
23．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形ABC．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
24．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知：S大正方形=4S直角三角形+S小正方形
∴_____；
∴_____，得证．
（2）应用勾股定理
①应用一：在数轴上画出表示无理数的点
如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使FG=1，以原点O为圆心，OF为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是 _____；
②应用二：最短路径问题
如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为16cm,圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 _____；
③应用三：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m,将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m,踏板离地的垂直高度CF=1.5m,它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
试卷答案
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】C
12．【答案】C
13．【答案】8
14．【答案】
15．【答案】（-3，4）
16．【答案】
17．解：（1）原式=3-4-（5-2 +1）
=-1-（6-2 ）
=-1-6+2
=-7+2 ；
（2）原式= ÷（ - ）
= ÷
=
= ，
当x=3+ 时，
原式= = = ．
18．解：（1）在△ABD中，∠A=90°，AB=3，DA=4，
根据勾股定理得，BD==5；
（2）在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，
∴CD2+BD2=122+52=132=BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB AD+CD BD
=×3×4+×12×5
=36．
19．解：（1）如图，
点C的坐标为（-1，2），
故答案为：（-1，2）；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2=32+42=52，BC2=12+22=5，AC2=22+42=20，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形．
20．（1）证明：∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠DEB，
∴∠ACB=∠DEB，
∵四边形ACED是平行四边形，OC= BC，
∴DE=AC=4，CE=AD=2，
∴BE=5，
∴BC=BE-CE=3，
故BC的长为3．
21．解：（1）根据题意可知：3+x=2，
解得x=-1，
5-+y=2，
解得y=-3+；
（2）（m+）×（1-）=-2n+3（-1），
∴m-m+-3=-2n+3-3，
∴m+2n-2-m=0，
①当m和n均为有理数时，
则有m+2n=0，-2-m=0，
解得：m=-2，n=1，
当m=-2，n=1时，
m++5n-=-2++5-=3≠2，
所以m+与5n-不是关于1的平衡数；
②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，
m++5n-=m+5n,而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，
所以m+与5n-不是关于1的平衡数；
③当m和n均为无理数时，当m+5n=2时，
∵m+2n-2-m=0，
解得m=，n=，
使得m+与5n-是关于1的平衡数，
当m≠，n≠时，
m+与5n-不是关于1的平衡数，
综上可得：当m=，n=时，m+与5n-是关于1的平衡数，否则m+与5n-不是关于1的平衡数．
22．解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x-3）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2-AB2=BC2，
即x2-（x-3）2=82，
解得x= ，
答：绳索长为 尺．
23．解：（1）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．
24．（1）证明：由等面积法知：S大正方形=4S直角三角形+S小正方形
∴4×+c2=（a+b）2，
∴c2=a2+b2，得证．
故答案为：4×+c2=（a+b）2，c2=a2+b2：
（2）解：①在Rt△OEF中，
∵OF===，
∴OE=，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
②连接AB，
∵圆柱的底面半径为cm,
∴AC=×2 π =6（cm），
在Rt△ACB中，AB2=AC2+CB2=36+64=100，
∴AB=10cm,
即蚂蚁爬行的最短路径长为10cm.
故答案为：10cm；
③∵CF=1.5m,BE=0.5m,
∴DB=1m.
设秋千的绳索长为x m,根据题意可得AD=（x-1）m,
利用勾股定理可得22+（x-1）2=x2．
解得：x=2.5．
答：绳索AC的长为2.5m.

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