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河北省沧州市青县盘古镇中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共12题，共36.0分)
1．(3分)二次根式中x的取值范围是（　　）
A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3
2．(3分)下列计算正确的是（　　）
A. 2a+3a=6a B. （-3a）2=6a2
C. （x-y）2=x2-y2 D. 3-=2
3．(3分)如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（　　）m2的红地毯．
A. 21 B. 75 C. 93 D. 96
4．(3分)如图，在平行四边形 中， 的平分线交 的延长线于点 ， ， ，则平行四边形 的周长为
A. B.
C. D.
5．(3分)如图，在 中， ， ， 是 的角平分线．若 ，则 的长为
A. B.
C. D.
6．(3分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A. ∠AOB=∠BOC B. ∠ABO=∠OBC C. AB=BC D. AC=BD
7．(3分)如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（　　）
A. B.
C. D.
8．(3分)如图，在长方形 中， ， ，点 是 边上一点，且 ，点 是边 上一动点，连接 ， ，则下列结论：① ；②当 时， 平分 ；③ 周长的最小值为 ；④当 时， 平分 其中正确的个数有
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
9．(3分)如图，在 ABCD中，AB=4，AD＞AB，∠ABC=60°，∠DAC=45°，点P在边AD上运动且不与点A、D重合，连接BP，取BP的中点E，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A. 2 B. 1
C. D.
10．(3分)如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
11．(3分)设，则S最接近的整数是（　　）
A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018
12．(3分)如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论；①∠BCP=75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④．其中结论正确的序号有（　　）
A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题(共4题，共12.0分)
13．(3分)用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形．”时，第一步应先假设 _____．
14．(3分)要使二次根式 有意义，则 的取值范围是 ______ .
15．(3分)如图， 的对角线 与 相交于点 ， ， ，当 ______时， 是菱形．
16．(3分)如图1， ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，设PB+PD的值为a,如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB=4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b,如图3，MN=4，∠M=75°，MG=3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c,则a2+b2+c2的最小值为_____．
三、解答题(共8题，共72.0分)
17．(9分)阅读题目：计算，
小明同学是这样计算的=
小刚同学是这样计算的=
问题填空：
（1）两位同学做法正确的是_____
A．小明正确 B．小刚正确
C．小明、小刚都正确 D．小明、小刚都不正确
（2）小明同学在计算时用到了公式
①=_____ （a≥0，b≥0）；②=_____（a≥0）
小刚同学在计算时运用了公式
①=_____ （a≥0，b≥0）； ②（）2=_____（a≥0）
18．(9分)已知：在△ACB中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长；
（3）求BD的长．
19．(9分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E．
（1）求证：△AOB≌△EOC；
（2）若OA=OB，四边形ABEC是什么特殊四边形？请说明理由．
20．(9分)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作EH⊥CF于点H，过点F作FG⊥AE于点G．
（1）请你添加一个条件：_____，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．
（2）在（1）的条件下，若AE=5，tan∠DAE=2，EG=2GF，求AG的长．
21．(9分)如图，在 的正方形网格中， ， 均在网格线的格点上．请仅用无刻度直尺按以下要求作图． 保留作图痕记
在图 中，作出一个以 为斜边的直角三角形．
在图 中，作出一个以 为直角边，且面积为 的直角三角形．
22．(9分)阅读下列短文，回答有关问题：
在实数这章中，遇到过、；这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开的尽方，可以利用将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分数时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如，化成最简二次根式是，化成最简二次根式是．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子就是同类二次根式．
（1）请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？；
（2）二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：．
23．(9分)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD=AF；
（2）若AD=6，AB=3，∠A=120°，求平行四边形ABCD的面积．
24．(9分)如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p.
（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_____；
（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是_____．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p,根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
试卷答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】D
13．【答案】△ABC为直角三角形
14．【答案】a≥1
15．【答案】16
16．【答案】62+12
17．解：（1）两位同学都做法正确，
故选C；
（2）小明：①×=（a≥0，b≥0）；
②=|a|=a（a≥0）；
小刚：①=×（a≥0，b≥0）；
②（）2=a（a≥0）．
故答案为：C，，a,×，a
18．解：（1）∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5；
（2）∵CD⊥AB，
∴CD AB=AC BC，
∴CD==；
（3）∵BC2=BD BA，
∴BD==．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，∠B=∠D
∴∠B=∠BCE
∵O是BC中点
∴BO=CO
∵BO=CO，∠B=∠BCE，∠AOB=∠COE；
（2）解：四边形ABEC是矩形．
理由如下：
∵△AOB≌△COE
∴BO=CO，AO=EO
∴四边形ABEC是平行四边形
∵OA=OB，
∴BC=AE，且四边形ABEC是平行四边形
∴四边形ABEC是矩形．
20．解：（1）添加的条件：AF=CE（答案不唯一）．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠AEH+∠FHE=180°．
∵EH⊥CF，FG⊥AE，
∴∠FGE=∠FHE=∠GEH=90°，
∴四边形EGFH为矩形；
（2）设AG=x,
∵FG⊥AE，
∴∠AGF=90°，
在Rt△AGF中，，
∴GF=2AG=2x.
∵EG=2GF，
∴EG=4x.
∵AE=AG+EG，
∴5=x+4x,
解得x=1，
∴AG的长为1．
21．解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，△ABE即为所求．
22．解：（1）=5，=3，=，=，
∴、、是同类二次根式；、、是同类二次根式．
（2）原式=
=-．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠CDF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADF，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF；
（2）解：过点D作DH⊥BA，垂足为H，
∵∠BAD=120°，AB=3，AD=6，
∴∠DAH=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∴，
∴．
24．解：（1）∵等边△ABC的边长为1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，
∴DE=AC=，EF=AB=，DF=BC=，
∴△DEF的周长为p=++=；
（2）
根据题意与由轴对称的性质可知，D2F2+F2E3+E3D4=p,
∵D2，F2，E3D4分别是各边的中点时，D2、F2、E3、D4共线，
∴当D2与D4分别是A1B1与A2B2的中点时，p最小值为：（A1B2+A2B1）=，
∵p＜AB+AC+BC=3，
∴p的取值范围是：≤p＜3．
故答案为：（1），（2）≤p＜3．

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