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2025年中考数学第二次模拟考试（山东专用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题4分）下列为正数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（本题4分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题4分）在数轴上，点表示的数是3的相反数，从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是（ ）
A．7 B．1 C． D．
4．（本题4分）已知a，b均为实数，下列结论正确的是（ ）
A．若则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（本题4分）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题4分）下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累计行驶，从未出现故障
D．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标
7．（本题4分）如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ）
A．平分 B．
C．是等边三角形 D．
8．（本题4分）下列说法正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是的三角形是等边三角形
C．相等的弦，所对的圆周角相等
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
9．（本题4分）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点E，若，则的长为（ ）

A．1 B． C． D．
10．（本题4分）如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（共110分）
填空题：（本大题共 6题，每题4分，共24分.）
11．（本题4分）“盛世修典——‘中国历代绘画大系’成果展山西特展”自7月10日在太山景区综合服务中心正式面向公众开放以来，持续火爆，八方游客纷至沓来，单日接待游客量突破万人次，总游客量突破万人次，全网媒体曝光量突破万次数据万用科学记数法表示为 .
12．（本题4分）已知，则 ．
13．（本题4分）若点在第二象限内，则t的取值范围是 ．
14．（本题4分）如图，在中，，点在上，已知，．则 ．
15．（本题4分）如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为 ．
16．（本题4分）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共86分）
17．（本题8分）（1）计算：；
（2）解不等式组：
18．（本题6分）先化简，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
19．（本题6分）如图，点C在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（本题6分）为鼓励学生积极参加体育活动，某校开展了一分钟跳绳比赛，赛后张老师从参赛学生中随机选择了20名，对他们一分钟跳绳的次数展开调查统计，其数据如下：

通过对以上数据的分析整理，绘制了如下的统计图表：
等级 次数 频数
不合格 4
合格
良好 8
优秀 2
请结合上述信息完成下列问题：
(1)___________；补全频数分布直方图；
(2)求这组数据的众数和中位数；
(3)若该校有1200名学生，请估计该校有多少名学生一分钟跳绳次数达到合格及以上．
21．（本题8分）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积．
22．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．
(1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的；（点，，的对应点分别为点，，）
(2)在（）的条件下，画出经过点，的直线，求直线的解析式．
23．（本题10分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：，， ）
24．（本题10分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑．经投标，购买一块电子白板比3台笔记版电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
(1)求购买1块白板和一台笔记本电脑各需多少元；
(2)根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有几种购买方案；
(3)经销商根据发改环资（2025）13号补贴要求决定笔记本电脑按八五折销售．上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱．
25．（本题12分）综合与探究
【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动．
如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O．将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F．如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接．
【猜想发现】
（1）如图1，是______三角形，______°；如图2，是______三角形．
【深入探究】
（2）如图2，试探究线段和线段之间的关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为．连接，交于点M，请直接写出三条线段之间的关系式．
26．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程．
参考答案
一、选择题：
1．D．
2．B．
3．D．
4．C．
5．B．
6．A．
7．C．
8．D．
9．C．
10．D．
填空题
11．
12．6．
13．．
14． ．
15．10．
16．或．
三、解答题（共86分）
17．解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
18．解：原式
，
∵，，，
∴可以取整数，
当时，原式．
19．（1）解：∵，，．
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴
即是等边三角形，
则．
20．（1）解：由题意可得：，
补全频数分布直方图如图所示：
；
（2）解：这些数据中，处在第10、11位的数分别为、，故中位数为，
这些数据中出现的次数最多，故众数为；
（3）解：（名），
故该校有名学生一分钟跳绳次数达到合格及以上．
21．（1）证明：∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
22．（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：∵先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，，
∴，
如图，连接，设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
23．解：设每节拉杆长为，则图1中，，
图2中，，
在图1中，过点作于点，
在中，，
，
，
在图2中，过点作于点，
在中，，
，
，
，
，
解得：．
答：每节拉杆长．
24．（1）解：设购买一块白板元，一台笔记本元，
依题意，得
解得：
答：购买一块白板15000元，一台笔记本4000元．
（2）解：设购买电子白板台，则笔记本电脑台，
依题意，得
解得：，
为正整数，
、100、101，
该校有三种购买方案；
（3）解：设购买笔记本电脑和电子白板的总费用为元，则
随的增大而增大
当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：购买电子白板99台，笔记本电脑297台最省钱，总费用为2494800元．
25．（1）解：在如图1中：
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，折痕是对称轴，
∴，即是直角三角形，
在如图2中：
∵四边形是正方形，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由折叠可得
∴，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：直角，；等腰．
（2）且．
理由如下：由（1）得，，，
∴，，即，
∴且．
（3）解：过点作的垂线,垂足为，设交于点，如图所示：
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为对称轴，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴．
26．（1）解：由得，
∵，
∴，则，
将，代入中，
得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴，，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
∴直线的函数表达式为，
如图，过P作轴交直线于H，
则，
∴，则当最大时，取得最大值，
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，即取得最大值，此时，
连接，则轴，
∵M是直线PC上一动点，轴，
∴，
如图，过D作，且，连接，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，当、N、C共线时取等号，
∴的最小值为，
设直线的函数解析式为，则，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴，则，
∴，
故的最小值为；
（3）解：如图，连接，
由（2）知，，直线的函数表达式为，
∵轴交直线于点E，，
∴，，，
∵将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，
∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为，
∵，
∴，
设直线与直线交点为M，，则，
∴，
解得，则，
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
联立方程组，整理得，
解得，
∴满足条件的点F横坐标为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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