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2024-2025学年浙江省浙东北县域名校发展联盟高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，则等于( )
A. B. C. D.
2.下列命题中，正确的是( )
A. 若直线与平面平行，则平行于内的任何直线
B. 若两直线，都与平面平行，则
C. 若直线平行于平面，直线在平面内，则
D. 若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行
3.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为的棱锥，截得的棱台的上底面积为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为，则棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，、分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，是的中点，将，，折起，使、、三点重合于点，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图是小明家阁楼的一处墙角示意图，其中，在的角平分线上有一定点，在处有一盏灯，灯的光线能照亮覆盖的区域范围图中，若距离地面高度为，则这盏灯可照亮的四边形区域的最大面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有( )
A. B.
C. D.
10.根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )
A. B.
C. D.
11.我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点是圆柱的上底面中心，是底面三角形边的中点，连接，是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为，则下列说法中，正确的是( )
A. 中的长为
B. 圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为
C. 四面体的体积最大值为
D. 半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的面积为______．
13.已知高为的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为______．
14.已知向量，，满足，，，，若时，的最小值为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量和满足以下条件：．
求和；
若且，求实数的值；
若且，，求．
16.本小题分
四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
证明：平面；
若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
17.本小题分
如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上含边界，和相交于点，令、．
若是的中点，用和表示；
若，求并求的取值范围．
18.本小题分
在学习了解三角形后，小万和小千尝试探究下面的问题：如图，在中，，，，，，在边上，且：：，连接，
小万说：我能求出边的最短长度；
小千说：我能求出边的最短长度；
请完成上述两个问题，并且写出解答过程．
19.本小题分
如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点，是的中点．
证明：平面；
若三棱锥体积最大为，设，
求体积最大时的值及此时二面角的余弦值；
当在弧上运动时不与、重合，证明：点到平面的距离．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.已知，
则得，
解得，
把代入得；
由得，，，
所以，
又因为，
所以，
所以；
因为，，
所以，
又因为，
所以，
即，
因为，
所以，
由得或，
所以或．
16.证明：连接交于点，连接，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：因为在底面上的投影为底面中心，所以平面，
因为平面，所以，
由知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为正方形，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度，
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为．
17.因为是的中点，
所以，
在等腰梯形中，因为，
所以，
所以，
因为是的中点，
所以，
所以；
因为．
所以
，
所以，
所以，
易得，，
则，
又，
令，
所以，
即的取值范围为．
18.因为，所以，
因为，所以，即，
在中，由余弦定理得：，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以边的最短长度为；
因为在边上，且：：，所以，，
所以在中，由余弦定理得：，
同理，在中，由余弦定理得：，
因为，所以，
即
，
即，
所以，
所以
，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为．
19.证明：因为是半圆弧上异于、的点，所以，
因为、分别是、的中点，所以，
所以，
因为是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，是交线，所以平面，
因为平面，所以，
又、平面，平面，
所以平面．
设的半径为，过点作交于点，如图，则，
因为，
故当最大时，体积最大，此时位于的中点处，所以，
，所以，
由知，平面，因为平面，所以，
因为，所以为二面角的平面角，
因为时，，，在中，，
所以，故二面角的平面角的余弦值为．
证明：过点作交于点，如图、图，则平面，
由知，当时，，
得，所以，
在中，，，
所以，
又因为，即，
所以．
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