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2024-2025 学年广东省广州市禺山高级中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 < < 4}， = { |2 < < 3}，则 ∩ =
A. { |1 < ≤ 2} B. { |2 < < 3} C. { |3 ≤ < 4} D. { |1 < < 4}
2.计算： 315°的值为( )
A. 2 B. 2 C. 3 12 2 2 D. 2
3.已知 = (2,4)， = (1,3)，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
4.已知函数 ( ) = 4 2 + 5 在区间[ 2, + ∞)上是增函数，在区间( ∞, 2]上是减函数，则 (1)等于
( )
A. 7 B. 1 C. 17 D. 25
5.在△ 中，点 满足 = 3 ，则( )
A. = 1 + 2 B. = 1 2 3 3 3 3
C. = 2 + 1 3 3
D. = 23
1 3

6.若△ 的面积为 3， = 2， = 60°，则边 的长度等于( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
7.如图， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱的中点，则( )
A. //
B. //
C. ⊥
D. //平面

8.已知 是△ 所在平面内一定点，动点 满足 = + (
|
+
| |
)， ∈ (0, + ∞)，则动点
|
的轨迹一定通过△ 的( )
A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 满足 (4 + 3 ) = 2 (其中 是虚数单位)，则下列说法正确的是( )
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A. 2的虚部为 5 B. 在复平面内对应的点位于第四象限

C. + = 2 D. | | = 15 5
10.已知函数 ( ) = + 1 ，则下列结论中正确的是( )
A. ( )最小值是 2 B. ( )是奇函数
C. ( )在(0,1)上单调递减 D. ( )在(1, + ∞)上单调递增
11.在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 = 2， = 3，则( )
A. △ 面积的最大值为 3 B. △ 周长的最大值为 6
C. 2 + 2的取值范围为(4,8] D. + 2 2 21的最大值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，△ ′ ′ ′是水平放置的△ 的直观图， ′ ′ = 6，
′ ′ = 2，则△ 的面积是______．
13.已知平面向量 = (0,1)， = ( 1, 2)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为______．
14.一个圆锥母线长为 6，侧面积 3 2 ，则这个圆锥的外接球体积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = (2,2)， = ( , 1)．
(Ⅰ)若 / / ，求 ；
(Ⅱ)若 ⊥ ( 2 )，求 与 所成夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
△ ABC 2 + 2 6在 中， 2 bc =
2．
(Ⅰ)求 cosA 的值；
(Ⅱ)若 = 2 ， = 6，求 的值．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 + = 2 ．
(Ⅰ)证明： = 2 ；
(Ⅱ)若 cos = 23，求 cos 的值．
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18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， = 2 ， ⊥ ， ， 分别是 和 的中
点
(1)证明： ⊥ ；
(2)证明：平面 //平面
19.(本小题 17 分)
双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上

著名的“悬链线问题”与之相关).其中双曲正弦函数： ( ) = 2 ，双曲余弦函数； ( ) =
+
2 (
是自然对数的底数， = 2.71828…)．
(1)求 2( ) 2( )的值；
(2)证明：两角和的双曲余弦公式 ( + ) = ( ) ( ) + ( ) ( )；
(3)若关于 的不等式 4 2( ) 2 (2 ) 3 ≥ 0 在[ 2, + ∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.( 2 45 , 5 )
14.4 3
15.解：(Ⅰ)平面向量 = (2,2)， = ( , 1)
若 // ，则 2 × ( 1) 2 = 0，
解得 = 1；
(Ⅱ)若 ⊥ ( 2 )，则 ( 2 ) = 2 2 = 0，
即(22 + 22) 2(2 2) = 0，
解得 = 3，
∴ = (3, 1)，
∴ 与 所成夹角的余弦值为

= = 2×3+2×( 1) 5
| |×|
= ．
| 22+22× 32+( 1)2 5
16. (Ⅰ) ∵ △ 6解： 在 中， 2 + 2 = 2 + 2 ，
2 2 2
由余弦定理 = + 2 ，
6
∴ = 2 62 = 4 ．
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(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，0 < < 2，
∴ = 1 cos2 = 104 ．
∵ = 2 ，
∴ = 2 = 2 = 2 × 10 6 154 × 4 = 4 ，
又∵ = 6, = ，
10
∴ =
6× 4
= = 2．15
4
17.解：(Ⅰ)证明：∵ + = 2 ，
∴ + = 2 ，
∵ = sin( + ) = + ，
∴ = = sin( )，
由 ， ∈ (0, )，
∴ 0 < < ，
∴ = ，或 = ( )，
化为 = 2 ，或 = (舍去)．
∴ = 2 ．
(Ⅱ) 2解： = 3，∴ = 1 cos
2 = 53 ．
= 2 = 2 2 1 = 19， = 1 cos
2 = 4 59 ．
∴ = cos( + ) = +
= 19 ×
2+ 4 5 × 5 = 223 9 3 27．
18.证明：(1) ∵ ⊥平面 ，
平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ，
， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴ ⊥ ;
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(2) ∵ = 2 ， 为 的中点，∴ = ，
又∵ // ，∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，
∵ 面 , 面
∴ //面 .
∵ ， 分别是 和 的中点，∴ // ，
∵ 面 , 面
∴ //面 .
∵ ∩ = ， 面 , 面 ，
∴平面 //平面 ．
19.
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