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2024-2025学年第二学期浙江省金华市七年级数学期末复习试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D.
2. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3. 空气中的平均浓度为，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4. 要对一大批刚生产出来的乒乓球质量进行检验，下列做法比较合适的是（ ）
A．从中抽取个进行检验 B．从中抽取少数几个进行检验
C．把所有乒乓球逐个进行检验 D．从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验
5. 市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，
图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，
当为（　 　）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．116
如果，那么的值分别是（ ）
A． B． C． D．
7. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：
五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为 ( )
B．
C． D．
8． 若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或
将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，
当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：
①；②；③平分；④．
其中正确的是　 　
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：= .
12. 如果=2，则的值为 .
13． 如图，将周长为的三角形沿方向平移，得到三角形，若四边形的周长为，则平移距离为 ．
14. 如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，
如图2所示，垂直于地面于，当平行于地面时，则 ．
如图①是一条长方形纸带，F是上的一个动点，将纸带沿折叠（如图②），
其中与相交于点G，再沿折叠（如图③）．
若，则的度数为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 因式分解：
(1)；
(2)．
18.解方程（组）：
(1)；
(2)．
先化简：，
再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．
某中学开展了丰富多彩的劳动教育实践活动，
小明将他们班同学参加劳动实践的情况绘制成了如图两幅图，看图解决如下问题．
(1)小明班参加劳动实践的一共有______人．
(2)衣物洗护的人数占全班人数的______，请将衣物洗护人数的条形图补充完整．
(3)校园保洁的人数比餐饮制作的人数少百分之多少？
21．已知：如图，，．
求证：；
求的度数．
22. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，
然后按照图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为__________，

(2)若，均为有理数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
(3)如图3，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在同一条直线上，
若，，求图中阴影部分的面积．

23．根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件．
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支．
素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
24. 综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
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2024-2025学年第二学期浙江省金华市七年级数学期末复习试卷解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D.
【答案】D
【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
【详解】解：根据对顶角的定义可得，选项D的图形是对顶角，
故选D．
2. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的结构逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
B. 不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
C. 能用平方差公式计算，符合题意；
D. 不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意．
故选C．
3. 空气中的平均浓度为，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：C．
4. 要对一大批刚生产出来的乒乓球质量进行检验，下列做法比较合适的是（ ）
A．从中抽取个进行检验 B．从中抽取少数几个进行检验
C．把所有乒乓球逐个进行检验 D．从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验
【答案】D
【详解】本题考查了抽样调查，根据抽样调查的对象要有代表性和广泛性判定即可求解，掌握抽样调查的要求是解题的关键．
解：、从中抽取个进行检验，数量太少，故本选项错误；
、从中抽取少数几个进行检验，数量太少，故本选项错误；
、把所有乒乓球逐个进行检验，调查对象过多，故本选项错误；
、从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验，具有代表性，故本选项正确；
故选：．
5. 市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，
图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，
当为（　 　）度时，与平行．
A．54 B．64 C．74 D．116
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，进而可求出的度数，再根据平行线的判定可得时，，由此可得的度数．
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】，，
，
，
，
，，
，
∴当时，．
故选：B．
6．如果，那么的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
故选B．
7. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：
五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为 ( )
B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x,
故选C.
8．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或
【答案】C
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．
【详解】解：，
分式方程两边同乘以得：
，
，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故选：C．
将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，
当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设图中小长方形的长为x，宽为y，结合两块阴影部分 的面积相等，可得，再进一步求解即可；
【详解】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分 的面积相等，
根据题意得：，即．
故选：A．
如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：
①；②；③平分；④．
其中正确的是　　
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可．
【解答】解：如图，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
，
，
，
，
平分，
故③正确，符合题意；
，，
，
故④正确，符合题意；
故选：．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11.分解因式：= .
【答案】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
12.如果=2，则的值为 .
【答案】
【分析】由=2，可得a=2b，代入即可求得．
【详解】∵=2，
∴a=2b，
∴===．
故答案为：．
13．如图，将周长为的三角形沿方向平移，得到三角形，若四边形的周长为，则平移距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查图形平移的性质．根据平移的性质得到，，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
由根据平移的性质得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平移的距离为3cm，
故答案为：3．
14. 如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，
如图2所示，垂直于地面于，当平行于地面时，则 ．
【答案】270°/270度
【分析】过点B作BFAE，如图，由于CDAE，则BFCD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD＋∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，所以∠ABF＝90°，于是有∠ABC＋∠BCD＝∠ABF＋∠CBF＋∠BCD＝270°．
【详解】解：过点B作BFAE，如图：
∵CDAE，
∴BFCD，
∴∠BCD＋∠CBF＝180°，
∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABC＋∠BCD＝∠ABF＋∠CBF＋∠BCD＝90°＋180°＝270°．
故答案为：270°．
15. 先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
如图①是一条长方形纸带，F是上的一个动点，将纸带沿折叠（如图②），
其中与相交于点G，再沿折叠（如图③）．
若，则的度数为 ．
【答案】/24度
【分析】本题考查了折叠问题，涉及了平行线的性质，熟记折叠的性质：折叠前后对应角相等是解题关键．根据可得，可求得；结合即可求解.
【详解】解：由图③可知：
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键；
（1）先添负号，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
18.解方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)原方程无解．
【分析】本题考查解二元一次方程组及分式方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解．
先化简：，
再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且且，
∴当时，原式．
某中学开展了丰富多彩的劳动教育实践活动，
小明将他们班同学参加劳动实践的情况绘制成了如图两幅图，看图解决如下问题．
(1)小明班参加劳动实践的一共有______人．
(2)衣物洗护的人数占全班人数的______，请将衣物洗护人数的条形图补充完整．
(3)校园保洁的人数比餐饮制作的人数少百分之多少？
【答案】(1)50
(2)10，条形图补充见解析．
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，熟知条形统计图及扇形统计图的特征是解题的关键．
（1）根据扇形统计图中“手工制作”学生人数所占比例及条形统计图中“手工制作”的学生人数即可解决问题．
（2）根据“餐饮制作”，“手工制作”和“校园保洁”学生人数所占百分比即可求出“衣物洗护”学生人数所占百分比，再结合（1）中数据即可解决问题．
（3）根据“校园保洁”和“餐饮制作”的学生人数即可解决问题．
【详解】（1）解：由扇形统计图可知，
“手工制作”的学生人数占参加的总人数的；
由条形统计图可知，
“手工制作”的学生人数为10，
所以小明班参加劳动实践的总人数为：（人）
故答案为：50；
（2）解：，
所以衣物洗护的人数占全班人数的
（人），
即衣物洗护的学生人数为5，
条形统计图如下，
．
故答案为：10；
（3）解：由条形统计图可知，
校园保洁的人数为15人，餐饮制作的人数为20人，
所以，
答：校园保洁的人数比餐饮制作的人数少百分之二十五．
21．已知：如图，，．
求证：；
求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，根据平行线的性质得出，，等量代换即可得出答案；
（2）设度，则，，根据平行线的性质得出，进而列出，求出，再根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设度，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，
然后按照图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为__________，

(2)若，均为有理数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
(3)如图3，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在同一条直线上，
若，，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)．
(2)．
(3)8
【分析】（1）由图象中小正方形面积大正方形面积长方形面积求解．
（2）根据求解．
（3）由，，求解．
【详解】（1）由图象可得：．
故答案为：．
（2），
，
，，
．
（3），
，
．
23．根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件．
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支．
素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
【答案】任务一：每支钢笔9元，每本笔记本6元；任务二：购买钢笔30支，笔记本45本；任务三：有3种方案，分别为：①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用：
任务一：解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，列出方程，即可求解；
任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意，列出方程组，即可求解；
任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本．由题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，得：
，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
（元）
答：每支钢笔9元，每本笔记本6元；
任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意得：
，
解得：，
答：购买钢笔30支，笔记本45本；
任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本．
由题意得：，整理得：，
∵，
∴或或，
∴有3种方案，分别为：
①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本
24. 综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
探索发现：小刚的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；
小红的方法：先由得，再根据三角形的外角定理得，据此即可得出结论；
深入思考：先根据三角形的外角定理得，再根据得，然后根据平行线的判定可得出结论．
拓展延伸：设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，得，由此解出，设，则，再根据得，进而得，然后根据在（2）的条件下得，则，由此得，据此求出即可得到的度数．
解：探索发现：
（1）小刚的证明如下：
过点作，
，
，
，
，
即；
小红的证明如下：
延长交于点，
，
，
是的一个外角，
，
即；
【深入思考】
（2）证明：是的一个外角，
，
，
，
；
【拓展延伸】
（3）解：平分，，
，
设，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
解得：，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
即，
解得：，
．
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