资源简介 马鞍山二中 2025 届高三年级高考适应性考试数学试题(本试卷总分 150 分,考试时间 120 分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A {x | 2≤ x 1}, B { 2, 1,0,1,2},则 A B A.{ 1,0,1,2} B.{ 1,0,1} C.{ 2, 1,0,1} D.{ 2, 1,0} 2.设 a,b不共线, AB 2a b , BC a b ,CD a 3b ,若 A,B,D三点共线,则实数 的值为A. 2 B. 1 C.1 D.23.已知直线 ax 3y 2 0与圆 x2 y2 4交于 A,B两点,则“ | AB | 2 3 ”是“ a 1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4 x a.若函数 f (x) ln x的图象关于 (2,2)对称,且 a 1,则实数 a x 1A. 5 B. 1 C.0 D. 55.如图, A,B y 1 π是直线 与函数 f (x) cos( x ) 图象的两个交点,若 | AB | ,则 f (π) 2 6A 1 B 1 C 3 3. . . D. 2 2 2 26.若等差数列{an}的公差 d 0,等比数列{bn}的公比 q 1,且 ax ay 3d ,b3bx b2y q3 ,则 x y A.6 B.8 C.9 D.127.设抛物线 : y2 4x的焦点为 F ,x轴上方有两点 A,B在 上,若直线 AF 与 BF 的倾斜角互补,且点 A到 准线的距离为 3,则点 B的横坐标为A 1. B 1. C 2. D.13 2 3 28 x x a,x 0.已知函数 f (x) x , f (x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 y f (x)在这两点处 e , x 0的切线重合,则实数 a的取值范围是A. ( 1, 1) B. ( , 1 ) C. ( 1 1, ) D. ( , 1) ( , )4 4 4数学试题 第 1 页 共 4 页二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。9.某班有 10名同学,现在选出 3名去参加歌唱比赛,则不同的选法种数为A7A.C3 10 3 2 1 2 310 B. A3C.C9 C9 D.C8 2C8 C8310 c 2a b.已知△ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, c 4,且 ,则cosC cosBA C 2π. B.△ABC 4 3的外接圆半径为3 3C.若 a 2b,则△ABC 8 3的面积为 D. AB边上中线CD的最大值为 43211 x.已知 F 为椭圆C : y2 1(a 1)的左焦点,点 A,B在椭圆C上,记 | AF | | BF | | AB | m,则a2A.m的最大值为 4aB m 4. 的最小值为aC.若直线 AB与单位圆相切,点 A,B在 y轴左侧,则m 2aD.若直线 AB与 y m 6 3轴重合, ,则椭圆C的离心率 e 2三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。12.设随机变量 X 服从正态分布 N (1, 2 ),且 P(X ≤ a2 1) P(X a 3) ,则正数 a .13.设 i为虚数单位,若 2 i是关于 x的方程 x2 px q 0(p,q R)的一个根,则 p q .14.市第二中学开展劳动实践活动,学生对圆台体木块进行平面切割,已知圆台的上底面半径为 2,下底面半径为 4,要求切割面经过圆台的两条母线.若切割面经过圆台的上下底面圆心,且面积为12 3,则圆台外接球的表面积为 ;若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心,则圆台的高的取值范围为 .四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)f (x) a ln x 1 x已知函数 .x(1)讨论 f (x)的单调性;(2)若 f (x)有极小值,且极小值大于 (a2 1)(a 1),求 a的取值范围.数学试题 第 2 页 共 4 页16.(15分)如图,四棱锥 P ABCD的底面为正方形,AB AP 2,PA 平面 ABCD,E,F 分别是线段 PB,PD的中点,G是线段 PC上的一点.(1)求证:平面 EFG 平面 PAC ;(2)若直线 AG与平面 AEF 1所成角的正弦值为 ,求CG的长.317.(15分)甲、乙两人进行游戏比赛,游戏共五局,先获得三局胜利的人赢得比赛;比赛分为进攻方与防守方,一方进攻则另一方防守,进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利,一方进攻成功则继续进攻,一方进攻失败则更换进攻方;甲在进攻方胜率为 a,乙在进攻方胜率为 b,甲优先进攻.(1)第二局乙获胜的概率;1 1(2)若 a ,b ,求甲在四局以内赢得比赛的概率;2 3(3)若 a b 1,记游戏局数为 X ,求 E(X )的最大值.数学试题 第 3 页 共 4 页18.(17分)平面直角坐标系 xOy中,已知点 P(0,1),动点M 在 x轴上的投影为M ,且 |M M | |M P |,记动点M的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程;(2)已知点 A,B在曲线 上,点 A在 x轴上方且异于点 P,点 B在 x轴下方,直线 AP,BP, AB与 x轴分别交于点C,D,Q.(ⅰ)若 PA PB,求 | AB |的取值范围;(ⅱ)求证: |QC | |QD | | PQ |2.19.(17分)已知 n N*且 n≥ 2,数列 A0 : a1,a2 ,a3 , ,an 1,an,定义数列 A0 的一个变换T ,在变换T 下数列 A0 变为新的数列 A1 : a1 a2 ,a2 a3 , ,an 1 an ,an a1,记T (A0 ) A1,设 Ak 1 T (Ak ), k N.(1)若 A :1,2,4, , 2n 10 ,求 A1, A2;(2)若 n 100,且 A0 :1,2,3, ,n,记数列 Ak (k N* )的末项为 bk ,求数列{bk}(k N*) 的前 100项的和;(3)若 n 4,数列 A0 不是常数列,求证:存在 k0 N*,使得对任意 k≥ k0 ,数列 Ak 中至少有一项的绝对值大于 2025.数学试题 第 4 页 共 4 页数学答案一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A ={x | 2≤ x 1}, B ={ 2, 1,0,1,2},则 A B =A.{ 1,0,1,2} B.{ 1,0,1} C.{ 2, 1,0,1} D.{ 2, 1,0}【答案】选 D. A B ={ 2, 1,0}.2.设 a,b不共线, AB = 2a + b , BC = a + b ,CD = a 3b ,若 A, B, D三点共线,则实数 的值为A. 2 B. 1 C.1 D.2【答案】选 A. BD = BC +CD = 2a 2b,又 A, B, D三点共线,且 AB = 2a + b ,所以 = 2 .3.已知直线 ax + 3y + 2 = 0 与圆 x2 + y2 = 4交于 A, B 两点,则“ | AB |= 2 3 ”是“ a =1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】选 B.不难知 | AB |= 2 3 弦心距 d =1 a = 1.x + a4.若函数 f (x) = ln + x 的图象关于 (2,2)对称,且 a 1,则实数 a =x +1A. 5 B. 1 C.0 D.5【答案】选 A.结合 f (x) 的定义域的对称性不难知 a 1= 4,故 a = 5 .1 π5.如图, A, B 是直线 y = 与函数 f (x) = cos( x + ) 图象的两个交点,若 | AB |= ,则 f (π) =2 61 1A. B. 2 23 3C. D. 2 25π 3【答案】选 D.不难求得 f (x) = cos(4x + ) ,故 f (π) = .6 26.若等差数列{an}的公差 d 0,等比数列2 3{bn}的公比 q 1,且 ax = ay + 3d ,b3bx = by q ,则 x + y =A.6 B.8 C.9 D.12【答案】选 C.由题, x = y + 3,3+ x = 2y + 3,解得 x = 6 , y = 3,故 x + y = 9 .7.设抛物线 : y2 = 4x 的焦点为 F , x轴上方有两点 A, B 在 上,若直线 AF 与 BF 的倾斜角互补,且点 A到 准线的距离为 3,则点 B 的横坐标为1 1 2A. B. C. D.13 2 3p2 1【答案】选 B.易知 xA = 2 ,由焦点弦性质不难知 xAxB = =1,故 xB = .4 2 x2 + x + a, x 08.已知函数 f (x) = , f (x) 的图象上存在不同的两点 A, B ,使得曲线 y = f (x) 在这两 e x , x 0点处的切线重合,则实数 a的取值范围是1 1 1A. ( 1, ) B. ( , ) C. ( 1,+ ) D. ( , 1) ( ,+ )4 4 41【答案】选 A.基于 f (x) 的图象,易求得 a ( 1, ).4数学试题 第1页(共5页)二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。9.某班有 10 名同学,现在选出 3 名去参加歌唱比赛,则不同的选法种数为A7A.C3 B. 10 C. 3 2 1 2 310 C + C3 9 9 D.C8 + 2C8 +C8 A3【答案】选 ACD.CD:对于特定的同学,入选与否进行分类计数.c 2a b10.已知△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c , c = 4,且 = ,则cosC cos B2π 4 3A.C = B.△ABC 的外接圆半径为3 38 3C.若 a = 2b,则△ABC 的面积为 D. AB 边上中线CD的最大值为 43c 2a b π【答案】选 BC.A:由题, = ,易得C = ,A 错误;cosC cos B 3c 8 3 4 3B:由正弦定理, 2R = = ,则△ABC 的外接圆半径为 ,B 正确;sin C 3 38 3C:若 a = 2b,则△ABC 为直角三角形,易知△ABC 的面积为 ,C 正确;31 1D:由余弦定理,16 = a2 + b2 ab≥ ab,故 | CD |= 2(a2 + b2 ) c2 = 2(16 + ab) 16 ≤ 2 3 ,2 2当且仅当 a = b时取等,D 错误.x211.已知 F 为椭圆C : + y2 =1(a 1)的左焦点,点 A, B 在椭圆C 上,记 | AF | + | BF | + | AB |= m,则a2A.m 的最大值为 4a4B.m 的最小值为aC.若直线 AB 与单位圆相切,点 A, B 在 y 轴左侧,则m = 2a3D.若直线 AB 与 y 轴重合,m = 6,则椭圆C 的离心率 e =2【答案】选 ACD.A:当 AB 过右焦点时,m 的最大值为 4a ,故 A 正确;B:取 a = 2,则 A, B 无限接近 A1( 2,0) 时,m 无限接近 2 | A1F |= 2(2 3) 2 ,故 B 错误;2 2 1C:设 AB 与单位圆相切于T ,则 | AT |= xA + yA 12 = (1 )x2A = exA ,熟知 | AF |= a + ex ,a2A故 | AF | + | AT |= a ,同理 | BF | + | BT |= a ,即m = 2a ,故 C 正确;3D:此时 a = 2,离心率 e = ,故 D 正确.2三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.设随机变量 X 服从正态分布 N (1, 2 ) ,且 P(X ≤ a2 1) = P(X a 3) ,则正数 a = .【答案】2.由 (a2 1) + (a 3) = 2,解得 a = 2或 3(舍).13.设 i 为虚数单位,若 22 + i 是关于 x的方程 x + px + q = 0( p,q R) 的一个根,则 p + q = .【答案】1.由二次方程的虚根为共轭复数,得 p = (2 + i + 2 i) = 4, q = (2 + i)(2 i) = 5.14.市第二中学开展劳动实践活动,学生对圆台体木块进行平面切割,已知圆台的上底面半径为 2,下底面半径为 4,要求切割面经过圆台的两条母线.若切割面经过圆台的上下底面圆心,且面积为12 3 ,则圆台外接球的表面积为 ;若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心,则圆台的高的取值范围为 .【答案】64π;(0,2).当切割面经过圆台上下底面圆心时,切割面为等腰梯形,易得高O1O2 = 2 3 ,数学试题 第2页(共5页)且圆台外接球球心在高O1O2 上,设圆台的外接球半径 R ,则 R2 4 + R2 16 = 2 3 ,解得R = 4 ;将圆台O1O2 补成圆锥 PO2 ,设圆台O1O2 的母线长 l ,则圆锥 PO 2l APB = 2 母线长为 .设 ,则1 3切割面为等腰梯形,且面积 S = [(2l)2 l2 ]sin = l2 sin .当切割面的面积取最大值时且不经过上2 2 r r 2下底面圆心时,不难知 为钝角.设圆台的高为 h,则 tan = 2 1 = 1,故0 h 2.2 h h四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13 分)1 x已知函数 f (x) = a ln x + .x(1)讨论 f (x) 的单调性;(2)若 f (x) 有极小值,且极小值大于 (a2 +1)(a 1),求 a的取值范围.ax 1【解析】(1) f (x) 的定义域为 (0,+ ), f (x) = .x2① a ≤ 0时, f (x) 0,此时 f (x) 在 (0,+ )上单调递减;1 1 1② a 0时,令 f (x) 0 得 0 x ,令 f (x) 0得 x ,此时 f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在a a a1( ,+ ) 上单调递增. (6 分)a1(2)由(1)知 a 0时, f极小值 = f ( ) = a ln a + a 1 (a2 +1)(a 1),整理得 ln a + a2 a 0.a1 1令 g(a) = ln a + a2 a ,则 g (a) = + 2a 1≥ 2 2a 1= 2 2 1 0 ,a a故 g(a)在 (0,+ )上单调递增,又 g(1) = 0 ,所以 a的取值范围为 (0,1) . (13 分)16.(15 分)如图,四棱锥 P ABCD 的底面为正方形, AB = AP = 2 , PA⊥平面 ABCD , E, F 分别是线段PB, PD的中点,G 是线段 PC 上的一点.(1)求证:平面 EFG ⊥平面 PAC ;1(2)若直线 AG 与平面 AEF 所成角的正弦值为 ,求CG 的长.3【解析】(1)连接 BD,因为 E, F 分别是线段 PB, PD的中点,所以 EF∥BD.因为 PA⊥平面 ABCD, BD 平面 ABCD,所以 PA ⊥ BD ,即 EF ⊥ PA ,又 ABCD为正方形,所以 BD ⊥ AC ,即 EF ⊥ AC又 PA AC = A, PA, AC 平面 PAC ,所以 EF ⊥平面 PAC ,又 EF 平面 EFG ,所以平面 EFG ⊥平面 PAC . (6 分)(2)如图,以 A为原点,分别以 AB, AD, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 A xyz ,则 A(0,0,0) , E(1,0,1) , F(0,1,1), P(0,0,2) ,C(2,2,0) , AE = (1,0,1) , AF = (0,1,1),数学试题 第3页(共5页)设 PG = PC(0 1),则 AG = AP + PG = (0,0,2) + (2 ,2 , 2 ) = (2 ,2 ,2 2 ) . AE n = x + z = 0设平面 AEF 的一个法向量为n = (x, y, z),则 ,令 z = 1得n = (1,1, 1) . AF n = y + z = 0设直线 AG 与平面 AEF 所成角为 ,则| n AG | | 6 2 | 1sin =| cos n, AG |= = = .| n | | AG | 3 4 2 + 4 2 + (2 2 )2 31 1 5 3解得 = 或 ,所以CG = (1 )PC = (1 ) 2 3 = 或 3 . (15 分)6 2 317.(15 分)甲、乙两人进行游戏比赛,游戏共五局,先获得三局胜利的人赢得比赛;比赛分为进攻方与防守方,一方进攻则另一方防守,进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利,一方进攻成功则继续进攻,一方进攻失败则更换进攻方;甲在进攻方胜率为 a,乙在进攻方胜率为b ,甲优先进攻.(1)第二局乙获胜的概率;1 1(2)若 a = ,b = ,求甲在四局以内赢得比赛的概率;2 3(3)若 a + b =1,记游戏局数为 X ,求 E(X ) 的最大值.【解析】(1)设第二局乙获胜的概率为 P(A),则 P(A) = a(1 a) + (1 a)b = (1 a)(a + b) . (3 分)(2)设比赛三局甲获胜的概率为 P(B),比赛四局甲获胜的概率为 P(C) ,则 P(B) = a3, P(C) = (1 a)(1 b)aa + a(1 a)(1 b)a + aa(1 a)(1 b),1 1 1 1 2 3代入 a = ,b = ,得甲在四局以内赢得比赛的概率 P(B) + P(C) = + 3 = . (8 分)2 3 8 8 3 8(3)若 a + b =1,则每局游戏中甲获胜的概率为 a,失败的概率为b .由题意, P(X = 3) = a3 + b3 , P(X = 4) = C13a3b +C13ab3, P(X = 5) = C2a3b2 +C2 2 34 4a b . (11 分)于是,利用 a + b =1,E(X ) = 3(a3 + b3 ) +12(a3b + ab3 ) + 30(a3b2 + a2b3)= 3(a2 + b2 ab) +12ab(a2 + b2 ) + 30a2b2 (a + b)= 3(1 3ab) +12ab(1 2ab) + 30a2b2= 6a2b2 + 3ab + 3a + b 2 1 1 33因为 0 ab≤ ( ) = ,所以 ab = 时, E(X ) 取得最大值 . (15 分)2 4 4 818.(17 分)平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(0,1),动点M 在 x轴上的投影为M ,且 | M M |=| M P | ,记动点 M 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程;(2)已知点 A, B 在曲线 上,点 A在 x轴上方且异于点 P ,点 B 在 x轴下方,直线 AP, BP, AB与x轴分别交于点C, D,Q.(ⅰ)若 PA⊥ PB ,求 | AB |的取值范围;(ⅱ)求证: | QC | | QD |=| PQ |2 .【解析】(1)设 ,则 2 2M (x, y) M (x,0),由题意, | y |= x +1 ,整理得曲线 的方程为: y2 x2 =1. (4 分)数学试题 第4页(共5页) 2k(2)(ⅰ)联立直线 PA : y = kx +1与 得: (k2 1)x2 + 2kx = 0 ,故 xA = ,k2 11 2( )1 2k又 PA⊥ PB ,以 替代 k ,得 xB =k = ,所以 xA = xB ,即 AB ⊥ x 轴.k 1 2( )2 1 1 kk于是, | AB |= 2yA 2,即 | AB |的取值范围为 (2,+ ). (10 分)(ⅱ)联立直线 AB : x = my + t 与 得: (1 m2 )y2 2mty (t2 +1) = 0, 2mt t2 +1由韦达定理, y 2 2A + yB = , yA yB = ,由 0 t +1 m . (13 分) 2 m2m 1 1yA 1 x x在直线 AP : y = x +1中,令 x = 0 得C( A ,0) ,同理D( B ,0) ,又Q(t,0) ,xA yA 1 yB 1xA xB tyA t +my + t ty t +my + t于是 | QC | | QD |=| t + | | t + |=| A | | B B |yA 1 yB 1 yA 1 yB 1y 2= (t +m)2 | AyB t +1|= (t +m)2 | |= t2 +1=| PQ |2 . (17 分)y y (y + y ) +1 (t2A B A B +1) ( 2mt) + (m2 1)19.(17 分)已知 n *N 且 n≥ 2,数列 A0 : a1,a2 ,a3 , ,an 1,an ,定义数列 A0 的一个变换T ,在变换T 下数列 A0变为新的数列 A1 : a1 a2 ,a2 a3 , ,an 1 an ,an a1 ,记T (A0 ) = A1,设 Ak+1 = T (Ak ) , k N.(1)若 A :1,2,4, ,2n 10 ,求 A1 , A2 ;(2)若 n =100,且 A0 :1,2,3, ,n,记数列 A* *k (k N )的末项为bk ,求数列{bk}(k N ) 的前 100项的和;(3)若 n = 4,数列 A0 不是常数列,求证:存在 k0 *N ,使得对任意 k ≥ k0 ,数列 Ak 中至少有一项的绝对值大于 2025.【解析】(1)由定义知: A1 : 1, 2, 4, , 2n 2 ,2n 1 1, (2 分)A :1,2,4, ,2n 3, 3 2n 2 +1,2n 12 . (4 分)(2)由题, A1 : 1, 1, , 1,n 1,故b1 = n 1; A2 : 0,0, 0, n,n,故b2 = n ;n 1个 n 2个 n 1,k =1A3 : 0,0, ,0,n, 2n,n,故b3 = n ;……,依次类推知bk = ; (8 分) n,2≤ k ≤100n 3个故 S100 = b1 + b2 + + b100 = n 1+ 99n =100n 1= 9999. (10 分)(3)当 n = 4时,记数列 Ak : x*k , yk , zk ,tk ,k N,则 k N 时,xk + yk + zk + tk = 0 ,x1, y1, z1, t1 不全为 0, xk = xk 1 yk 1; yk = yk 1 zk 1; zk = zk 1 tk 1,tk = tk 1 xk 1. (12 分)故 k ≥ 2时, x2k + y2 + z2 2k k + tk = (xk 1 yk 1)2 + (yk 1 z2 2 2k 1) + (zk 1 tk 1) + (tk 1 xk 1)= 2(x2 + y2 + z2 + t2 2 2 2 2 2k 1 k 1 k 1 k 1) 2(xk 1 + zk 1)(yk 1 + tk 1) = 2(xk 1 + yk 1 + zk 1 + tk 1) + 2(xk 1 + zk 1)2(x2 2 2 2 2 2 2 2 2≥ k 1 + yk 1 + zk 1 + tk 1)≥ 2 (xk 2 + yk 2 + zk 2 + tk 2 )2k 1(x2≥ ≥ 1 + y2 + z2 21 1 + t1 ) . (15 分)取 k 使得 k0 1 20 2 (x1 + y2 + z2 2 2 2 2 2 2 21 1 + t1 ) 4 2025 ,则对任意 k ≥ k0 , xk + yk + zk + tk 4 2025 ,故x2 , y2 , z2k k k ,t2k 中至少有一个数大于 20252 ,即数列 Ak 中至少有一项的绝对值大于 2025. (17 分)数学试题 第5页(共5页) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 安徽省马鞍山二中2025届高三年级高考适应性考试数学试题.pdf 数学试题与答案.pdf