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辽宁省实验中学2025届高三第五次数学模拟试卷
命题人：高三数学组 校对人：高三数学组
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．5个班分4个入团名额，每个班至多分两个名额，名额必须分完，那么不同的分法有（ ）种．
A．15 B．35 C．45 D．60
6．设，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知的最小值为0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的最大值为1 B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．的最小正周期为
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ）
A．的周长为8
B．若直线经过点，则的最小值是1
C．若线段中点坐标为，则直线的方程为
D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为
11．如图，正方体棱长为1，点M是侧面上的一个动点（含边界），P，Q分别为棱，的中点，过点A，P，Q的平面记为，则（ ）
A．若M在线段上，则平面 B．若，则点M的运动路径的长度为
C．存在点，使得平面 D．分正方体两部分的体积为，（），则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为 .
13．已知，，且，则的最小值是 .
14．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为 ．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.
年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21
市场规模（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数.
(1)根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）；
(2)已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若，求随机变量X的数学期望和方差.
16.（本小题满分15分）
已知数列的首项，．
求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）令，求数列的最大项．
17.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为．
求轨迹的方程
求的取值范围；
（3）点关于原点对称，若，求的面积．
18.（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为.
（1）当时，时.
（i）证明：；
（ii）求；
（2）若，求取值范围.
19.(本小题满分17分）
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数.
(1)当时
（i）判断的奇偶性，并求在的极值；
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
(2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.辽宁省实验中学 2025届高三第五次数学模拟试卷
一、单项选择题
1-8 CCDA 5-8 CBBA
二、多项选择题
9、BC 10、BCD 11、ABD
三、填空题
x2 2 8 1,
4
12、 y 1 13、 14、
3 3
四、解答题
8
x 1 x 2 3 6 10 13 15 18 21 8815、（1） i 11；8 i 1 8 8
y 1
8
y 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 24
8 8
i 3 . 然后计算 (xi x )(yi y) xi yi nxy，8 i 1 8 8 i 1 i 1
8 8
将 xi yi 347， n 8， x 11， y 3代入可得： (xi x)(yi y) 347 8 11 3 347 264 83 .
i 1 i 1
8 8 8
2 2 2 2
接着计算 (xi x ) xi nx ，将 xi 1308， n 8， x 11代入可得：
i 1 i 1 i 1
8
(x x) 2 1308 8 112i 1308 968 340 .
i 1
8 8 8
再计算 (yi y)2 y2 2 2i ny ，将 yi 93， n 8， y 3代入可得：
i 1 i 1 i 1
8
(yi y) 2 93 8 32 93 72 21 .最后计算相关系数 r：
i 1
8
(xi x )(yi y) 8
r i 1根据公式 8 8 ，将 (xi x)(yi y) 83，
(x 2 2 i 1i x ) (yi y)
i 1 i 1
8 8
(x 2i x) 340 ， (yi y) 2 21代入可得：
i 1 i 1
r 83 83 83，因为
340 21 7140 7140 4 1785 2 42.25 84.5
，所以 r 0.98 .
84.5
由于 | r | 0.98接近1，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强.----------------------------------------7 分
（2）已知随机变量 X ~ B(5, p)（因为从国内新能源车主中随机抽取5人，
每个人购买该品牌汽车的概率为 p，符合二项分布的定义），
k k n k
根据二项分布的概率公式 P(X k) Cn p (1 p) ，由 P(X 5) P(X 4)可得：
C5 5 0 4 4 15 p (1 p) C5 p (1 p) ，即 p5 5p4 (1 p)，因为 p (0,1)，得 p 5(1 p)，
解方程 p 5 5p p
5
，得 .
6
再根据二项分布的数学期望公式 E(X ) np和方差公式D(X ) np(1 p)，
5
将 n 5， p 代入可得： E(X ) 5
5 25 5 5 5 1 25
；D(X ) 5 (1 ) 5 .------------------------13分
6 6 6 6 6 6 6 36
a a 3 2n a 2n 1 a 2n16、（1）因为 n n 1 ，所以 n 1 n ，又 a1 1，所以 a1 2 1，
所以 a nn 2 是以 1为首项， 1为公比的等比数列；----------------------------------4 分
（2）由（1）可得 an 2
n 1 n，所以 an 2n 1
n
，
所以 Sn 2
1 1 1 22 1 2 2n 1 n
n
1 1 1
n n
21 22 2n 1 1 1 2 1 n 2 1 2 n 1 1 1 2 2 .-----10分1 2 1 1 2
n2 n2
（3）由（2）可得bn ，an ( 1)
n 2n
n 1 2 n2 n 1b b
2 2n 2 22n 1 n2 n 1 2
则 ，
n 1 n 2n 1

2n

2n 1

2n 1

2 n 1
所以当1≤ n≤ 2时bn 1 bn 0，当 n 3时bn - b < 0+ 1 n ，
9
即b1 b2 b3 b4 b5 ，所以数列 bn 的最大项为b3 ；----------------------------------15 分8
17、（1）设M x, y ，依题意得： MF x 1 x 1 2，即 y2 x 1，
2
化简得， y 2 x 2x，
2 4x, x 0
所以点 M的轨迹 C的方程为 y ，-----------------------------------------------3 分
0, x 0
y 1 k x 2
（2）设直线 l的方程为 y 1 k x 2 ．由方程组 2 ，
y 4x
2
可得 ky 4y 4 2k 1 0．要使得有三个交点，则 k 0，
2
方程 ky 4y 4 2k 1 0 2的判别式为Δ 16 2k k 1 ，
2k + 1
设直线 l与 x轴的交点为 x0 ,0 ，则由 y 1 k x 2 ，取 y 0得 x0 = - ．k
Δ 16 2k 2 k 1 0

当 2k 1 ，解得 1
1
k 0 k 1或 ，
x0 0 2 2 k
k 1, 1 1故当



0, 时，直线 l与轨迹 C恰有三个公共点．---------------------------8 分
2 2
2 2
（3）设M
y1 y2 4
,y1 ,N ,y2 ，由（1）知 y1 y2 , y y 4
1
4 4 k 1 2
2
k
，

所以 y1y2 8 y1 y2 ，
1 y y y y
由直线 l的方程可知 A x0 ,0 , x0 2 1 2 B
1 2
，故
k 4
,0 ，
4

所以 AB
y1y2 y y x
1 2
0 ,0 ,0 ， AP
y y 2 1 2 ,1
4 2
，
4

AB y y y AP 1 2 1y2 则 2 30，整理得 y y2 4 1 2 y1y2 8 240，解得 y1y2 20，
从而 y1 y2 12，故 y1 2, y2 10，
则M 1,2 ,N 25,10 2 2，B 5,0 ，即直线MN为 x 3y 5 0， MN 1 25 2 10 8 10，
5 5
点 B到直线MN 的距离为 10 ，
12 32
1 1
所以 S BMN MN 10 8 10 10 40．---------------------------------------15 分2 2
18（1）延长 AG交CB于O，则O是 BC的中点； AB AC ， OA BC，
A1G 平面 ABC， BC 平面 ABC， A1G BC， A1G OA G， A1G,OA 平面OAA1，
BC 平面OAA1，OA1 平面OAA1， BC OA1， A1B A1C .----------------------------------------4 分
（2） AB AC,G为V ABC的重心， BC 6，所以 AO 3,AG 2，
由 A1G 平面 ABC得 A1G⊥OA，故 A1G AA
2
1 AG
2 16 4 2 3，
如图，过O作Oz / /A1G，以OA,OB,Oz分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系O xyz，
因为二面角 A BC A1与 A BC C1的大小分别为 , ，知 即二面角 A1 BC C1，

O 0,0 ,B 0,3,0 , A1 1,0,2 3 , A1 1,0,2 3 ，故OB 0,3,0 ,OA1 1,0,2 3 ，
设平面 A1BC
r
的一个法向量 n x, y, z ，

x 2 3 OB n

OB

n 0 3y 0
则 ，取 y 0
OA

1 n OA1 n 0 x 2 3z 0
z 1

平面 A1BC的一个法向量 n 2 3,0,1 ，
BCC r

设平面 1的一个法向量m x1, y1, z1 ，CC1 AA1 2,0, 2 3 ，
3y 0 x1 3 OB m OB m 0
则
1
，取 y
2x 2 3z 0 1
0 ，
AA1 m AA1 m 0 1 1
z1 1
所以平面 BCC

1的一个法向量m 3,0,1 ，
m n
cos cosm n 5 13 .---------------------------------------------------------------------------10分m n 26
（3）如图，过O作Oz / /A1G，过O作Ox BC，以Ox,OB,Oz分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系O xyz，
因为 AO 3，设 A 3cost,3sint,0 ,cost 0, A1G h，则 A1 cost,sint,h ，

故OB 0,3,0 ,OA1 cost ,sint ,h ，设平面 A1BC的一个法向量 t x2 , y2 , z2 ，
x h
OB t OB t 0 3y 0
2
则
2
，取 y2 0 ，平面 A1BC的一个法向量为
OA t OA t 0 costx2 sinty2 hz2 01 1 z2 cost
n h,0, cost ，

平面 ABC的一个法向量为 s 0,0,1 ，

设平面 BCC1的一个法向量 q x3, y3, z3 ，CC1 AA1 2cost , 2sint ,h ，

x h OB q
OB q 0 3y 0
3
则
3
，取 y3 0 ，所以平面 BCC 2costx 2sinty hz 0 1
的一个法向量为
AA1 q AA1 q 0 3 3 3 z3 2cost

t h,0,2cost ，
由 2 得二面角 A BC A1与C1 BC A1相等，
n s n t n s

n t cost h2 2cos2t
，即 ，n s n t s t 1 h2 (2cost)2
整理得 h2 5cos2t，所以cost 0,1 ， h 0, 5 ，
所以 AA1 4cos
2t 4sin2t h2 4 h2 2,3 .------------------------------------------------------------------17分
18、（1）【详解】（1）（i）当 a 1,b 0时， f (x) xsinx，
因为 f ( x) x sin( x) x sin x f (x)，故 f (x)是偶函数，由 f (x) sin x x cos x， x
π π , ， 2 2
x π当 ,0

时， f x ＜0， f (x)单调递减，
2

当 x 0,
π
时， f x 0， f (x)单调递增，
2
f (x) π π 故 在 , 的极小值为 f (0) 0，无极大值.----------------------------------------------------------------4 分 2 2
（ii）由（i）得 f (x) sin x x cos x，令 f (x) 0，则 sin x xcos x 0，
对满足方程的 x有cos x 0，所以 x tan x，设 x0是 f (x) 0的任意正实根，则 x0 tan x0 ，
π
则存在一个非负整数 k，使 x0 kπ, π kπ ，即 x0为第二或第四象限角，
2
因为 f (x) sin x xcos x cos x tan x x ，
所以在第二或第四象限 x变化时， f (x)变化如下，
x π kπ, x0 x0 x0 , π kπ
2
f (x)（ k为奇数） 0 +
f (x)（ k为偶数） + 0
所以满足 f (x) 0的正根 x0都为函数 f (x)的极值点，由题可知 a1,a2 , ,an, 为方程 x tan x的全部正实根，
且满足 a1 a2 an ， (n 1, 2, )，
所以 an 1 an tan an 1 tan an 1 tan an 1 tan an tan an 1 an ，
π
因为 n 1 π a πn π n 1 π， nπ an 1 π nπ， (n 1, 2, )，2 2
π
则 an 1 a
3π
n ，由 tan an 1 tan an 0，可得 tan an 1 an 0，2 2
π
故 an 1 an π得证.---------------------------------------------------------------------------------------------------10分2
（2）由题意得 f (x) axsinx bcosx，当 a 0,b 1时， f (x) cosx，
设 k1对应的切点为 (x1, cos x1), (x 1 , cos x 1 )， x1 x ， k1 2对应的切点为 (x2 , cos x2 ), (x 2 .cos x 2 )， x2 x2 ，
由于 (cos x) sin x，所以 k1 sin x1 sin x 1 ， k2 sin x2 sin x
'
2，
π
由余弦函数的周期性，只要考虑 π x2 x1 的情形，2
又结合余弦函数的图象，只需考虑 x 1 x1 π， x2 x 2 3π情形，
k cos x

1 cos x1 cos( π x1 ) cosx1 2cosx cos x 则 1 ， k 2
cos x2 cos(3 π x2 ) cosx2 2cosx
1 2
2 ，
x x (π x ) x π 2x (3π x ) x 3π 2x1 1 1 1 1 x2 x2 2 2 2
3π
π k1 cos x
x
1 2 2 k 2cos x1 sinx k 2cos x其中 π x2 x ，得到 ，又 1
2 sin x
1 2 k π2 cos x2 x π 2x
1 ， 2 2 ，
1 3π 2x2
2 1
即 cos x
π
1 ( x
3π
1) sin x1， cos x2 ( x2 ) sin x2 ，当 π x
π
时， sin x 0， cos x 0，
2 2 2
F (x) cos x x π π令 （ π x ），
sin x 2 2
2 2 2
则 F(x1) 0
sin x cos x
， F (x) 2 1
1 1 cos x
sin x sin 2 x sin 2
0 ，
x
F(x) 5π在 ( π, π)
5π
上单调递减，又 F ( ) 3
5π π
0，所以 π x1 ，2 6 6 2 6
π x x 5π
cos x
所以 2 1 ，此时 1 cos x2 cos x1 0 0
1
，则 1
6 cos x
，
2
3π x 3π 3πk cos x 2 x2 ( π)1 1 2 2 2 15故 π π π 5π 得证.-------------------------------------------------------------17分k2 cos x2 x1 x1 ( )
8
2 2 2 6

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