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单元检测卷(四)　三角函数、解三角形
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·邯郸模拟]已知tan α＝，α为第一象限角，则sin α的值为(　　)
A. B.
C.－ D.－
2.[2024·北京顺义区三模]已知函数f(x)＝cos2－sin2，则(　　)
A.f(x)为偶函数且周期为4π
B.f(x)为奇函数且在上有最小值
C.f(x)为偶函数且在上单调递减
D.f(x)为奇函数且为一个对称中心
3.[2025·九江模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c－a＝2bcos A，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
4.[2024·青岛三模]为了得到 y＝sin 2x＋cos 2x的图象，只要把 y＝cos 2x的图象上所有的点(　　)
A.向右平行移动 个单位长度
B.向左平行移动 个单位长度
C.向右平行移动 个单位长度
D.向左平行移动 个单位长度
5.[2025·南通模拟]已知0<β<α<，sin(α－β)＝，tan α－tan β＝2，则sin αsin β＝(　　)
A. B.
C. D.
6.[2025·泉州模拟]数学家泰勒给出如下公式：
sin x＝x－＋－＋…，cos x＝1－＋－＋…，
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.若根据以上公式估算sin(－0.1)的值，则以下数值中最精确的是(　　)
A.0.952 B.0.994
C.0.995 D.0.996
7.[2025·济宁模拟]已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8.[2025·咸阳模拟]为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2024年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ中，准备修一条三角形健身步道OAB，已知扇形的半径OP＝3，圆心角∠POQ＝，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，AB∥OP，则△OAB面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2025·邵阳模拟]下列说法正确的有(　　)
A.若角α的终边过点P，则角α的集合是
B.若cos＝，则sin＝
C.若tan α＝2，则sin2α＋sin αcos α＝
D.若扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，则此扇形的半径是4 cm
10.[2024·衡阳模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a＝6，则△ABC的面积是6
D.若△ABC外接圆半径为R，内切圆半径为r，则＝
11.[2025·金华模拟]已知函数f(x)＝sin 2ωxcos φ＋cos 2ωxsin φ(ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则(　　)
A.φ＝
B.ω＝2
C.f为偶函数
D.f(x)在区间的最小值为－
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·海淀区模拟]若点P(cos θ，sin θ)与点Q(cos (θ＋)，sin(θ＋))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
13.[2025·西安模拟]在100 m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B，C两点(B，C与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75°和15°，则B，C两点之间的距离为________.
14.[2025·重庆模拟]若1<ω≤2π，则关于x的方程sin ωx＝x的解的个数是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·北京西城区模拟]已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件，求m的取值范围.
①f(x)在(0，m)上恰有两个极值点；
②f(x)在(0，m)上单调递减；
③f(x)在(0，m)上恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
16.(15分)[2025·沧州模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝c(c＋b).
(1)求证：B＋3C＝π；
(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且a＝12，b＝7，求BD的长.
17.(15分)[2025·济宁模拟]已知函数f(x)＝cos4x－sin4x＋sin(2x－).
(1)求函数f(x)在上的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围.
18.(17分)[2024·莆田三模]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(cos C＋1)＝c(2－cos B).
(1)证明：a＋b＝2c.
(2)若a＝6，cos C＝，求△ABC的面积.
19.(17分)[2025·石家庄模拟]若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角.如图，已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角.
(1)若b＝c，且满足＝，求∠ABC的大小.
(2)若△ABC为锐角三角形.
①证明：＝＋＋.
②若PB平分∠ABC，证明：b2＝ac.
单元检测卷(四)　三角函数、解三角形
1.A　[因为tan α＝，所以＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋sin2α＝1，sin2α＝.因为α为第一象限角，
所以sin α＝.故选A.]
2.C　[因为f(x)＝cos2－sin2＝cos x，所以函数f(x)为偶函数且周期为2π，在(0，)上单调递减，所以ABD选项错误，C选项正确.故选C.]
3.B　[因为2c－a＝2bcos A，由正弦定理，2sin C－sin A＝2sin Bcos A，
∵A＋B＋C＝π，∴2sin(A＋B)－2sin Bcos A＝sin A，整理得2sin Acos B＝sin A.∵sin A>0，∴cos B＝，又B∈(0，π)，∴B＝.故选B.]
4.A　[y＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，
由诱导公式可知：y＝cos 2x＝sin＝sin，
又y＝sin(2x＋)＝sin，
则－＝，即只需把图象向右平移个单位.故选A.]
5.B　[因为0<β<α<，所以0<α－β<，因为sin(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝＝，
因为2＝tan α－tan β＝－＝
＝，
所以cos αcos β＝，
因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋sin αsin β＝，
则sin αsin β＝.故选B.]
6.C　[由题意可得：sin(－0.1)＝cos 0.1＝1－＋－＋…≈0.995.故选C.]
7.D　[依题意，函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，
当x∈时，2x＋∈，
显然sin(－)＝sin＝－，sin＝1，
且正弦函数y＝sin x在上单调递减，由f(x)在区间上的值域为，
得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是.故选D.]
8.A　[设∠POA＝θ，θ∈(0，)，由AB∥OP，得∠OAB＝θ，∠OBA＝，
在△OAB中，由正弦定理得＝＝2，即OB＝2sin θ，
则△OAB的面积S＝OB·OAsin∠AOB＝3sin θsin(－θ)
＝3sin θ(cos θ－sin θ)＝3(sin 2θ－·)
＝，显然2θ＋∈，因此当2θ＋＝，即θ＝时，Smax＝，
所以△OAB面积的最大值为.故选A.]
9.ABC　[因为角α的终边过点P(，)，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知tan α＝，所以角α的终边与终边相同，
所以角α的集合是，故A选项正确；
因为sin(α＋)＝sin(α＋＋)＝cos(α＋)＝，所以B选项正确；
因为sin2α＋sin αcos α＝＝＝＝，所以C选项正确；
设扇形的半径为r，圆心角为α，因为扇形所对的弧长为l＝αr＝2r，
所以扇形周长为l＋2r＝2r＋2r＝4r＝8，故r＝2 cm，所以D选项不正确.故选ABC.]
10.BD　[设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，
则a＝3t，b＝2t，c＝4t.
对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正确；
对于B，c最大，所以C最大，
又cos C＝＝－＜0，
所以C为钝角，故B正确；
对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，
所以cos C＝－ sin C＝，
所以△ABC的面积是S＝absin C＝×6×4×＝3，故C不正确；
对于D，由正弦定理得外接圆半径
R＝＝＝t，
△ABC的周长l＝9t，S＝absin C＝t2，所以内切圆半径为r＝＝t，所以＝，故D正确. 故选BD.]
11.ACD　[由题意得f(x)＝sin(2ωx＋φ)，由图象可得f(0)＝ sin φ＝，
又0<φ<，所以φ＝，由五点法可得ω×＋＝ ω＝1，所以f(x)＝sin.
A.由以上解析可得φ＝，故A正确；
B.由以上解析可得ω＝1，故B错误；
C.f(x＋)＝sin＝cos 2x，故C正确；
D.当x∈ 2x＋∈时，sin(2x＋)∈，
所以最小值为－，故D正确.故选ACD.]
12.(答案不唯一)　[因为点P(cos θ，sin θ)与点Q(cos (θ＋)，
sin(θ＋))关于y轴对称，则
由cos(θ＋)＝－cos θ，
可得cos θcos －sin θsin ＝－cos θ，
则cos θ＝sin θ，所以tan θ＝；
由sin(θ＋)＝sin θ，可得
sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ，
则cos θ＝sin θ，所以tan θ＝，
因此θ＝＋kπ，k∈Z，取θ＝.(答案不唯一)]
13.200 m　[由题意BC＝－＝100×
＝100×
而tan 15°tan 75°＝·＝·＝1，
所以BC＝100×2＝200(m).]
14.3　[由y＝sin ωx，知sin ωx∈，T＝，因为1<ω≤2π，所以1≤T<2π，在同一坐标系下分别画出y＝sin ωx和y＝x的图象，
由图象可得y＝sin ωx和y＝x共有3个交点，即方程sin ωx＝x有3个根.]
15.解　(1)因为f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x
＝2sin xcos x－(cos2x－sin2x)＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)，
所以f(x)的最小正周期为＝π.
(2)因为x∈(0，m)，所以2x－∈(－，2m－).
选择①，因为f(x)在(0，m)上恰有两个极值点，
所以<2m－≤，
所以故m的取值范围是.
若选择②，因为当2x－∈(－，)时，函数f(x)单调递增，
所以f(x)在(0，m)上不可能单调递减，所以②不符合题意；
选择③，因为f(x)在(0，m)上恰好有两个零点，所以π<2m－≤2π，所以故m的取值范围是(π，π].
16.(1)证明　在△ABC中，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A及a2＝c(c＋b)，
得b2－2cbcos A＝bc，即b－2ccos A＝c，由正弦定理，得sin B－2sin Ccos A＝sin C，
即sin C＝sin(C＋A)－2sin Ccos A＝sin Acos C－cos Asin C＝sin(A－C)，
由00，则0因此C＝A－C，即A＝2C，则2C＋B＋C＝π，所以B＋3C＝π.
(2)解　由a2＝c(c＋b)，得122＝c(c＋7)，由c>0，得c＝9.
在△ABD，△BCD中，由正弦定理，得＝＝＝，
则＝，解得AD＝3，从而DC＝4，又cos∠ADB＋cos∠CDB＝0，
由余弦定理，得＋＝0，解得BD＝4，
所以BD的长为4.
17.解　(1)f(x)＝cos4x－sin4x＋sin(2x－)
＝cos 2x＋sin 2x＝sin (2x＋).
因为x∈，
所以2x＋∈，
所以当2x＋∈，
即x∈时，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)在[0，]上的单调递增区间为.
(2)由题意可知，g(x)＝sin(2x＋2φ＋)，
因为函数g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，
所以2×＋2φ＋＝kπ，k∈Z，
解得φ＝－＋π，k∈Z.
因为0＜φ＜，所以k＝1，φ＝，
所以g(x)＝sin(2x＋).
当x∈时，
2x＋∈.
因为g(x)在上的值域为，
所以≤2α＋≤，
解得≤α≤，
所以α的取值范围为.
18.(1)证明　根据正弦定理知b(cos C＋1)＝c(2－cos B) sin Bcos C＋sin B＝2sin C－sin Ccos B，
整理得sin Bcos C＋sin Ccos B＋sin B＝2sin C sin(B＋C)＋sin B＝2sin C，
因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C) sin A＋sin B＝2sin C，
由正弦定理可得a＋b＝2c.
(2)解　因为cos C＝，所以sin C＝＝，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝36＋b2－b，
则4c2＝144＋4b2－27b，因为a＝6，所以6＋b＝2c，所以36＋12b＋b2＝4c2，
则144＋4b2－27b＝36＋12b＋b2，即b2－13b＋36＝0，解得b＝4或b＝9，
当b＝4时，a＝6，此时△ABC的面积S＝absin C＝×4×6×＝；
当b＝9时，a＝6，此时△ABC的面积S＝absin C＝×6×9×＝.
综上△ABC的面积为或.
19.(1)解　若b＝c，即AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则∠PCB＝∠PBA，在△PCB和△PBA中，∠PCB＝∠PBA，∠PAB＝∠PBC＝θ，
所以△PCB与△PBA相似，且＝，所以＝＝，即a＝c，
由余弦定理得：cos∠ABC＝，且a＝c，b＝c，
得cos∠ABC＝＝，且0(2)证明　①在△ABC内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
＝＝＝，
＝＝＝，
＝＝＝，
三式相加可得：＋＋＝，①
在△PAB内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
＝＝＝，
在△PBC和△PCA内，同理：＝，＝，
三式相等：＝＝＝，
因为S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PCA，由等比性质得：＝
＝，②
由①②式可证得：＝＋＋.
②因为S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝c·APsin θ＋a·BPsin θ＋b·CPsin θ，
即S△ABC＝sin θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)，所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝，
在△PAB，△PBC，△PAC中，
分别由余弦定理得：BP2＝c2＋AP2－2c·APcos θ，CP2＝a2＋BP2－2a·BPcos θ，AP2＝b2＋CP2－2b·CPcos θ，三式相加整理得2cos θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)＝a2＋b2＋c2，
a2＋b2＋c2＝2cos θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)，将c·AP＋a·BP＋b·CP＝代入得：
a2＋b2＋c2＝2cos θ·，若PB平分∠ABC，
则∠ABC＝2 θ，S△ABC＝acsin2 θ，
所以a2＋b2＋c2＝2cos θ·＝2cos θ·＝4accos2 θ，③
又由余弦定理可得：a2＋c2＝b2＋2accos 2θ＝b2＋2ac(cos2θ－sin2θ)，④
由③－④得：b2＝－b2＋2ac(sin2θ＋cos2θ)，所以b2＝ac(sin2θ＋cos2θ)，所以b2＝ac.

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