资源简介

单元检测卷(八)　平面解析几何
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·黄山模拟]直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：ax＋y＋2＝0平行，则a＝(　　)
A. B.－
C.2 D.－2
2.[2025·泉州模拟]若椭圆＋＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　)
A. B.
C.2或 D.2或
3.[2025·安康模拟]过点(2，－3)，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是(　　)
A.x2＝－3y B.x2＝－y
C.x2＝－y D.x2＝－4y
4.[2024·济南二模]已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为(　　)
A.2或4 B.2或3
C.4或5 D.3或5
5.[2024·郑州三模]下列可以作为方程x3＋y3＝3xy的图象的是(　　)
A.A B.B
C.C D.D
6.[2025·烟台模拟]已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝3，则＝(　　)
A. B.3
C. D.2
7.(2025·绵阳模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M1，M2，M3是AB的四等分点，分别过这三点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P6，则直线AP1，AP2，…，AP6，这6条直线的斜率乘积为(　　)
A.－ B.－
C.8 D.64
8.[2025·长沙模拟]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C的渐近线上一点.若△PF1F2的面积为c2，·＝3c2，则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·长沙模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　　)
A.若a≠0，则点O在圆C外
B.圆C与x轴相切
C.若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1
D.点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
10.[2025·苏州模拟]过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝x－1与C相交于A，B两点，O为坐标原点，则(　　)
A.p＝2 B.OA⊥OB
C.|AB|＝8 D.·＝－8
11.[2025·杭州模拟]如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若|OA|＋|OB|＝1恒成立，则l始终和曲线C：＋＝1相切，关于曲线C的说法正确的有(　　)
A.曲线C关于直线y＝x和y＝－x都对称
B.曲线C上的点到(，)和到直线y＝－x的距离相等
C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是
D.曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于1－
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2025·菏泽模拟]写出一个同时满足下列条件①圆心在直线y＝2x＋3上；②与x轴相切的圆的标准方程为________________
13.[2025·石家庄模拟]抛物线C：y2＝4x上的动点P到直线y＝x＋3的距离最短时，P到C的焦点距离为________.
14.[2025·西安模拟]如图，已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足F1P∥F2Q，且|F2Q|＝|F2P|＝3|F1P|，则双曲线C的离心率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·南昌模拟]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，顶点到渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为2，求k的值.
16.(15分)[2025·成都模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为抛物线上一点，B(p，0)，若|AB|的最小值为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l过点P(5，－4)且交抛物线C于M，N两点，求|FM|·|FN|的最小值.
17.(15分)[2025·绍兴模拟]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为x－3y＝0，焦点到渐近线的距离为1.A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，直线l过点T(2，0)交双曲线于点M，N，记直线MA1，NA2的斜率为k1，k2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证为定值.
18.(17分)[2025·汕头模拟]如图，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2.A1，B1，A2，B2分别是矩形四条边的中点，设＝λ，＝(1－λ)(0<λ<1).
(1)证明：直线B1R与B2T的交点M在椭圆K：＋y2＝1上；
(2)已知PQ为过椭圆K的右焦点F的弦，直线MO与椭圆K的另一交点为N，若MN∥PQ，试判断|PQ|，|MN|，|A1A2|是否成等比数列，请说明理由.
19.(17分)[2025·聊城模拟]已知圆A：(x＋1)2＋y2＝16和点B(1，0)，点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点D在直线x＝4上运动，过点D的动直线l与曲线C相交于点M，N.
①若线段MN上一点E，满足＝，求证：当D的坐标为(4，1)时，点E在定直线上；
②过点M作x轴的垂线，垂足为G，设直线GN，GD的斜率分别为k1，k2，当直线l过点(1，0)时，是否存在实数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
单元检测卷(八)　平面解析几何
1.A　[由题意得
解得a＝.故选A.]
2.D　[若椭圆的焦点在x轴，则离心率e＝＝，得a2＝6，此时焦距2c＝2＝2，若椭圆的焦点在y轴，则离心率e＝＝，得a2＝，此时焦距2c＝2＝，所以该椭圆的焦距为2或.故选D.]
3.B　[设抛物线的标准方程为x2＝ay(a≠0)，将点(2，－3)代入，得22＝－3a，解得a＝－，
所以抛物线的标准方程是x2＝－y.故选B.]
4.D　[由题意可知：圆C：x2＋y2＝1的圆心为C(0，0)，半径r＝1，且a>0，
因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M(4，0)为圆心，半径R＝a的圆，
又因为点P在圆C：x2＋y2＝1上，可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，则|CM|＝r＋R或|CM|＝|r－R|，即4＝1＋a或4＝|1－a|，解得a＝3或a＝5.故选D.]
5.B　[当x<0时，x3＝3xy－y3＝y(3x－y2)<0，若y<0，则3x－y2>0，即y2<3x<0，不符，故x<0，y<0不可能同时成立，故A，C，D选项错误.故选B.]
6.D　[由题意可知：抛物线C：y2＝6x的焦点为F(，0)，准线为l：x＝－，设P(－，t)，Q(x0，y0)，则＝(－3，t)，＝(x0－，y0)，因为＝3，
则－3＝3(x0－)，得x0＝，由抛物线定义得||＝＋＝2.故选D.]
7.A　[如图，左右顶点的坐标分别为A(－a，0)，B(a，0)，设椭圆上任意一点坐标为P(x0，y0)，且P不与A，B重合， 则kAP·kBP＝·＝，又P(x0，y0)在椭圆上，故＋＝1，所以y＝b2－＝－(x－a2)，则kAP·kBP＝＝－，所以kBP1＝kAP6，kBP6＝kAP1，∴kAP1·kAP6＝－，同理可得kAP3·kAP4＝kAP5·kAP2＝－，∴直线AP1，AP2，…，AP6这6条直线的斜率乘积(－)3＝－，故选A.]
8.B　[不妨设点P在第一象限内，O为坐标原点，由·＝(＋)·(＋)＝||2－||2＝||2－c2＝3c2，得||＝2c.由△PF1F2的面积为c2，结合三角形面积公式得：点P到x轴的距离为c，所以C的一条渐近线的倾斜角为60°，其斜率为，因此C的离心率e＝＝＝＝＝2.故选B.]
9.ABD　[对于A，因为a≠0，所以将原点(0，0)代入圆的方程可得a2＞0 ，所以点O在圆C外，故A正确；
对于B，将圆C的方程化为标准形式，
得(x－a)2＋(y－3)2＝9，其圆心为C(a，3)，半径r＝3，则圆心C到x轴的距离为3，等于半径，所以圆C与x轴相切，故B正确；
对于C，圆心C(a，3)到y轴的距离为|a|，
则由题意，得4＝2，
解得a＝±1，故C不正确；
对于D，当a＝0时，圆C：x2＋(y－3)2＝9，所以圆心在y轴上，且点O在圆C上，所以点O到圆C上一点的最小距离为0，最大距离为2r＝6，其乘积等于a2；当a≠0时，由选项A知，点O在圆C外，|OC|＝，所以点O到圆C上一点的最大距离为|OC|＋r，最小距离为|OC|－r，乘积为|OC|2－r2＝a2＋9－32＝a2.故D正确.综上所述，选ABD.]
10.ACD　[对于A：因为直线l：y＝x－1经过点F，可得F(1，0)，即＝1，所以p＝2，故A正确；
对于B：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由所以y2－4y－4＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝y1＋y2＋2＝6，x1x2＝＝1，所以·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B不正确；
|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故C正确；
对于D：·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋y1y2＋1＝1－6＋1－4＝－8，故D正确.
故选ACD.]
11.BCD　[对于A，曲线C：＋＝1中，x≥0，y≥0，所以不关于直线y＝－x对称，故错误；
对于B，设C上一点P(x，y)，则＝ x2＋y2－2x－2y－2xy＋1＝0，而＋＝1 x＋y＋2＝1 4xy＝(1－x－y)2 x2＋y2－2x－2y－2xy＋1＝0，故正确；
对于C，|OP|2＝x2＋y2≤＋＝1，x2＋y2≥≥()2＝，
所以x2＋y2∈[，1]，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是，故正确；
对于D，P(x，y)到点M(1，1)的距离的平方2＝(x－1)2＋(y－1)2＝x2＋y2－2x－2y＋2＝2xy＋1≥1，
故曲线C位于圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于1－，故正确.
故选：BCD.]
12.(x－1)2＋(y－5)2＝25(答案不唯一)　[由题意，可设圆心为(a，2a＋3)，则半径为|2a＋3|，所以圆的标准方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝(2a＋3)2，可令a＝1，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－5)2＝25.(答案不唯一)]
13.2　[设P(，y0)，则点P(，y0)到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝，当y0＝2，即当P(1，2)时，抛物线y2＝4x上一点到直线x－y＋3＝0的距离最短，P到C的焦点距离为2.]
14.　[延长QF2与双曲线交于点P′，因为F1P∥F2P′，根据对称性可知|F1P|＝|F2P′|，
设|F2P′|＝|F1P|＝t，则|F2P|＝|F2Q|＝3t，
可得|F2P|－|F1P|＝2t＝2a，即t＝a，
所以|P′Q|＝4t＝4a，则|QF1|＝|QF2|＋2a＝5a，|F1P′|＝|F2P|＝3a，即|P′Q|2＋|F1P′|2＝|QF1|2，可知∠F1P′Q＝90°，在△P′F1F2中，由勾股定理得|F2P′|2＋|F1P′|2＝|F1F2|2，即a2＋(3a)2＝4c2，解得e＝＝.]
15.解　(1)记C的半焦距为c，由题得C的离心率e＝＝2，①
由对称性不妨设C的顶点为(a，0)，渐近线方程为bx－ay＝0，则＝，②
又a2＋b2＝c2，③
联立①②③解得a＝，b＝，c＝2，
所以C的方程为－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3－k2)x2－4kx－10＝0，
所以解得－所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝.
又点O到直线l的距离d＝，所以△AOB的面积S＝|AB|·d＝×·＝＝2，
解得k＝±1或k＝±2，符合(*)式，所以k＝±1或k＝±2.
16.解　(1)设A(x，y)，则|AB|＝＝＝≥p，当且仅当y＝0时等号成立，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线的斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线l的方程为y＝k(x－5)－4＝kx－5k－4(k≠0)，与抛物线C的方程联立消去y得k2x2－(10k2＋8k＋4)x＋(5k＋4)2＝0，
由P(5，－4)在抛物线内部，故Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
由(1)知，F(1，0)为抛物线C的焦点，由抛物线定义得，
|FM|·|FN|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝＋＋1
＝＋36＝20(＋)2＋≥，所以当＝－，k＝－时，|FM|·|FN|的最小值为；当直线的斜率不存在时，x1＝x2＝5.由抛物线定义知|FM|·|FN|＝(x1＋1)(x2＋1)＝36.
综上，|FM|·|FN|的最小值为.
17.解　(1)由题意可得
解得故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由双曲线C的方程为－y2＝1，则A1(－3，0)，A2(3，0)，
由题意可知直线l斜率不为0，故可设l：x＝my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x可得(m2－9)y2＋4my－5＝0，
Δ＝16m2＋20(m2－9)＝36m2－180>0，即m2>5，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
则＝＝，即my1y2＝(y1＋y2)，k1＝＝，k2＝＝，
则＝＝·＝·＝
＝＝＝＝，即为定值.
18.(1)证明　设M(x，y)，依题意，R(2λ，0)，T(2，1－λ)，B1(0，－1)，B2(0，1)，
则直线B1R的方程为y＋1＝x，①
直线B2T的方程为y－1＝－x，②
①×②得：y2－1＝－x2，即＋y2＝1，
故直线B1R与B2T的交点M在椭圆K：＋y2＝1上.
(2)解　依题意，直线PQ，MO的斜率均不为零，故设直线PQ的方程为x＝my＋，
直线MO的方程为x＝my，由得：(m2＋4)y2＋2my－1＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|PQ|＝|y1－y2|＝·
＝，
由得y＝±，
∴|MN|＝|y1－y2|＝，
|A1A2|＝4，∴|MN|2＝|PQ|·|A1A2|，
即|PQ|，|MN|，|A1A2|成等比数列.
19.解　(1)由题意知圆心A(－1，0)，半径为4，且|QP|＝|QB|，|AB|＝2，则|QA|＋|QB|＝|QA|＋|QP|＝|PA|＝4>|AB|＝2，所以点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
设曲线的方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，2c＝2，解得a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，所以曲线C的方程为＋＝1.
(2)①证明　因为直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
因为D(4，1)在l上，所以4k＋m＝1，由
得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝(8 km)2－16(3＋4k2)(m2－3)＝48(4k2－m2＋3)>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(x0，y0)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，由＝得＝，
化简得4(x1＋x2)－2x1x2＝x0，
则4×()－2×＝(8＋)x0，
化简得kx0＋m＋3x0－3＝0，又因为y0＝kx0＋m，所以3x0＋y0－3＝0，
所以点E在定直线3x＋y－3＝0上.
②因为直线y＝kx＋m过(1，0)，所以k＋m＝0，直线方程为y＝kx－k，
从而得D(4，3k)，G(x1，0)，由①知，x1＋x2＝，x1x2＝，k1＝，k2＝，
所以＝×＝＝
＝＝＝，
所以存在实数λ＝，使得k1＝k2.

展开更多......

收起↑