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单元检测卷(十)　计数原理、概率、随机变量及其分布
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·绵阳模拟]用1，3，4三个数字组成无重复数字的三位数，其中小于300的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2.[2025·潍坊模拟]已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.3，则P(X>2)＝(　　)
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
3.[2025·东莞模拟]已知(x－)n的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则(x－)n的展开式中x3的系数为(　　)
A.－10 B.－20
C.10 D.20
4.[2024·北京东城区二模]袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5.[2025·菏泽模拟]随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为(　　)
A.0.2 B.0.5
C.0.6 D.0.8
6.[2025·武汉模拟]质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2，5，7，70四个数字，将这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A，“数字是5的倍数”为事件B，“数字是7的倍数”为事件C，则下列选项正确的是(　　)
A.事件A，B，C两两互斥
B.事件A∪B与事件B∩C对立
C.P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D.事件A，B，C两两相互独立
7.[2025·长沙模拟]从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表一和表二所示：
表一
X 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
表二
Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
概率分布条形图如图三和图四所示：
则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是(　　)
A.E(X)>E(Y) B.E(X)C.D(X)>D(Y) D.D(X)8.[2024·苏州模拟]如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到右的编号分别为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X＝k)≤P(X＝k0)，则k0＝(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·南京六校联考]若(x2－x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列选项正确的是(　　)
A.a0＝32
B.a2＝80
C.a1＋a2＋…＋a10＝32
D.|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝992
10.[2025·惠州模拟]掷一枚质量均匀的骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件B：掷出的点数大于2.则下列说法正确的是(　　)
A.P(A)B.P(A)＋P( )＋P(B)＝1
C.P(A)>P(B)
D.P(B|A)>P(A|B)
11.[2025·华中师大附中模拟]袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　)
A.P(|Z－6|≤1)＝ B.E(X)＞E(Y)
C.D(X)＝D(Y) D.E(Z)＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·青岛二模]2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
13.[2025·嘉兴模拟]某中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮3次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投2次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试.甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，该同学各轮投篮训练中三分球和两分球的投进次数如图表：
若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是________.
14.[2025·南京模拟]在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0，1，2，3，…，n}(n∈N*)，则X，Y的散度D(X‖Y)＝P(X＝i)ln.若X，Y的概率分布如表所示，其中0X 0 1
P
　　
Y 0 1
P 1－p p
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·九省联考]盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X).
16.(15分)[2025·沈阳模拟]某城市有甲、乙两家网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲、乙两家公司的等待时间、乘车舒适度、乘车费用等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68；
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小；
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪家公司的网约车出行？并说明理由.
17.(15分)[2025·深圳模拟]“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生的考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2 000名，考试满分为400分.记考生的成绩为X，且X～N(μ，σ2)，已知所有考生考试的平均成绩μ＝180，且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求σ的值.(结果保留为整数)
(2)该单位的最低录取分数约是多少？(结果保留为整数)
(3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由.
参考资料：①当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1).
②当Y～N(0，1)，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85.
18.(17分)[2024·长沙三模]如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1 s向左或向右移动一个单位，向右移动的概率为，共移动4 s，设随机变量X为移动4 s后质点的坐标.
(1)求移动4 s后质点的坐标为正数的概率；
(2)求随机变量X的分布列及数学期望.
19.(17分)[2024·茂名模拟]马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.
(1)求X1的分布列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Xn的期望.
单元检测卷(十)　计数原理、概率、随机变量及其分布
1.C　[用1，3，4三个数字组成无重复数字的三位数一共可以有A＝6个，
其中小于300的有134，143，两个，所以概率为.故选C.]
2.C　[由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，所以P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.3，
因此P(X>2)＝1－P(X≤2)＝0.7.故选C.]
3.A　[根据(x－)n的展开式中，二项式系数的和为2n＝32，∴n＝5 .而(x－)n＝(x－)5 的展开式中，通项公式为Tr＋1＝C·(－2)r·x5－2r, 令5－2r＝3，求得r＝1 ，可得展开式中x3的系数为C·(－2)＝－10, 故选A.]
4.B　[若第一次从袋中摸出1个白球，则放入1个白球，第二次摸出黑球的概率为×＝，
若第一次从袋中摸出1个黑球，则放入1个黑球，第二次摸出白球的概率为×＝，
故两次摸到的小球颜色不同的概率为＋＝.故选B.]
5.D　[设事件A为经过的列车为和谐号；事件B为经过的列车为复兴号；事件C为列车未正点到达，则P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，
于是P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×0.02＋×0.01＝，
所以该列车为和谐号的概率为P(A|C)＝＝＝＝0.8.故选D.]
6.D　[事件A包含样本点“数字为2”， “数字为70”，
事件B包含样本点“数字为5”，“数字为70”，
事件C包含样本点“数字为7”，“数字为70”，事件A，B可能同时发生，所以事件A，B不是互斥事件，A错误；
事件A∪B包含样本点“数字为2”， “数字为5”，“数字为70”，事件B∩C包含样本点“数字为70”，所以事件A∪B与事件B∩C不是互斥事件，故也不是对立事件；B错误；
P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，事件ABC包含样本点“数字为70”， P(ABC)＝，所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，C错误；
事件A∩B包含样本点“数字为70”， 事件B∩C包含样本点“数字为70”，
事件A∩C包含样本点“数字为70”，所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝，
又P(A)P(B)＝P(A)P(C)＝P(B)P(C)＝，由独立事件定义可得事件A，B，C两两相互独立，D正确.故选D.]
7.D　[由分布列可得E(X)＝6×0.07＋7×0.22＋8×0.38＋9×0.3＋10×0.03＝8，
E(Y)＝6×0.09＋7×0.24＋8×0.32＋9×0.28＋10×0.07＝8，
D(X)＝(6－8)2×0.07＋(7－8)2×0.22＋(8－8)2×0.38＋(9－8)2×0.3＋(10－8)2×0.03＝0.92，
D(Y)＝(6－8)2×0.09＋(7－8)2×0.24＋(8－8)2×0.32＋(9－8)2×0.28＋(10－8)2×0.07＝1.16，
所以E(X)＝E(Y)，D(X)8.B　[每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为，每一层均要乘以，共做10次选择，故X服从二项分布，X～B(10，)，又E(X)＝10×＝5，令P(X＝k0)最大，
则
即，解得≤k0≤，又因为0≤k≤10，k∈Z，
所以k0＝5，所以P(X＝k)≤P(X＝5)，k＝0，1，2，3，…，10，P(X＝k)≤P(X＝k0)，且k0＝5.故选B.]
9.AD　[对于A，令x＝0，则a0＝25＝32，A正确；
对于B，因为5个相同的因式相乘，要得到含x2的项，可以是5个因式中，一个提取x2，其他4个因式均提取2，或是2个因式提取－x，其他3个因式均提取2，所以a2＝C×1×24＋C×(－1)2×23＝160，B错误；
对于C，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(12－1＋2)5＝32，
因为a0＝32，所以a1＋a2＋…＋a10＝0，
C错误；
对于D，(x2＋x＋2)5展开式所有项系数和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|，
令x＝1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(12＋1＋2)5＝1 024，因为a0＝32，
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝992，D正确.综上，选AD.]
10.ABD　[由题意n(A)＝3，n(B)＝4，n(Ω)＝6，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，故A正确；
由全概率公式P(A)＋P( )＝P()，
则P(A)＋P( )＋P(B)＝P()＋P(B)＝1，故B正确；
事件A表示掷出的点数为偶数且不大于2，则n(A)＝1，事件B表示掷出的点数为奇数且大于2，则n(B)＝2，
则P(A)＝P(B|A)＝＝＝，P(A|B)＝＝＝，
则P(B|A)>P(A|B)，故D正确.
故选ABD.]
11.ACD　[由题意知X，Y均服从于超几何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y，
故P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)，从而P(|Z－6|≤1)＝1－P(Z＝4)－P(Z＝8)＝1－P(X＝0)－P(X＝4)＝，
故选项A正确；
E(X)＝4×＝，E(Y)＝4－E(X)＝，D(X)＝D(4－Y)＝D(Y)，故选项B错误，C正确；
E(Z)＝2E(X)＋E(Y)＝，故选项D正确.故选ACD.]
12.180　[城东去1人，不同安排方法为CCA＝144(种)；城东去2人，不同安排方法是CA＝36(种)，所以不同的安排方法共有144＋36＝180(种).]
13.　[由题中图表可知，甲同学的三分球命中的概率为，两分球命中的概率为.
设甲同学累计得分为X，则P(X＝4)＝××＝，P(X＝5)＝××＋××＝，P(X＝7)＝××＝，所以甲同学通过测试的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝7)＝＝.]
14.[0，＋∞)　[D(X‖Y)＝P(X＝i)·
ln ＝P(X＝0)·ln ＋
P(X＝1)·ln＝ln ＋
ln ＝
＝ln＝－ln(－4p2＋4p)
＝－ln.
因为0所以0<－4＋1≤1，
所以ln≤0，
所以－ln≥0，
即D(X‖Y)∈[0，＋∞).]
15.解　(1)从8个小球中，随机一次取出3个小球，
共有C＝＝56(种)结果.
先从数字1，2，3，4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有CCCC＝32(种)结果.
记事件A为“取出的3个小球上的数字两两不同”，
则P(A)＝＝.
所以取出的3个小球上的数字两两不同的概率为.
(2)因为X为取出的3个小球上的最小数字，所以X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
16.解　(1)设M为“用户选择甲公司的网约车出行”，A为“用户对等待时间满意”，B为“用户对乘车舒适度满意”，C为“用户对乘车费用满意”.
则P(A)＝P(M)P(A|M)＋P()P(A|)＝0.32×0.62＋0.68×0.78＝0.728 8，
P(B)＝P(M)P(B|M)＋P()P(B|)＝0.32×0.68＋0.68×0.61＝0.632 4，
P(C)＝P(M)P(C|M)＋P()P(C|)＝0.32×0.21＋0.68×0.32＝0.284 8.
因为P(A)>P(B)>P(C)，所以用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
(2)P(M|B)＝＝＝，
P(|B)＝＝＝，
因为P(M|B)17.解　(1)依题意X～N(180，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1)，
所以可得P(X≥360)＝＝，P(X<360)＝1－＝0.985，
P(Y<)≈0.985，
又因为P(Y<2.17)≈0.985，则≈2.17，解得σ≈83.
(2)由(1)可得X～N(180，832)，
设最低录取分数为x0，则P(X≥x0)＝P(Y≥)＝＝，
P(Y<)＝1－≈0.85，＝1.04，所以x0≈266.32，
即最低录取分数线为266分.
(3)考生甲的成绩为286分>267分，
所以甲能被录取概率为P(X<286)＝P(Y<)＝P(Y<1.28)≈0.900，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1－0.900＝0.100，约有2 000×0.100＝200，
即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以甲能获得高薪.
18.解　(1)设4次移动后坐标为正为事件A，由题X＝－4，－2，0，2，4，
则P(A)＝P(X＝2)＋P(X＝4)，
由题P(X＝2)＝C()3×＝，P(X＝4)＝()4＝，
所以P(A)＝＝.所以移动4 s后使点的坐标为正数的概率为.
(2)X的可能取值为－4，－2，0，2，4,
由(1)P(X＝4)＝，P(X＝2)＝，
又P(X＝0)＝C×()2×()2＝，
P(X＝－2)＝C××()3＝，
P(X＝－4)＝C×()4＝，
∴分布列为
X 4 2 0 －2 －4
P
∴E(X)＝4×＋2×＋0×＋(－2)×＋(－4)×＝.
19.解　(1)由题意可知，X1的可能取值为0，1，2.
由相互独立事件概率乘法公式可知：
P(X1＝0)＝×＝；
P(X1＝1)＝×＋×＝；
P(X1＝2)＝×＝，
故X1的分布列如表：
X1 0 1 2
P
(2)由全概率公式可知：
P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝1|Xn＝0)
＝P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝0)
＝P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝0)，
即an＋1＝an＋bn＋(1－an－bn)，
所以an＋1＝－an＋，
所以an＋1－＝－，
又a1＝P(X1＝1)＝，
所以数列为以a1－＝－为首项，以－为公比的等比数列，
所以an－＝－×
＝×，
即数列{an}的通项公式为an＝＋×，n∈N*.
(3)由全概率公式可得：
P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1
＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝2|Xn＝0)
＝·P(Xn＝1)＋·
P(Xn＝2)＋0·P(Xn＝0)，
即bn＋1＝an＋bn，
又an＝＋×，
所以bn＋1＝bn＋·
，
所以bn＋1－＋
＝，
又b1＝P(X1＝2)＝，
所以b1－＋×
＝－－＝0，
所以bn－＋＝0，
所以bn＝－，
所以E(Xn)＝an＋2bn＋0(1－an－bn)
＝an＋2bn＝1.

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