资源简介

阶段滚动卷(一)　(范围：第一～三单元)
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·重庆北碚区模拟]已知集合A＝{x|－2x2＋5x＋3≥0}，B＝{x∈N||x|≤2}，则A∩B的真子集个数为(　　)
A.3 B.4
C.7 D.8
2.[2025·开封模拟]若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　　)
A.0 B.－1
C.1 D.±1
3.[2024·宜昌模拟]若a＞b，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.2a＜2b B.ln(a－b)＞0
C.a＞b D.|a|＞|b|
4.[2025·济南模拟]已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝(　　)
A.1 B.
C.－ D.－1
5.[2025·温州模拟]已知x，y∈R，则“x>y>1”是“x－ln x>y－ln y”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.[2025·日照模拟]函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
A.A B.B
C.C D.D
7.[2025·湖北十一校联考]已知函数f(x)＝2sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f(x2－4)＋f(3x)<0的解集为(　　)
A.(－4，1) 　 B.(－1，4)
C.(－∞，－4)∪(1，＋∞) 　 D.[－1，4]
8.[2025·南昌模拟]已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，且当x>0时，f(x)>0，则(　　)
A.f(0)＝1 B.f(x)是偶函数
C.f(x)是增函数 D.f(x)是周期函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·深圳模拟]下列叙述中正确的是 (　　)
A.若＋＝1(a＞0，b＞0)，则2a＋b的最小值为8
B.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C.命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D.y＝log2(－x2＋)的最大值为－2
10.[2025·徐州模拟]已知a>0，b>0，若a＋2b＝1，则(　　)
A.ab的最大值为
B.a2＋b2的最小值为1
C.＋的最小值为8
D.2a＋4b的最小值为2
11.[2025·湖北十一校联考]我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.已知函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　　)
A.函数f(x)的值域为(0，2]
B.函数f(x)的图象关于点(1，1)成中心对称图形
C.函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称
D.若函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1，2，…，2 024)，则 (xi＋yi)＝4 048
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2025·华东师范大学附中模拟]设函数f(x)＝设p：{x|f(x)＞1}，q：x∈(m，＋∞)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.
13.[2025·湖南九校联考]对于非空集合P，定义函数fP(x)＝，已知集合A＝{x|00，则实数t的取值范围是________.
14.[2024·淄博质检]中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩W＝xy2.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·遂宁模拟]已知函数f(x)＝x2－4(1(1)当a＝1时，求A∩B；
(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16.(15分)[2024·成都二模]已知函数f(x)＝|x＋a|＋b，不等式f(x)<4的解集为{x|0(1)求实数a，b的值；
(2)函数f(x)的最小值为t，若正实数m，n，p满足m＋2n＋3p＝t，求＋的最小值.
17.(15分)[2024·临沂模拟]已知函数f(x)＝2－(a＞0且a≠1)为定义在R上的奇函数.
(1)判断并证明f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)＝logx－mlog2x2＋m，x∈[2，4]，对于任意x1∈[2，4]，总存在x2∈[－1，1]，
使得g(x1)＝f(x2)成立，求m的取值范围.
18.(17分)[2025·福州模拟]已知函数f(x)＝ex＋1－ax－a－1.
(1)讨论f(x)的极值；
(2)设a＝1，若关于x的不等式f(x－1)≥bx3－x2在区间(0，＋∞)内恒成立，求实数b的取值范围.
19.(17分)[2025·北京十一校联考]已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋k(x＋1).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤－1恒成立，求实数k的取值范围；
(3)求证： <.(n∈N且n≥2)
阶段滚动卷(一)　(范围：第一～三单元)
1.C　[由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)(x－3)≤0，解得－≤x≤3，
所以A＝.由B＝{x∈N||x|≤2}，解得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.]
2.C　[法一　因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－a2x－1，
－f(x)＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C.
法二　因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即－a2－1＝－(1＋a)，解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.]
3.C　[对于A，函数y＝2x为R上的增函数，且a＞b，所以2a＞2b，故A不正确；
对于B，因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以当0＜a－b＜1时，ln(a－b)＜ln 1＝0，故B不正确；
对于C，因为函数y＝x在R上单调递增，且a＞b，所以a＞b，故C正确；
对于D，当a＝1，b＝－2时，a＞b，
但|a|＜|b|，故D不正确.故选C.]
4.B　[因为(ln x)′＝，′＝a，曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，所以2a＝1，a＝.故选B.]
5.A　[设f(t)＝t－ln t，t>0，则f′(t)＝1－＝，∵f′(t)>0得t>1，由f′(t)<0得0y>1时，f(x)>f(y)，即x－ln x>y－ln y成立，故充分性成立.但x－ln x>y－ln y成立时，可能有x＝，y＝1，此时xy>1”是“x－ln x>y－ln y”的充分不必要条件.故选A.]
6.D　[由题意知原函数先减再增，再减，再增，且x＝0位于增区间内，故选D.]
7.C　[由题意知f(x)＝2sin x－ex＋e－x为奇函数，
又f′(x)＝2cos x－(ex＋e－x)，
而ex＋e－x≥2，2 cos x≤2，则f′(x)≤0，∴f(x)在R上单调递减，
则f(x2－4)＋f(3x)<0 f(x2－4)<－f(3x)＝f(－3x)，
∴x2－4>－3x，∴x<－4或x>1，故选C.]
8.C　[令x＝y＝0，则f2(0)＝f2(0)－f2(0)，得f(0)＝0；令x＝0，y>0，得f(y)f(－y)＝f2(0)－f2(y)，
得f(y)f(－y)＝－f2(y)，整理得f(y)(f(－y)＋f(y))＝0，
又当x>0时，f(x)>0，所以f(y)>0，故f(－y)＋f(y)＝0.
综上，f(x)是奇函数.
设x2>x1>0，则f(x1)>0，f(x2)>0，f(x1＋x2)>0，f2(x2)－f2(x1)＝(f(x2)＋f(x1))(f(x2)－f(x1))＝f(x2＋x1)f(x2－x1)>0，所以f(x2)－f(x1)>0，又f(0)＝0，f(x)是奇函数，故f(x)在R上是增函数，故f(x)不是周期函数.故选C.]
9.AD　[对A，2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立，A正确；
对B，若a＞c且b＝0，则ab2＞cb2不成立；若ab2＞cb2，则b2＞0，则a＞c，故 “a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件，B错误；
对C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”，C错误；
对D，函数y＝log2(－x2＋)的定义域为(－，)，0＜－x2＋≤，
而函数y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，
因此当x＝0时，ymax＝log2＝－2，D正确.故选AD.]
10.ACD　[对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2，解得ab≤，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以A正确.
对于B，a2＋b2＝(1－2b)2＋b2＝5b2－4b＋1＝5(b－)2＋，当且仅当b＝，a＝时，a2＋b2取到最小值，故B错误.
对于C，由＋＝(a＋2b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以C正确.
对于D，2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以D正确.
综上，选ACD.]
11.BCD　[对于A，显然f(x)的定义域为R，2x>0，则0<<2，即函数f(x)的值域为(0，2)，A错误；
对于B，令h(x)＝f(x＋1)－1＝－1＝－1＝，h(－x)＝＝＝－h(x)，
即函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，因此函数f(x)的图象关于点(1，1)成中心对称图形，B正确；
对于C，由选项B知，f(－x＋1)－1＝－[f(x＋1)－1]，即f(1－x)＋f(1＋x)＝2，
两边求导得－f′(1－x)＋f′(1＋x)＝0，即f′(1－x)＝f′(1＋x)，
因此函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确；
对于D，由函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，得函数g(x)的图象关于点(1，1)成中心对称，
由选项B知，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象有2 024个交点关于点(1，1)对称，
因此 (xi＋yi)＝xi＋yi＝1 012×2＋1 012×2＝4 048，D正确.]
12.(－∞，0)　[函数f(x)＝的图象如图：
由图象可知，
当f(x)＞1时，x＞0，所以p：{x|x＞0}，若p是q的充分不必要条件，
则m＜0即m∈(－∞，0).]
13.(0，1)　[由题意知，fA(x)＋fB(x)可取±2，0，
若fA(x)＋fB(x)>0，则fA(x)＋fB(x)＝2，
即A∩B≠ ，则014.　[设圆的直径为d，则x2＋y2＝d2，则y2＝d2－x2，
W＝x(d2－x2)＝(－x3＋d2x)，0＜x＜d，
令W′＝(－3x2＋d2)＝0，
得x＝d，
由W′＞0时，解得0＜x＜d；
由W′＜0时，解得x＞d，
所以W在(0，d)上单调递增，
在(d，d) 上单调递减，
所以 x＝d时W取最大值，此时
y＝＝d，
所以＝＝.]
15.解　(1)当a＝1时，g(x)＝＝，
由题意≥0，解得x<1或x≥2，所以B＝{x|x<1，或x≥2}，
又函数f(x)＝x2－4(1所以A∩B＝(－3，1)∪{2}.
(2)由题意≥0，即
解得x≥a＋1或x所以B＝{x|x≥a＋1或x所以a>2或a＋1≤－3，解得a>2或a≤－4，
故实数a的取值范围(－∞，－4]∪(2，＋∞).
16.解　(1)∵|x＋a|＋b<4，易知4－b>0，∴b－a－4∵f(x)<4的解集为{x|0(2)由(1)得f(x)＝|x－3|＋1，得f(x)的最小值为1，即m＋2n＋3p＝1，
故＋＝(＋)(m＋2p＋2n＋p)
＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当m＋2p＝2n＋p＝时，等号成立.
故＋的最小值为4.
17.解　(1)由题意得，f(0)＝2－＝0，
解得a＝3，
∴f(x)＝2－＝2－(经验证符合题意).
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝2－－2＋＝－＝，
因为x1，x2∈R，且x1＜x2，
所以3x1－3x2＜0，3x1＋1＞0，3x2＋1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＝＜0，
故f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)知，f(x)在R上单调递增，
故x∈[－1，1]时，f(－1)≤f(x)≤f(1)，
即－1≤f(x)≤1，
即f(x)的值域为[－1，1]，设为A.
g(x)＝logx－mlog2x2＋m＝logx－2mlog2x＋m，x∈[2，4]，
令log2x＝t，则t∈[1，2].
设h(t)＝t2－2mt＋m，t∈[1，2]，其值域为B.
由题意知B A，
h(t)＝t2－2mt＋m，t∈[1，2]的对称轴为
t＝m，
当m＜1时，h(t)在[1，2]上单调递增，
B＝[1－m，4－3m]，
∴∴
∴1≤m≤2与m＜1矛盾，所以舍掉；
当1≤m＜时，h(t)在[1，m]上单调递减，在[m，2]上单调递增，
且h(1)＜h(2)，
∴B＝[－m2＋m，4－3m]，
∴
∴
∴1≤m≤，∴1≤m＜；
当≤m＜2时，h(t)在[1，m]上单调递减，在[m，2]上单调递增，
且h(1)＞h(2)，
∴B＝[－m2＋m，1－m]，
∴，∴
∴0≤m≤，
∴≤m≤；
当m≥2时，h(t)在[1，2]上单调递减，
B＝[4－3m，1－m]，
∴∴
∴0≤m≤与m≥2矛盾，所以舍掉.
综上所述，m的取值范围为[1，].
18.解　(1)∵f(x)＝ex＋1－ax－a－1，
∴f′(x)＝ex＋1－a，
当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，
则函数f(x)在R上单调递增，此时无极值；
当a＞0时，由f′(x)≥0得x≥ln a－1，
由f′(x)＜0得x＜ln a－1，
∴函数f(x)在(－∞，ln a－1)上单调递减，
在[ln a－1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝ln a－1时，函数f(x)有极小值
a－a(ln a－1)－a－1＝a－aln a－1.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝ln a－1处取得极小值为a－aln a－1，无极大值.
(2)当a＝1时，f(x)＝ex＋1－x－2，
则f(x－1)＝ex－x－1，
由f(x－1)≥bx3－x2，
得ex－x－1≥bx3－x2.
∵x＞0，∴b≤.
令g(x)＝.
则g′(x)＝，
令h(x)＝ex－x－1，
则h′(x)＝ex－1＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴h(x)＞h(0)＝0，由g′(x)≥0得x≥3，
由g′(x)＜0得0＜x＜3，
∴函数g(x)在(0，3)上单调递减，
在(3，＋∞)上单调递增，
∴当x＝3时，函数g(x)有最小值
g(x)min＝g(3)＝，
∴b≤，
∴实数b的取值范围是.
19.(1)解　函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝＋k.
①k≥0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间；
②k<0时，令f′(x)>0得－1令f′(x)<0得x>－1－，
所以f(x)的单调递增区间为(－1，－1－)，
单调递减区间为(－1－，＋∞).
(2)解　由(1)知，k≥0时，f(x)在(－1，＋∞)上递增，f(0)＝k≥0，不合题意，
故只考虑k<0的情况，由(1)知f(x)max＝f(－1－)＝－1－ln(－k)≤－1，
即ln(－k)≥0 －k≥1 k≤－1，
综上，k的取值范围为(－∞，－1].
(3)证明　由(2)知：当k＝－1时，ln(x＋1)－(x＋1)≤－1恒成立，所以ln(x＋1)≤x，
所以ln x1)，
进而ln n2故<(n∈N*，n≥2).
所以 ＝＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝(n∈N且n≥2).
即 <(n∈N且n≥2).

展开更多......

收起↑