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阶段滚动卷(三)　(范围：第一～八单元)
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·潍坊模拟]已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－1，λ)，若a⊥b，则实数λ＝(　　)
A. B.－
C.－2 D.2
2.[2025·湖北七市联考]已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z(4－3i)＝3＋4i，则||＝(　　)
A. B.
C.1 D.2
3.[2025·广州模拟]设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则＝(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
4.[2025·长沙模拟]如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A.y＝2sin(x＋)
B.y＝2sin(x－)
C.y＝2sin(2x＋)
D.y＝2sin(2x－)
5.[2025·开封模拟]若直线l：＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，＝(　　)
A.2 B.
C. D.
6.[2025·南京模拟]已知反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线分别为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝±x，由此可求得其离心率为.已知函数y＝x＋的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y＝x和y轴，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B.2
C. D.
7.[2024·合肥模拟]中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是用脚蹴、踢，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足PA＝1，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若VP－ABC＝，则该“鞠”的体积的最小值为(　　)
A.π B.9π
C.π D.π
8.(2025·长沙模拟)已知直线y＝a与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y＝f(x)在点A处切线的斜率，k2为曲线y＝g(x)在点B处切线的斜率，则k1k2的最大值为(　　)
A. B.1
C.e D.ee
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2025·东莞模拟]已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x)f(y)－f(x)＝xy－y，则(　　)
A.f(0)＝1 B.f(－1)＝1
C.f(x＋1)为偶函数 D.f(x＋1)为奇函数
10.[2025·常州模拟]双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的两条光线经过E的右支上的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中，共线，则(　　)
A.若直线AB的斜率k存在，则k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)
B.当点C的坐标为(2，)时，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为6
C.当·＝2时，△BF1F2的面积为12
D.当·＝2时，cos∠F1F2A＝－
11.[2025·盐城模拟]在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD＝CD＝2，四棱锥P－ABCD的外接球为球O，则(　　)
A.AB⊥BC
B.VP－ABCD>2VP－ACD
C.VP－ABCD＝2VO－ABCD
D.点O不可能在平面PBC内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·沈阳二模]已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值________.
13.[2025·中山模拟]已知0<α<<β<π，cos β＝－，sin(α＋β)＝，则tan α＝________.
14.[2024·邢台二模]如图，四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿MN，NP，PQ，QM折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·广州模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.已知S＝－(a2＋c2－b2).
(1)求B；
(2)若点D在边AC上，且∠ABD＝，AD＝2DC＝2，求△ABC的周长.
16.(15分)[2024·南京模拟]在数列{an}中，若an＋1－a1a2a3·…·an＝d(n∈N*)，则称数列{an}为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列{an}是一个“泛等差数列”，数列{bn}满足a＋a＋…＋a＝a1a2a3·…·an－bn.
(1)若数列{an}的“泛差”d＝1，且a1，a2，a3成等差数列，求a1；
(2)若数列{an}的“泛差”d＝－1，且a1＝，求数列{bn}的通项公式.
17.(15分)[2025·济南历城二中模拟]已知函数f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
18.(17分)[2024·佛山模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E是AD的中点.
(1)在线段BP上找一点M，使得直线EM∥平面PCD，并说明理由；
(2)若PA＝AD，AB＝AD，求平面PCE与平面PAB所成二面角的正弦值.
19.(17分)[2025·济南模拟]法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(，－)，且短轴的一个端点到焦点的距离为.
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求△OMN的面积(O为坐标原点)；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的最小值.
阶段滚动卷(三)　(范围：第一～八单元)
1.A　[由a⊥b得a·b＝－1＋2λ＝0，解得λ＝，故选A.]
2.C　[由题意知z＝＝＝＝i，
所以||＝|z|＝|i|＝1.]
3.C　[法一　设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝2a2a4，得a1q2·a1q4＝2a1q·a1q3，又a1≠0，q≠0，所以q2＝2，所以＝＝1＋q2＝3，故选C.
法二　设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝2a2a4，得a2q·a4q＝2a2a4，q≠0，所以q2＝2，所以＝＝1＋＝1＋＝1＋q2＝3，故选C.]
4.C　[由各选项可知，A>0，ω>0.由图可知A＝2，T＝－(－)＝，所以T＝π，则＝π，所以ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ).
法一　因为函数f(x)的图象过点(，2)，所以2sin(＋φ)＝2，sin(＋φ)＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，则f(x)＝2sin(2x＋＋2kπ)＝2sin(2x＋)，故选C.
法二　因为函数f(x)的图象过点(－，0)，且x＝－在函数f(x)的单调递减区间内，所以2×(－)＋φ＝－π＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z.
则f(x)＝2sin(2x＋＋2kπ)＝2sin(2x＋)，故选C.]
5.D　[∵＋＝1过点(1，2)，所以＋＝1且a>0，b>0，
∴a＋b＝(a＋b)·(＋)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，此时＝，故选D.]
6.C　[如图，在第一象限内，函数y＝x＋的图象位于直线y＝x的上方.
直线y＝x的倾斜角为，y轴的倾斜角为.设双曲线y＝x＋两条渐近线的夹角为α，则α＝－＝.将双曲线y＝x＋绕其对称中心顺时针旋转，所得双曲线的焦点在x轴上，则旋转后的双曲线的渐近线较小的倾斜角为α＝.
设旋转后双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，离心率为e，则＝＝＝tan ＝，解得e＝.故选C.]
7.C　[如图，取AB的中点D，PB的中点O，连接OD，DC，OA，OC，则OD∥PA且OD＝PA＝.
∵PA⊥平面ABC，
∴OD⊥平面ABC.
由于AC⊥BC，
故DA＝DB＝DC，
可知OA＝OB＝OC＝OP，
∴O为球心.
由VP－ABC＝×AC·CB·PA＝，
得AC·CB＝4，所以AB2＝AC2＋BC2≥2AC·BC＝8，
当且仅当AC＝BC＝2时等号成立，故此时AB＝2，
所以球O的半径
R＝OA＝≥＝，
故Rmin＝，所以该“鞠”的体积最小值为
π()3＝π，故选C.]
8.A　[若直线y＝a与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相交于A，B两点，则a>0.
设A(x1，a)，B(x2，a)，则ex1＝a，ln x2＝a，
所以x1＝ln a，x2＝ea.
因为f′(x)＝ex，g′(x)＝，所以k1＝ex1＝a，k2＝＝.
令h(a)＝k1k2＝，a>0，
则h′(a)＝，令h′(a)＝0，则a＝1，当00；当a>1时，h′(a)<0.
所以h(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以当a＝1时，h(a)取最大值，且最大值为，即k1k2的最大值为，故选A.]
9.AD　[对于A：令y＝0，得f(x)f(0)－f(x)＝0，即f(x)(f(0)－1)＝0，所以f(x)＝0或f(0)＝1.当f(x)＝0时，f(x)f(y)－f(x)＝xy－y不恒成立，故f(0)＝1，故A正确.
对于B：令x＝0，得f(0)f(y)－f(0)＝－y，又f(0)＝1，
所以f(y)＝1－y，故f(－1)＝1＋1＝2，故B错误.
对于C，D：由B选项可知f(x)＝1－x，则f(x＋1)＝－x，
所以f(x＋1)为奇函数，故C错误，D正确.故选AD.]
10.ABD　[如图所示，过点F2分别作E的两条渐近线的平行线l1，l2，则l1，l2的斜率分别为和－，
对于A中，由图可知，当点A，B均在E的右支时，k<－或k>，所以A正确；
对于B中，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为|F2A|＋|AC|＝|F1A|－2a＋|AC|
＝|F1C|－2a＝－4＝6，所以B正确；
对于C中，由·＝2，得·(－)＝0，即·＝0，所以AB⊥BD，
设|BF1|＝n，则|BF2|＝n－2a＝n－4，因为∠ABD＝，所以n2＋(n－4)2＝(2c)2＝40，整理得n2－4n－12＝0，解得n＝6或n＝－2(舍去)，所以|BF1|＝6，|BF2|＝2，所以△BF1F2的面积S＝|BF1|·|BF2|＝6，所以C错误；
对于D项，在直角△F1BF2中，cos∠F1F2B＝＝＝，所以cos∠F1F2A＝－cos∠F1F2B＝－，所以D正确.故选ABD.]
11.AC　[如图，∵四棱锥P－ABCD有外接球，
∴底面ABCD必四点共圆，又AD⊥CD，
∴AC为底面圆的直径，
∴AB⊥BC，故A正确.
四棱锥P－ABCD与三棱锥P－ACD的高相同，都等于PD的长，四棱锥P－ABCD的底面四边形ABCD的面积等于S△ACD＋S△ABC.
设AB＝m，BC＝n，由对A的分析知m2＋n2＝AC2＝AD2＋DC2＝8，
∴8＝m2＋n2≥2mn，当且仅当m＝n＝2时取等号，
∴mn≤4，S△ABC＝mn≤2＝S△ACD，
∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC≤2S△ACD，∴VP－ABCD≤2VP－ACD，故B错误.
设AC的中点为O1，则O1是四边形ABCD外接圆的圆心.
连接OO1，则OO1⊥平面ABCD，又PD⊥平面ABCD，∴OO1∥PD.
设PD的中点为O2，连接OO2，DO1，则四边形OO2DO1是矩形，从OO1＝O2D＝PD，
∴VP－ABCD＝2VO－ABCD, 故C正确.
连接BO1，当四边形ABCD为正方形时，OO1是△BPD的中位线，
∴O为PB中点，即O可以在平面PBC内，故D错误.综上，选AC.]
12.1(答案不唯一)　[因为A∩B＝{0，1}，所以{0，1} B，设f(x)＝x2－x－a，则f(x)<0的整数解为0，1，如图，
则f(0)<0，f(1)<0，f(－1)≥0且f(2)≥0，解得013.　[由题意知sin β＝，∵0<α<<β<π，∴<α＋β<，
又sin(α＋β)＝，
∴cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×(－)＋×＝＝，∴cos α＝，
∴tan α＝＝.]
14.1 000　[由题意设AD＝x(x>0)，因为ABCD面积为300，所以AB＝(x>0)，根据题意有：MQ＝MN＝AD＝x(x>0)，
所以AM＝＝＝－(x>0)，
则长方体的体积为V＝MN·MQ·AM＝x2(－)＝－x3＋150x(x>0)，
V′＝－x2＋150(x>0)，令V′＝0，有x＝10，所以x∈(0，10)时，V′>0，函数在(0，10)上单调递增，x∈(10，＋∞)时，V′<0，函数在(10，＋∞)上单调递减，所以当x＝10时，V取得最大值，最大值为V＝－×(10)3＋150×10＝1 000.]
15.解　(1)因为cos∠ABC＝，
所以S＝－(a2＋c2－b2)＝－×2accos ∠ABC＝－accos∠ABC，
又S＝acsin∠ABC，
所以－accos∠ABC＝acsin∠ABC，
解得tan∠ABC＝－.
又∠ABC是△ABC的内角，所以∠ABC＝.
(2)法一　依题意得∠CBD＝－＝，
如图，在△ABD中，由正弦定理＝，得＝AD＝2，
同理，在△CBD中，有＝＝2CD＝2，
又∠ADB＋∠CDB＝π，所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以AB＝CB，即a＝c.
在△ABC中，b2＝c2＋a2－2ca·cos∠ABC，
即32＝c2＋a2＋ac＝3a2，
解得a＝，所以c＝a＝，
所以△ABC的周长为3＋2.
法二　依题意得∠CBD＝－＝，
在△ABD中，由正弦定理＝，得＝AD＝2，
同理，在△CBD中，有＝＝2CD＝2，
所以sin A＝sin C，
所以AB＝CB，即a＝c.
下面同解法一(略).
法三　依题意得∠CBD＝－＝，
如图，过点C作AB的垂线交AB的延长线于点E，
因为∠ABD＝，所以BD∥EC，
又AD＝2DC，所以AB＝2BE，
在Rt△CBE中，∠CBE＝π－＝，
所以BE＝BCcos ＝BC，即CB＝2BE，
所以AB＝CB，即a＝c.
下面同解法一(略).
16.解　(1)因为d＝1，所以an＋1－a1a2a3·…·an＝1(n∈N*)，
所以a2＝a1＋1，a3＝a1a2＋1＝a1(a1＋1)＋1.
因为a1，a2，a3成等差数列，
所以2(a1＋1)＝a1＋a1(a1＋1)＋1，
所以a＝1，所以a1＝1或a1＝－1.
(2)因为{an}的“泛差”d＝－1，
所以an＋1－a1a2a3·…·an＝－1，
即a1a2a3·…·an＝an＋1＋1，
当n＝1时，a1＝a2＋1，
得a2＝a1－1＝－.
当n≥2时，a1a2a3·…·an－1＝an＋1，
所以(an＋1)an＝an＋1＋1，
即a＝an＋1－an＋1，
所以a＋a＋…＋a＝a3－a2＋a4－a3
＋…＋an＋1－an＋n－1＝an＋1－a2＋n－1
＝an＋1＋n－.
因为a＋a＋…＋a＝a1a2a3·…·an－bn，
所以a＋an＋1＋n－
＝an＋1＋1－bn(n≥2)，
所以bn＝－n＋(n≥2)，
又b1＝a1－a＝，满足上式，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝－n＋.
17.解　(1)函数f(x)的定义域是(1，＋∞).
f′(x)＝2＝－，
又x＞1，令f′(x)＞0，解得1＜x＜2，
所以函数f(x)的单调递增区间是(1，2).
(2)由f(x)＋x2－3x－a＝0，
得x＋a＋1－2ln(x－1)＝0.
令g(x)＝x＋a＋1－2ln(x－1)，x＞1，
则g′(x)＝1－＝(x＞1)，
由g′(x)＞0，得x＞3，
由g′(x)＜0，得1＜x＜3，
所以函数g(x)在[2，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增.
由题可知方程f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，
则即
解得2ln 3－5≤a＜2ln 2－4.
综上所述，实数a的取值范围是[2ln 3－5，2ln 2－4).
18.解　(1)当M为线段BP的中点时，直线EM∥平面PCD，理由如下：
分别取PB，PC的中点M，F，连接EM，DF，FM，如图，
则FM＝BC，FM∥BC.
因为四边形ABCD是矩形，E是AD的中点，
所以DE＝BC，DE∥BC，
所以DE＝FM，DE∥FM，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以EM∥DF，又EM 平面PCD，DF 平面PCD，所以EM∥平面PCD.
(2)由AD⊥平面PAB，PA⊥PB，以P为原点，PB，PA所在直线为x，y轴，过P且平行于AD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于AD).
设AD＝2，则P(0，0，0)，E(0，2，1)，C(2，0，2)，
所以＝(0，2，1)，＝(2，0，2).
设平面PCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则x＝－1，y＝－，
得n＝.
易知平面PAB的一个法向量为m＝(0，0，1)，
则cos〈n，m〉＝＝.
设平面PCE与平面PAB所成二面角为θ，
所以sin θ＝＝.
故平面PCE与平面PAB所成二面角的正弦值为.
19.解　(1)依题意：结合a2＝b2＋c2知a＝，又＋＝1，
解得b2＝1，所以＝2，
所以椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝4.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设直线l的方程为y＝x＋m，
由消去y并整理得，4x2＋6mx＋3(m2－1)＝0，
由Δ＝36m2－16(3m2－3)＝0，得m2＝4，即|m|＝2，
所以坐标原点O到直线l：x－y＋m＝0的距离d＝＝，
所以|MN|＝2＝2，
所以S△OMN＝|MN|·d＝2.
(3)由(1)知，椭圆C的方程为x2＋3y2＝3，椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝4.
如图，设P(x0，y0)，则x＋y＝4.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA的方程为x1x＋3y1y＝3，切线PB的方程为x2x＋3y2y＝3，
将P(x0，y0)代入切线PA，PB的方程，有x1x0＋3y1y0＝3，x2x0＋3y2y0＝3，
故直线AB的方程为x0x＋3y0y＝3.
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立得
消去y并整理得，(x＋3y)x2－6x0x＋9(1－y)＝0，显然x＋3y≠0，Δ＝(－6x0)2－4(x＋3y)×9(1－y)＝36y(1＋2y)≥0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
又点P(x0，y0)到直线AB的距离d′＝＝＝.
所以S△PAB＝|AB|·d′＝，
设t＝，则S△PAB＝，t∈[1，3]，
令f(t)＝，t∈[1，3]，
f′(t)＝＝>0，
所以函数f(t)在[1，3]上单调递增，所以f(t)min＝f(1)＝，
所以△PAB面积的最小值为.

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