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阶段滚动卷(四)　范围：(第一～十单元)
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·福州模拟]已知集合A＝{x|x2<4}，B＝{x|－3A.{x|x<2} B.{x|－2C.{x|－32.[2025·泉州模拟]若复数z满足(1＋i)z＝a－i(其中i是虚数单位，a∈R)，则“|z|＝1”是“a＝1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2025·湖北七市联考]已知正方形ABCD的边长为2，若＝，则·＝(　　)
A.2 B.－2
C.4 D.－4
4.[2024·九省联考]设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是(　　)
A.若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B.若m α，l β，m∥l，则α∥β
C.若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D.若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
5.[2025·石家庄质检]已知α∈(0，)，且cos(α－)＝2cos 2α，则tan(α＋)＝(　　)
A. B.
C. D.
6.[2025·连云港模拟]将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标都变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在(－，0)上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，] B.(0，]
C.(0，] D.(0，1)
7.[2025·重庆模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)＋f(2x)≥0的解集为(　　)
A.[－2，0] B.[0，2]
C.(－∞，－2]∪[0，＋∞) D.(－∞，0]∪[2，＋∞)
8.[2025·南昌模拟]已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则m的取值范围为(　　)
A.[0，) B.(－1，)
C.(，＋∞) D.(－∞，－1)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·石家庄模拟]下列说法正确的是(　　)
A.一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，20，22的第80百分位数为16
B.若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ＞5)＝0.22，则P(－1＜ξ＜5)＝0.56
C.若随机变量ξ～B(9，)，则方差D(2ξ)＝8
D.若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数和方差都会发生变化
10.[2025·沈阳模拟]已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为x2－y2＝4，则条件p可以是(　　)
A.实轴长为4
B.双曲线C为等轴双曲线
C.离心率为
D.渐近线方程为y＝±x
11.[2025·济南模拟]如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AB⊥BC，M是AB的中点，N是AC边上靠近A的四等分点，将△AMN沿着MN翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P－BCNM，则下列说法正确的是(　　)
A.记平面PBC与平面PMN的交线为l，则l∥平面BCNM
B.记直线PM和直线BC与平面PNC所成的角分别为α，β，则α＝β
C.存在某个位置的点P，满足平面PBC⊥平面PNM
D.四棱锥P－BCNM外接球表面积的最小值为20π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2025·潍坊模拟]第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有________种.(结果用数值表示)
13.[2025·南京模拟]某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________.
14.[2025·长春模拟]如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦之间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y＝1.1x，第n根弦(n∈N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(xn′，yn′)，则ynyn′＝________.(参考数据：取1.122＝8.14)
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·石家庄模拟]已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设＝.
(1)求C；
(2)若(＋1)a＋2b＝c，求sin A.
16.(15分)[2025·通化模拟]已知椭圆的焦点分别是F1(，0)，F2(－，0)，点M在椭圆上，且|MF1|＋|MF2|＝4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋与椭圆交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数k的值和△OAB的面积.
17.(15分)[2025·杭州模拟]在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝b(b>a>0)，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，且＝4.
(1)求证：BE⊥PD；
(2)当直线PC与平面ABE所成角的正弦值为时，求的值.
18.(17分)[2025·西安模拟]已知函数f(x)＝2sin x－ax，
(1)若函数在[0，π]内点A处的切线斜率为－a(a≠0)，求点A的坐标；
(2)①当a＝1时，求g(x)＝f(x)－ln(x＋1)在[0，]上的最小值；
②证明：sin ＋sin ＋…＋sin >ln (n∈N，n≥2).
19.(17分)[2025·泰安模拟]在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负.
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的 1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0.
① 试证明：为等比数列；
② 设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p2 024与q2 024的大小.
阶段滚动卷(四)　范围：(第一～十单元)
1.B　[法一　由题意知，A＝{x|－2法二　A∩B应为集合B的子集，故排除A，D，因为(－)2＝>4，所以－不是集合A中的元素，故排除C.故选B.]
2.B　[由(1＋i)z＝a－i得，z＝＝＝－i，
∵|z|＝1，
∴()2＋(－)2＝1，解得a＝1或a＝－1.
故“|z|＝1”是“a＝1”的必要不充分条件.
故选B.]
3.B　[法一(基向量法)　由题意知点P为BC的中点，所以·＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝·－2＋·－·＝－2＋2＝－22＋×22＝－2，故选B.
法二(坐标法)　如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，2)，D(2，2)，P(1，0)，所以＝(1，－2)，＝(2，2)，所以·＝1×2＋(－2)×2＝－2，故选B.]
4.C　[如图a所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，假设底面ABCD为平面α.对于A，假设平面ADD1A1为平面β，符合题意α⊥β，假设m＝A1D1，l＝BC，符合题意m∥α，l∥β，由图a可知，此时m∥l，不符合m⊥l的结论，所以A错误.对于B，还是假设平面ADD1A1为平面β，假设m＝BC，l＝A1D1，符合题意m α，l β，m∥l，但此时α⊥β，不符合α∥β的结论，所以B错误.对于C，如图b所示，过直线l作平面γ，与平面α交于直线l1，因为l∥α，由线面平行的性质定理可知l∥l1，又l∥β，所以l1∥β，又α∩β＝m，且l1 α，所以l1∥m，因此l∥m，故C正确.对于D，在图a的正方体中，假设m＝BB1，l＝DD1，平面ABCD为平面α，平面A1B1C1D1为平面β，此时符合题意m⊥α，l⊥β，m∥l，但由图a可知α∥β，不符合α⊥β的结论，所以D错误.故选C.]
5.D　[因为cos(α－)＝2cos 2α，所以(cos α＋sin α)＝2(cos2α－sin2α)＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，因为α∈(0，)，所以cos α＋sin α>0，所以cos α－sin α＝，即(cos α－sin α)＝，所以cos(α＋)＝，因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，所以sin(α＋)＝＝＝，
所以tan(α＋)＝＝.故选D.]
6.B　[将f(x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，
得到h(x)＝sin(x－)的图象，将h(x)图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标都变为原来的得到g(x)＝sin(ωx－).
当x∈(－，0)时，ωx－∈(－－，－).
g(x)在(－，0)上单调递增，所以－≤－－<－，
得0<ω≤.故选B.]
7.A　[法一　因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，不妨令x1>x2，则x1－x2>0，因为当x>0时，f(x)<0，所以f(x1－x2)<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)法二　因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以可令f(x)＝kx，又当x>0时，f(x)<0，所以k<0，所以f(x2)＋f(2x)≥0可转化为kx2＋2kx≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2，0].故选A.]
8.B　[①当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，易知函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，
在区间(－1，0)上单调递增，所以当x≤0时，f(x)min＝f(－1)＝－1.②当x>0时，f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)>0，解得0e，故f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，所以当x>0时，f(x)max＝f(e)＝＝.综上所述，可以画出函数f(x)的大致图象如图所示，因为函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，所以直线y＝m与y＝f(x)的图象有3个交点，由图可知，－19.BC　[对于A选项，该组数据共10个数，且10×0.8＝8，因此，该组数据的第80百分位数为＝18，A错误；
对于B选项，若随机变量ξ～N(2，σ2)，
且P(ξ＞5)＝0.22，
则P(－1＜ξ＜5)＝1－2P(ξ＞5)
＝1－2×0.22＝0.56，B正确；
对于C选项，若随机变量ξ～B(9，)，
则D(2ξ)＝4D(ξ)＝4×9××＝8，C正确；
对于D选项，在随机变量X的每个样本数据上都加个正数x，则得到的新数据对应的随机变量为X＋x，由期望和方差的性质可得E(X＋x)＝E(X)＋x，D(X＋x)＝D(X)，因此，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数会改变，但方差不变，D错.故选BC.]
10.ABD　[由题意可得，c＝2，
根据条件解得双曲线C的方程为x2－y2＝4，
即－＝1，
则需要满足a＝2，b＝2，则实轴长2a＝4，故A满足题意；
实轴长与虚轴长相等，故双曲线C为等轴双曲线，故B满足题意；
离心率e＝＝，故C不满足题意；
渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故D满足题意.综上，选ABD.]
11.BCD　[对于A，假设l∥平面BCNM，因为平面PBC与平面PMN的交线为l，所以l 平面PBC，l 平面PMN，又平面PBC∩平面BCNM＝BC，平面PMN∩平面BCNM＝MN，所以l∥BC，l∥MN，根据基本事实4可知，MN∥BC，显然与题中已知条件矛盾，所以假设不成立，故A错误.
对于B，如图，取AC的中点D，连接BD，因为AB＝BC＝4，所以BD⊥AC，因为N是AC边上靠近A的四等分点，所以N是AD的中点，又M是AB的中点，所以MN∥BD，所以MN⊥AC，则MN⊥NP，又AC∩NP＝N，AC，NP 平面PNC，所以MN⊥平面PNC，所以BD⊥平面PNC，则直线PM和直线BC与平面PNC所成的角分别为∠NPM，∠BCA，因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠BCA＝∠BAC＝，又△MNP是由△MNA翻折得到的，故∠NPM＝∠BAC＝，所以∠NPM＝∠BCA，故B正确.
对于C，由B选项的分析知，MN⊥平面PNC，又PC 平面PNC，所以MN⊥PC，则当PN⊥PC时，因为PN∩MN＝N，PN，MN 平面PNM，所以PC⊥平面PNM，又PC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PNM，即要使平面PBC⊥平面PNM，只需PN⊥PC.因为AB＝BC＝4，AB⊥BC，所以AC＝4，则NC＝3AN＝3PN＝AC＝3，故当PN⊥PC时，cos∠PNC＝＝＝，又0<∠PNC<π，所以存在点P，使得PN⊥PC，故C正确.
对于D，连接MC，则MC＝＝＝2.由B选项的分析知，MN⊥AC，又AB⊥BC，所以四边形BCNM的对角互补，所以B，C，N，M四点共圆，且该圆的直径为对角线MC，故四棱锥P－BCNM外接球的直径不小于2，当四棱锥P－BCNM外接球的直径为MC时，MC的中点到点P的距离等于MC的一半，则PM⊥PC，由C选项的分析知，当cos∠PNC＝时，PC⊥平面PNM，又PM 平面PNM，所以PC⊥PM，故四棱锥P－BCNM外接球的直径可为MC，所以四棱锥P－BCNM外接球表面积的最小值为4π·()2＝20π，故D正确.综上，选BCD.]
12.120　[法一　首先安排甲，有5种方法分别为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)；再安排剩下4人，有A＝24(种)方法.所以不同的安排方法有5×24＝120(种).
法二　将甲的2天捆绑起来，与剩下4天进行排列，有A＝120(种)方法，所以不同的安排方法有120种.]
13.0.56　[所求概率为P＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56.]
14.914　[因为每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦之间的距离为1，首根弦在y轴上，称为第0根弦，所以第n根弦的方程为x＝n.
因为第n根弦分别与曲线y＝1.1x和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)，Bn(xn′，yn′)，所以yn＝1.1n，yn′＝n＋1，则ynyn′＝(n＋1)·1.1n.
令S＝ynyn′＝1×1.10＋2×1.11＋3×1.12＋…＋21×1.120，则1.1S＝1×1.1＋2×1.12＋3×1.13＋…＋21×1.121，两式相减得－0.1S＝1＋1.1＋1.12＋…＋1.120－21×1.121＝－21×1.121＝－11×1.121－10，则S＝110×1.121＋100＝100×1.122＋100＝814＋100＝914.]
15.解　(1)∵＝，
∴由正弦定理得＝，
化简得a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝＝－.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵(＋1)a＋2b＝c，
∴由正弦定理得
(＋1)sin A＋2sin B＝sin C，
又C＝，A＋B＋C＝π，
∴(＋1)sin A＋2sin＝，
即sin＝.
∵0∴A＋＝，即A＝－，
∴sin A＝sin＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.
16.解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可知解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0，
Δ＝128k2－16(4k2＋1)＝64k2－16>0，则k>或k<－，
由韦达定理可得：x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以y1·y2＝(kx1＋)·(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝，
因为OA⊥OB，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，所以＋＝0，
解得k＝或－，经检验满足Δ>0，所以k的值为或－.
当k＝时，直线AB方程为x－2y＋2＝0，原点O到直线AB的距离d＝＝，
因为x1＋x2＝－＝－，x1·x2＝＝，
所以|AB|＝
＝·＝·＝，
所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝，
当k＝－，由对称性可得S△OAB＝，
所以△OAB的面积为.
17.(1)证明　由题意，易知AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，D(0，b，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，P(0，0，)，E(0，，).
故＝(－a，，)，＝(0，b，－)，
因为·＝0，所以⊥，即BE⊥PD.
(2)解　因为＝(a，0，0)，所以·＝0，故AB⊥PD，
又AB∩BE＝B，AB，BE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE，
故平面ABE的一个法向量为n＝＝(0，b，－)，
由(1)知＝(a，a，－b)，
设直线PC与平面ABE所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
整理得b＝2a，即＝.
18.解　(1)设点A(x0，f(x0))，x0∈[0，π].
由于f′(x)＝2cos x－a，则f′(x0)＝2cos x0－a＝－a，
得cos x0＝0，
则x0＝，且f()＝2－a，所以点A的坐标为(，2－a).
(2)①g(x)＝2sin x－x－ln(x＋1)，
则g′(x)＝2cos x－1－，记h(x)＝2cos x－1－，
则h′(x)＝－2sinx＋
易知h′(x)在上单调递减，
且h′(0)＝1>0，h′()＝－1<0，
∴ x0∈(0，)，
h′(x0)＝0，即－2sin x0＋＝0，
所以当x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)在(0，x0)上单调递增；
当x∈(x0，)时，h′(x)<0，h(x)在(x0，)上单调递减.
因为h(0)＝0，h()＝－1－>－1－＝－>0，
所以x∈(0，)时，h(x)>0，g(x)在上单调递增，
所以当x＝0时，g(x)取得最小值g(0)＝0.
②证明　由①可知x∈(0，)，时g(x)>0恒成立，即2sin x>ln(x＋1)＋x恒成立.
设s(x)＝x－ln(x＋1)，则s′(x)＝1－＝，
当x∈(0，)时，s′(x)>0，s(x)在(0，)上单调递增，
所以s(x)>s(0)＝0，所以x>ln(x＋1)，
又2sin x>ln(x＋1)＋x>2ln(x＋1)，所以sin x>ln(x＋1)，
取x＝(n∈N，n≥2)，则sin>ln(＋1)＝ln(n＋1)－ln n，
∴sin＋sin＋…＋sin>ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln(n＋1)－ln n
＝ln(n＋1)－ln 2＝ln，故原不等式成立.
19.解　(1)法一　依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为
p＝×(1－)＝，
门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
易知X～B(3，)，所以P(X＝k)＝C×()k×()3－k，
k＝0，1，2，3，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)＝3×＝.
法二　X的所有可能取值为0，1，2，3，
在一次扑球中，扑到点球的概率P＝××3×(1－)＝，
所以P(X＝0)＝C()3＝，P(X＝1)＝C·()2＝，
P(X＝2)＝C·()2×＝，P(X＝3)＝C()3＝，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
(2)①第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，
则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为pn－1，
第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1，
则pn＝pn－1×0＋(1－pn－1)×＝－pn－1＋，
即pn－＝－(pn－1－)，又p1－＝，
所以是以为首项，公比为－的等比数列.
②由①可知pn＝(－)n－1＋，所以p2 024＝(－)2 023＋<，
所以q2 024＝(1－p2 024)＝>，
故p2 024

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