资源简介

综合提升卷(一)
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M＝{x|－1≤x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝(　　)
A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤－1}
C.{x|－1≤x≤2} D.{x|x<1或>2}
2.若复数z满足(1－2i)z＝10－5i，则＝(　　)
A.－4＋3i B.4＋3i
C.|－4－3i| D.4－3i
3.已知直线l：y＝kx＋1，椭圆C：＋y2＝1，则“k＝0”是“l与C相切”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为8π，则该模型中圆柱的表面积为(　　)
A.12π B.16π
C.24π D.36π
5.函数f(x)＝的图象大致为(　　)
A.A B.B
C.C D.D
6.某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7.已知cos(α－)－cos α＝，则sin(2α＋)＝(　　)
A. B.－
C. D.－
8.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E的右支交于A，B两点，且|BF2|＝2|AF2|，若·＝0，则双曲线E的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，则下列说法正确的是(　　)
A.a·b＝2
B.〈a，b〉＝
C.a⊥(a＋2b)
D.a＋b在b上的投影向量为b
10.已知函数f(x)＝asin 2x＋cos 2x的图象关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　)
A.f()＝0
B.f(x－)为奇函数
C.若f(x)在[－m，m]上单调递增，则0D.f(x)的图象与直线y＝x－有5个交点
11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用F(n)(n∈N*)表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：F(1)＝F(2)＝1，F(n＋2)＝F(n＋1)＋F(n).则下列说法正确的是(　　)
A.F(10)＝34
B.3F(n)＝F(n－2)＋F(n＋2)(n≥3)
C.F(1)＋F(2)＋…＋F(2 023)＝F(2 025)－1
D.[F(1)]2＋[F(2)]2＋…＋[F(2 023)]2＝F(2 023)·F(2 024)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知(ax－2)(1＋)4的展开式中常数项为－2，则实数a的值为________.
13.使得不等式logab14.已知函数f(x)＝ln x，若存在实数对(xi，yi)满足0四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某体育学校为储备人才，准备通过测试(按照测试成绩高分优先录取的原则)录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1 000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计此次测试的平均成绩；
(2)试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？
16.(15分)从①＝，②＝，③2asin2＝bsin A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且________.
(1)求角B的大小；
(2)若A的角平分线交边BC于点D，且AD＝，c＝2，求边b.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.(15分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE翻折使点A到达点A1的位置，F为线段A1C的中点.
(1)求证：DF∥平面A1BE；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求直线A1E与平面A1BC所成角的大小.
18.(17分)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)经过点P(1，2).
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线y＝kx＋m与E的交点为A，B，直线PA与PB的倾斜角互补.
①求k的值；
②若m<3，求△PAB面积的最大值.
19.(17分)在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：P(X＝xi)＝mi，P(Y＝xi)＝ni，mi>0，ni>0，i＝1，2，…，n，mi＝ni＝1，定义随机变量X的信息量H(X)＝－milog2mi，X和Y的“距离”KL(X||Y)＝milog2.
(1)若X～B(2，)，求H(X)；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为p(0①若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；(用p，q表示结果)
②记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X||Y)≥0.
综合提升卷(一)
1.A　[N＝＝{x|x≥1}，故M∩N＝.故选A.]
2.D　[复数z满足(1－2i)z＝10－5i，则有z＝＝＝＝4＋3i，
所以＝4－3i.故选D.]
3.C　[当k＝0时，直线l：y＝1，直线与椭圆相切，当“l与C相切”时，
联立有(4k2＋1)x2＋8kx＝0，令Δ＝(8k)2－4×(4k2＋1)×0＝0，有k＝0，
所以k＝0是直线与椭圆相切的充要条件.故选C.]
4.D　[可设球的半径为r，则根据题意可知圆柱的底面半径也为r，
圆柱的高等于直径，即为2r，由球的体积为8π，利用球的体积公式可得πr3＝8π，解得r＝，再由圆柱的表面积公式得S＝πr2×2＋2πr·2r＝6πr2＝6π×6＝36π.故选D.]
5.C　[依题意，函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠±1}，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足；当x∈(0，1)时，ex－e－x>0，|1－x2|>0，则f(x)>0，AD不满足，C满足.故选C.]
6.C　[记第i次取到的是红球为事件Ai(i＝1，2，3，4)，
则获得二等奖的概率为2[P(1A2A3A4)＋P(A12A3A4)＋P(A1A23A4)]
＝2(×××＋×××＋×××)＝.故选C.]
7.B　[由cos(α－)－cos α＝ cos αcos ＋sin αsin －cos α＝ cos αcos －sin αsin ＝－ cos(α＋)＝－，
所以cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝，
所以sin(2α＋)＝cos[－(2α＋)]＝cos(－2α)
＝－cos(2α＋)＝－.故选B.]
8.B　[如图：设|AF2|＝t，则|BF2|＝2t，
根据双曲线的定义，可得|AF1|＝2a＋t，|BF1|＝2a＋2t，
因为·＝0，所以∠BAF1＝90°，
所以
由(2a＋t)2＋(3t)2＝(2a＋2t)2 2a＝3t，代入(2a＋t)2＋t2＝(2c)2可得17a2＝9c2 e＝＝.故选B.]
9.CD　[对于A，由向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，
则a·b＝1×(－2)＋×0＝－2，故A是错误的；
对于B，由向量的夹角公式得：cos〈a，b〉＝＝＝－，所以a与b的夹角为，故B是错误的；
对于C，由a＋2b＝(1，)＋2(－2，0)＝(－3，)，所以
a·(a＋2b)＝(1，)·(－3，)＝－3＋3＝0，即a⊥(a＋2b)，故C是正确的；
对于D，由a＋b＝(1，)＋(－2，0)＝(－1，)，则a＋b在b上的投影向量为：
·＝·＝(－1，0)＝b，故D是正确的.故选CD.]
10.BCD　[因为函数f(x)＝asin 2x＋cos 2x的图象关于直线x＝对称，
所以asin ＋cos ＝或asin ＋cos ＝－，解得a＝.
即f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋).所以f()＝2sin(2×＋)＝2sin＝2sin ＝2，故A错误；
因为f(x－)＝2sin[2×(x－)＋]＝2sin 2x，为奇函数，故B正确；
由－≤2x＋≤ －≤x≤，所以f(x)在[－，]上递增，又因为若f(x)在[－m，m]单调递增，所以0设2x＋＝t，则x＝－.作函数y＝2sin t和y＝－的草图如下：
可知两个函数的图象有5个交点，即f(x)的图象与直线y＝x－有5个交点，故D正确.故选BCD.]
11.BCD　[对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以F(10)＝55，所以A错误；
对于B，当n≥3时，F(n－1)＋F(n－2)＝F(n)，F(n＋1)＝F(n)＋F(n－1)，F(n＋2)＝F(n＋1)＋F(n)，所以三式相加得F(n－1)＋F(n－2)＋F(n＋1)＋F(n＋2)＝F(n)＋F(n)＋F(n－1)＋F(n＋1)＋F(n)，
所以3F(n)＝F(n－2)＋F(n＋2)(n≥3)，所以B正确；
对于C，因为数列{F(n)}满足：F(1)＝F(2)＝1，F(n＋2)＝F(n＋1)＋F(n)，
所以F(3)＝F(2)＋F(1)，F(4)＝F(3)＋F(2)，F(5)＝F(4)＋F(3)，……，
F(2 023)＝F(2 022)＋F(2 021)，F(2 024)＝F(2 023)＋F(2 022)，F(2 025)＝F(2 024)＋F(2 023)，
以上2 023个等式相加得F(2 025)＝F(2)＋F(1)＋F(2)＋F(3)＋…＋F(2 022)＋F(2 023)，
因为F(2)＝1，所以F(1)＋F(2)＋…＋F(2 023)＝F(2 025)－1，所以C正确；
对于D，因为F(1)＝F(2)＝1，F(n＋2)＝F(n＋1)＋F(n)，
所以[F(1)]2＝F(1)F(2)，[F(2)]2＝F(2)F(3)－F(1)F(2)，
[F(3)]2＝F(3)F(4)－F(2)F(3)，[F(4)]2＝F(4)F(5)－F(3)F(4)，……，
[F(2 022)]2＝F(2 022)F(2 023)－F(2 021)F(2 022)
[F(2 023)]2＝F(2 023)F(2 024)－F(2 022)F(2 023)，
所以[F(1)]2＋[F(2)]2＋…＋[F(2 023)]2＝F(2 023)·F(2 024)，所以D正确.
故选BCD.]
12.0　[依题意，(1＋)4＝1＋＋＋＋，因此(ax－2)(1＋)4展开式中常数项为4a－2，则4a－2＝－2，解得a＝0，所以实数a的值为0.]
13.e，2(答案不唯一)　[不妨取a>1，b>1，由ba得aln b令函数f(x)＝，x>1，求导得f(x)＝，当10，当x>e时，f′(x)<0，即函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，取a，b∈(1，e]，由f(b)14.4　[设函数F(x)＝，则F′(x)＝，由F′(x)>0得0由F(xi)＝F(yi)，且0所以2(n－1)≤x1＋x2＋…＋xn－115.解　(1)此次测试的平均成绩为：
0.2×65＋0.3×75＋0.4×85＋0.1×95＝79.
(2)由题意可知，录取率为0.3，能进入第一梯队的概率为0.1；
设录取分数为x，因为分数落在[90，100]的概率为0.1，分数落在[80，90)的概率为0.4，
所以x∈[80，90)，令0.1＋(90－x)×0.04＝0.3，解得x＝85，所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分，所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队.
16.解　(1)若选择①，则因为＝，
由正弦定理得sin Bcos C＋cos Bsin C＋2sin Acos B＝0，
所以sin(B＋C)＋2sin Acos B＝0，即sin A(2cos B＋1)＝0，
因为sin A≠0，从而cos B＝－，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
若选择②，则：因为＝，由正弦定理得b2＝a2＋c2＋ac,
又由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，从而cos B＝－，B∈(0，π)，所以B＝.
若选择③，则：因为2asin2＝bsin A，
所以a(1－cos B)＝bsin A，
由正弦定理得sin A(1－cos B)＝sin Bsin A, 整理得sin B＋cos B＝1，所以sin(B＋)＝，因为B∈(0，π)，所以B＋∈(，)，
所以B＋＝，所以B＝.
(2)如图：在△ABD中，＝，
所以sin∠ADB＝＝，
所以∠ADB＝，所以∠BAD＝∠DAC＝，所以∠ACB＝∠BAC＝，
所以△ABC是等腰三角形，且a＝c，所以b＝2acos ＝2.
17.解　(1)取线段A1B的中点为H，连接EH，FH，
因为F为线段A1C的中点，所以FH∥BC，且FH＝BC;
又E是AD的中点，所以ED∥BC，且ED＝BC；
所以 ED∥FH，且ED＝FH，故四边形EDFH为平行四边形； 所以DF∥EH,
因为DF 平面A1BE，EH 平面A1BE，所以 直线DF∥平面A1BE；
(2)因为E是AD的中点，所以BE⊥AD，所以BE⊥A1E；
因为平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，A1E 平面A1BE1，
所以A1E⊥平面BCDE.
法一　以E为原点，EB，ED，EA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则E(0，0，0)，A1(0，0，1)，B(，0，0)，C(，2，0)，则＝(0，0，1)，＝(－，0，1)，＝(0，2，0)，
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则
即取x＝1，则n＝(1，0，), 设直线A1E与平面A1BC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝，
所以直线A1E与平面A1BC所成角为.
法二　因为BC 平面BCDE，
所以A1E⊥BC.
又BE⊥AD，AD∥BC，
所以BC⊥BE，
BE∩A1E＝E，BE，A1E 平面A1BE，
所以BC⊥平面A1BE.
作EG⊥A1B，如图，EG 平面A1BE，
所以BC⊥EG，
又BC∩A1B＝B，BC，A1B 平面A1BC，
所以EG⊥平面A1BC，
所以∠EA1G是直线A1E与平面A1BC所成角，
又∠EA1G＝∠EAB＝，
故直线A1E与平面A1BC所成角大小为.
18.解　(1)由题意可知，4＝2p，所以p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)①如图：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入y2＝4x得：k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，因为直线PA与PB的倾斜角互补，
所以kPA＋kPB＝＋＝＋＝0，
即2k＋(k＋m－2)(＋)＝2k＋(k＋m－2)＝0，
所以2k＋(k＋m－2)＝0，
即2k＋＝0，所以k＝－1.
②由①可知x2－(2m＋4)x＋m2＝0，所以x1＋x2＝4＋2m，x1x2＝m2，
则|AB|＝＝4， 因为Δ＝(2m＋4)2－4m2>0，所以m>－1，即－1所以S＝×4··＝2，
设f(m)＝(3－m)2(m＋1)，－1f′(m)＝3m2－10m＋3，
当－10，f(m)单调递增，
当故f(m)在m＝时取最大值，
即f(m)max＝，
则Smax＝2＝2××＝.
所以△PAB面积最大值为 .
19.解　(1)因为X～B(2，)，所以P(X＝k)＝C()2(k＝0，1，2)，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以H(X)＝－(log2＋log2＋log2)＝.
(2)①记发出信号0和1分别为事件Ai(i＝0，1)，收到信号0和1分别为事件Bi(i＝0，1)，则P(A0)＝p，P(A1)＝1－p，P(B0|A0)＝P(B1|A1)＝q，P(B1|A0)＝P(B0|A1)＝1－q，
所以P(B0)＝P(A0)P(B0|A0)＋P(A1)P(B0|A1)＝pq＋(1－p)(1－q)＝1－p－q＋2pq，
所以P(A0|B0)＝＝.
所以发报台发出信号为0的概率为，
②由①知P(B0)＝1－p－q＋2pq，则P(B1)＝1－P(B0)＝p＋q－2pq，
则KL(X||Y)＝plog2＋(1－p)log2，
设f(x)＝1－－ln x，则f′(x)＝－＝，
所以当00，f(x)单调递增，当x>1时f′(x)<0，f(x)单调递减；
所以f(x)≤f(1)＝0，即ln x≥1－(当且仅当x＝1时取等号)，
所以log2x＝≥(1－)，
所以KL(X‖Y)＝plog2＋(1－p)log2≥(1－)＋(1－)＝0，
当且仅当＝＝1，即p＝，0所以KL(X‖Y)≥0.

展开更多......

收起↑