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综合提升卷(二)
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U＝{1，2，4，6，8}，集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x＝4a，a∈M}，则 U(M∪N)＝(　　)
A.{6} B.{4，6，8}
C.{1，2，4，8} D.{1，2，4，6，8}
2.设复数z满足＝－i，则|z|＝(　　)
A.i B.
C.1 D.
3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4.已知向量a＝(log23，sin )，b＝(log38，m)，若a⊥b，则m＝(　　)
A.－2 B.－
C.2 D.3
5.函数f(x)的数据如下表，则该函数的解析式可能形式为：(　　)
x －2 －1 0 1 2 3 5
f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A.f(x)＝ka|x|＋b B.f(x)＝kxex＋b
C.f(x)＝k|x|＋b D.f(x)＝k(x－1)2＋b
6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是(　　)
A.A1，A2互斥 B.P(B|A1)＝
C.P(A2B)＝ D.P(B)＝
7.在数列{an}中，已知a1＝3，且an＋1＝4an＋6n－5(n∈N*)，则a15＝(　　)
A.415－15 B.215－29
C.215－15 D.415－29
8.已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P(x1，y1)是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，|MO|＝，若双曲线C上一点T满足·＝5，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为(　　)
A.2 B.2
C.2 D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是(　　)
A.中位数不变 B.平均数不变
C.方差不变 D.第40百分位数不变
10.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)满足：f()＝2，f()＝0，则(　　)
A.曲线y＝f(x)关于直线x＝对称
B.函数y＝f(x－)是奇函数
C.函数y＝f(x)在(，)上单调递减
D.函数y＝f(x)的值域为[－2，2]
11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P－ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是(　　)
A.直线AE与PB所成的角为
B.△ABE的周长最小值为4＋
C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为
D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在二项式(x－1)(2x＋)6的展开式中，常数项为________.
13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为________时，圆锥的体积最大，最大值为________.
14.对于任意两个正实数a，b，定义a b＝λ·，其中常数λ∈(，1).若u≥v>0，且u v与v u都是集合的元素，则u v＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)＝x3－ax＋a.
(1)若x＝1是函数f(x)的极值点，求f(x)在(－1，f(－1))处的切线方程.
(2)若a>0，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.
16.(15分)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠DAB＝90°，cos〈，〉＝，cos〈，〉＝，点M为BD中点.
(1)证明：B1M∥平面A1C1D；
(2)求二面角B－AA1－D的正弦值.
17.(15分)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求P1，P2，P3，P4；
(3)对于事件A，B，C，当P(AB)>0时，写出P(A)，P(B|A)，P(C|AB)，P(ABC)的等量关系式，并加以证明.
18.(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，－)在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(－1，0)与椭圆交于M，N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：为定值.
19.(17分)约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak－1，ak(a1(1)当k＝4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
(2)当k≥4时，若a2－a1，a3－a2，…，ak－ak－1构成等比数列，求正整数a的所有可能值；
(3)记A＝a1a2＋a2a3＋…＋ak－1ak，求证：A综合提升卷(二)
1.A　[由题知M＝{1，2}，N＝{4，8}，故 U(M∪N)＝{6}，故选A.]
2.C　[由＝－i解得z＝＝＝－i，所以|z|＝1.故选C.]
3.B　[线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.]
4.C　[因为a⊥b，所以a·b＝0，即log23×log38＋msin ＝0，所以log28－m＝0，
所以m＝2.故选C.]
5.A　[由函数f(x)的数据可知，函数f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，偶函数满足此性质，可排除B，D；当x>0时，由函数f(x)的数据可知，函数f(x)增长越来越快，可排除C.故选A.]
6.C　[因为每次只取一球，故A1，A2是互斥的事件，故A正确；由题意得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B)＝，P(B)＝，P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝×＋×＝，故B，D均正确；因为P(A2B)＝×＝，故C错误.故选C.]
7.D　[因为an＋1＝4an＋6n－5(n∈N*)，
所以an＋1＋2n＋1＝an＋1＋2(n＋1)－1＝4(an＋2n－1)，
所以数列{an＋2n－1}是以a1＋2×1－1＝4为首项，公比q＝4的等比数列，
所以an＋2n－1＝4·4n－1＝4n，所以an＝4n－(2n－1)，所以a15＝415－29.]
8.A　[设半焦距为c，延长F2M交PF1于点N，由于PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM，所以△NPF2是等腰三角形，所以|PN|＝|PF2|，且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|NF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，
所以MO是△NF1F2的中位线，所以|MO|＝|NF1|＝a＝，
又双曲线的离心率为，所以c＝，b＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
所以F1(－，0)，F2(，0)，双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，
设T(u，v)，T到两渐近线的距离之和为S，则S＝＋，
由·＝(u－)(u＋)＋v2＝u2＋v2－3＝5，即u2＋v2＝8，又T在－y2＝1上，则－v2＝1，即u2－2v2＝2，解得u2＝6，v2＝2，由|u|>|v|，故S＝＝2，即距离之和为2.故选A.]
9.AD　[将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25，平均数是(12＋16＋22＋24＋25＋31＋33＋35＋45)÷9＝27，
方差是×[(－15)2＋(－11)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－2)2＋42＋62＋82＋182]＝，
由40%×9＝3.6，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其中位数为25，平均数是(16＋22＋24＋25＋31＋33＋35)÷7＝，
方差是×[(－)2＋(－)2＋(－)2＋(－)2＋()2＋()2＋()2]＝，
由40%×7＝2.8，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.故选AD.]
10.ABD　[f(x)＝2sin(ωx＋)，所以函数y＝f(x)的值域为[－2，2]，故D正确；
因为f()＝0，所以ω＋＝k1π，k1∈Z，所以ω＝，k1∈Z，因为f()＝2，所以ω＋＝＋2k2π，k2∈Z，所以ω＝12k2＋1，k2∈Z，所以＝12k2＋1，即k1＝8k2＋1，所以ω∈{1，13，25，37…}，因为f()＝2sin((12k2＋1)＋)＝2sin(14k2π＋)＝－2，
所以曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，故A正确；
因为f(x－)＝2sin((12k2＋1)(x－)＋)＝2sin((12k2＋1)x－4k2π)＝2sin((12k2＋1)x)
即f(x－)＝－f(－x－)，所以函数y＝f(x－)是奇函数，故B正确；
取ω＝13，则最小正周期T＝＝<－＝π，故C错误.故选ABD.]
11.ACD　[A选项，如图1连接AD，由于D为PB的中点，
所以PB⊥CD，PB⊥AD，又CD∩AD＝D，AD，CD 平面ACD，所以直线PB⊥平面ACD，又AE 平面ACD，
所以PB⊥AE，故A正确；
B选项，如图2把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一个平面内，连接AB交CD于点E，
则AE＋BE的最小值即为AB的长，由于AD＝CD＝2，AC＝4, cos∠ADC＝＝＝，
cos∠ADB＝cos(＋∠ADC)＝－sin∠ADC＝－，
所以AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB＝22＋(2)2－2×2×2×(－)＝16＋，
故AB＝＝4，△ABE的周长最小值为4＋4，B错误；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
如图3设球心为O，取AC的中点M，连接BM，PM，过点P作PF垂直于BM于点F，
则F为△ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM于点N，
因为AM＝2，AB＝4，所以BM＝＝2，同理PM＝2，
则MF＝BM＝，故PF＝＝，设OF＝ON＝R，故OP＝PF－OF＝－R，因为△PNO∽△PFM，所以＝，即＝，解得R＝，C正确；
D选项，4个小球分两层(1个，3个)放进去，要使小球半径最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体Q－VKG，由C选项可知，其高为r, PF是正四面体P－ABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，则QS＝r，SF＝r，
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的，如图4正四面体P－HJI中，QZ＝r，QP＝3r，正四面体P－ABC高为3r＋r＋r＝×4，解得r＝，D正确.故选ACD.]
12.－160　[(x－1)(2x＋)6＝x(2x＋)6－(2x＋)6，因为(2x＋)6的通项公式为Tk＋1＝C(2x)6－k()k＝C26－kx6－2k(0≤k≤6，k∈N)，所以在x(2x＋)6中，当6－2k＝－1时，k＝不满足；在(2x＋)6中，当6－2k＝0时，k＝3，则T4＝C23＝160，常数项为－160.]
13.　π　[设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线与底面所成的角为θ，θ∈(0，)，易知cos θ＝.圆锥的体积为
V＝πr2·＝πcos2θ·2sin θ＝cos2θ·sin θ＝(1－sin2θ)sin θ，
令x＝sin θ，x∈(0，1)，则y＝(1－sin2θ)sin θ＝－x3＋x，
y′＝－3x2＋1，
当y′>0时，x∈(0，)，当y′<0时，x∈(，1)，即函数y＝－x3＋x在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，即Vmax＝(－()3)＝，此时cos θ＝＝.]
14.　[由u v与v u都是集合的元素，不妨设u v＝λ·＝n1，v u＝λ·＝n2，n1，n2∈Z，因为u≥v>0，所以0<≤1，
由已知λ∈(，1)，所以n2＝λ·∈(0，1)，则n2∈(0，2)，又n2∈Z，所以n2＝1，即＝，所以λ＝∈(，1)，所以∈(，2)，∈(2，4), 则λ·＝×＝n1∈(1，2)，即n1∈(2，4)，因为n1∈Z，所以n1＝3，则n1＝，即u v＝.]
15.解　(1)f′(x)＝3x2－a，又x＝1是函数f(x)的极值点，
∴f′(1)＝3－a＝0，即a＝3，∴f(x)＝x3－3x＋3，f′(x)＝3x2－3，
∴f(－1)＝5，f′(－1)＝0，
f(x)在(－1，f(－1))处的切线方程为y－5＝0(x＋1)，即y＝5，
所以f(x)在(－1，f(－1))处的切线方程是y＝5.
(2)f′(x)＝3x2－a，令f′(x)＝0，得x＝±，
∴f(x)在[0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，而f(0)＝a，f(2)＝8－a.
①当a≥8－a，即a≥4时，f(x)max＝a，
②当0综上，当a≥4时，f(x)max＝a；当016.(1)证明　连接B1D1，交A1C1于点N，连接DN，
在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥BB1，DD1＝BB1，N是B1D1的中点，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，又点M为BD中点，则B1N＝MD且B1N∥MD，
所以四边形B1NDM是平行四边形，从而B1M∥ND，
因为B1M 平面A1C1D，DN 平面A1C1D，所以B1M∥平面A1C1D.
(2)解　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，设点A1为(x，y，z)，其中z>0，则＝(x，y，z)，＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，
因为AA1＝1，cos〈，〉＝，
cos〈，〉＝，所以
即解得
则A1(，，)，则＝(，，)，
设平面BAA1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则
令y1＝1，则m＝(0，1，－1)，设平面AA1D的法向量n＝(x2，y2，z2)，则令x2＝1，则n＝(1，0，－)，
设二面角B－AA1－D为θ，则0<θ<π，所以＝＝＝＝，
则sin θ＝＝，所以二面角B－AA1－D的正弦值为.
17.解　(1)记事件“第i次摸到红球”为Ai(i＝1，2，3，…，10)，则第2次摸到红球的事件为A2，于是由全概率公式，
得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×＋×＝.所以第2次摸到红球的概率为.
(2)由已知得P1＝P(A1A2A3)＝＝，P2＝P(A1)＝，
P3＝P(A2|A1)＝＝×＝×＝，P4＝P(A3|A1A2)＝＝×＝.
(3)由(2)可得P1＝P2P3P4，即P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，
可猜想：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)，
证明如下：由条件概率及P(A)>0，P(AB)>0，得P(B|A)＝，
P(C|AB)＝，所以P(A)P(B|A)P(C|AB)＝P(A)··＝P(ABC).
18.(1)解　由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，－)在椭圆上，
可得＝，所以＝1－＝1－()2＝，
又点(1，－)在该椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于该直线斜率不为0，可设LMN：x＝my－1，
联立方程x＝my－1和＋＝1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，y1＋y2＝，y1·y2＝，my1·y2＝－(y1＋y2)，
k1＝，k2＝，＝＝＝，
∴＝＝3，∴＝＋＝.
19.(1)解　由题意可知，a1＝1，当k＝4时，正整数a的4个正约数构成等比数列，
取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即a＝8(答案不唯一).
(2)解　根据约数定义可知，数列{an}中，首尾对称的两项之积等于a，
即aiak＋1－i＝a(1≤i≤k)，所以a1＝1，ak＝a，ak－1＝，ak－2＝，
因为k≥4，依题意可知＝，
所以＝，
化简可得(a3－a2)2＝(a2－1)2a3，
所以a3＝()2，
因为a3∈N*，所以∈N*，
因此可知a3是完全平方数.由于a2是整数a的最小质因数，a3是a的因子，且a3>a2，所以a3＝a，所以数列a2－a1，a3－a2，…，ak－ak－1的公比为＝＝a2，
所以a2－a1，a3－a2，…，ak－ak－1为a2－1，a－a2，…，a－a，
所以a＝a(k≥4)，其中a2为质数.
(3)证明　由题意知aiak＋1－i＝a(1≤i≤k)，所以A＝＋＋…＋，
因为≤＝－，…，≤＝－，
所以A＝＋＋…＋＝a2(＋＋…＋)
≤a2(－＋－＋…＋－)＝a2(－)，
因为a1＝1，ak＝a，所以－<1，所以A≤a2(－)

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