资源简介

专题26.1 反比例函数的综合
【典例1】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．

（1）求反比例函数的解析式和点的坐标．
（2）点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标．
（3）点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）将代入，可得点坐标，将代入，可得的值，再根据点、关于原点对称，得出点的坐标；
（2）设，则，根据，即可得出的方程；
（3）分或，分别根据型全等，表示出点坐标，从而解决问题．
【解题过程】
（1）解：将代入，得，
解得：，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点和点关于原点对称，
∴．
（2）如图，过点作轴于点，交于，
设，则，
∵，
∴，
当时，
解得：或（负值不符合题意，舍去）
当时，
解得：或（负值不符合题意，舍去）
∴或，
∴点的坐标为或．
（3）存在，当时，
当点在轴正半轴时，
过点作轴，过点作于点，
∴，
∵是以为直角边的等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
设，
∵
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
当点在轴负半轴时，如图，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，
∴，，
设，
∵
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
当时，
当点在第一象限时，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，
∴，，
设，
∵
∴，
解得：，
∴；
当点在第三象限时，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，
∴，，
设，
∵
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为或或．
1．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为．
（1）求此菱形的边长；
（2）若反比例函数的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．
【思路点拨】
（1）过点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，则CE=8-x，BE=4，根据勾股定理求出x的值；
（2）由（1）可得出A点坐标，可求得反比例函数的解析式，求出直线CB的解析式与反比例函数的解析式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标．
【解题过程】
（1）解：如图，
点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，
∵B（8，4），
∴CE=8-x，BE=4，
在Rt△CBE中，CB2=CE2+BE2，
即x2=（8-x）2+42，解得x=5，
∴菱形的边长为5；
（2）解：∵菱形的边长为5，
∴A（3，4），
∴k=3×4=12，反比例函数解析式为y=．
（2）∵点C（5，0），B（8，4），
设直线CB的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线CB的解析式为：，
由
解得或（不合题意，舍去），
∴点D坐标为（，）．
2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点分别是反函数、一次函数的交点，已知．

（1）求出的值，以及一次函数的表达式；
（2）在线段上取一点，
①若使点是线段的三等分点，求出点的坐标；
②过点作直线平行轴，交反比例函数于点，连接，记的面积为，求最大值．
【思路点拨】
（1）将分别代入和中，求出的值，即可得到答案；
（2）①过点作直线垂直于轴，过点作直线垂直于轴，直线和相交于点，由，求出，从而可得，过点向轴、轴作垂线交于点，于点，根据点是线段的三等分点，即可得到，或，，从而即可得到答案；②设，则，从而得到，高，再根据面积公式得到，即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：将分别代入和中，
则，，
解得：，，
；
（2）解：①过点作直线垂直于轴，过点作直线垂直于轴，直线和相交于点，
，
由，
解得：，
过点作直线垂直于轴，过点作直线垂直于轴，直线和相交于点，
，
，
过点向轴、轴作垂线交于点，于点，
点是线段的三等分点，
，或，，
，
的横坐标为1，的纵坐标为，
或；
②设，则，
，高，
，
的最大值为．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，B两点，连接．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点M在第一象限内反比例函数图像上，点N在x轴上方且在一次函数图像上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明，得到，，再分两种情况，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：把代入一次函数，得，
解得，
∴，
把代入反比例函数得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：由题意得方程组，
解得，，
∴，
设一次函数交y轴于点C，
令中，则，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：如图，由题意得，，
过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，
则，
∴，，
当点在点A的左侧时，
设，则，
∵在上，
∴，即，
∴，，
经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去；
当时，，
∴；
当点在点A的右侧时，
设，则，
∵在上，
∴，即，
∴，，
经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去；
当时，，
∴；
综上所述：点M的坐标为或
4．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数经过点，反比例函数经过点B，且交边于点D，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数于点N．在点P运动过程中，直线上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先求出，得出，根据菱形性质得出，求出点B的坐标为，点C的坐标为，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据B点坐标求出k的值，再求出点D坐标，然后利用求出结果即可；
（3）分两种情况讨论，分别画出图形，根据平行四边形的性质求出点N的坐标即可．
【解题过程】
（1）解：∵反比例函数经过点，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
令，
解得：或，
∴点D的横坐标为，
∴，
∴
．
（3）解：存在；理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
∴，
即，
解得：，
把代入得：，
∴；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
∵，轴，
∴轴，
∴此时，
把代入得，，
∴此时；
综上分析可知，点N的坐标为或时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
5．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求此反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．
（3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一次函数和反比例函数表达式，即可求出点B的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，用勾股定理即可求解；
（3）设，，根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理列出方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：将带入得：，
解得：
∴，
将代入得：，
∴反比例函数的表达式为：，
联立，
解得：，
∴，
综上：反比例函数的表达式为：，；
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，
∵，
∴；
（3）解：设，，
①在点右侧时，过点作轴于点F，过点M作，交的延长线于点H，
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
②在点左侧时，
同理可得，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上：或．
6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．

（1）求线段的长度；
（2）试判断点是否在函数的图像上，并说明理由；
（3）已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标．
【思路点拨】
（1）先求得C的坐标可得，然后再说明四边形为矩形即可解答；
（2）由题意可得点坐标为，设直线的函数表达式为，进而得到；再确定点的横坐标为，然后代入即可解答；
（3）如图：过点作于点，先根据坐标求得，设点坐标为，则，由平行四边形的性质可得，进而证明≌可得，最后结合即可解答．
【解题过程】
（1）解：当时，，
坐标为，即，
轴，轴，
，
，
四边形为矩形，
．
（2）解：点在函数的图像上．理由如下：
点在函数的图像上，
点坐标为，
，
可设直线的函数表达式为，
，
点A坐标为
点的横坐标为，
当时，，即
，
点在函数的图像上．
（3）解：如图：过点作于点，

由（2）得，
，
，
，即
设点坐标为，则
四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
≌
，即，
，即点坐标为．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．

（1）如图1，若点坐标为．
①求，的值；
②若点的横坐标为，连接，求的面积．
（2）如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值．
【思路点拨】
（1）①将点代入解析式，求得；
②根据反比例函数解析式可得，分别过点、作轴的垂线交轴于点、，根据，，，可得；
（2）直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，则点，关于原点对称，点、关于原点对称，则四边形为平行四边形．点的坐标为 ，点的坐标为 ，根据，得出，根据 在上，得出，， 在上，得出，进而即可求解．
【解题过程】
（1）解：①点在上，
，；
点在上，
，
②点的横坐标为，
当时，，
；
分别过点、作轴的垂线交轴于点、，
，，
；

（2）解：直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，
点，关于原点对称，点、关于原点对称，
，，
四边形为平行四边形．
当时，四边形是矩形．
点，的横坐标分别为， ，
点的坐标为 ，点的坐标为 ，
，
，
，
，
又 在上，
，
， 在上，
，
．
8．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接
（1）求k，b的值.
（2）当的面积为3时，求点P的坐标.
（3）设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
【思路点拨】
（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n；
（2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标；
（3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【解题过程】
（1）∵直线过点，
∴，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
∵过点，
∴；
（2）∵点P的横坐标为t，
∴，
∴
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）如图1，
∵，，
∴
当是边，点D在x轴正半轴上，
作于F，作于G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：，
∴，
∴，
当是对角线时，
当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：，
∴，
∴，
∴，
如图4，
，
∴，
∴，（舍去），
当时，，
∴，
综上所述： 或，.
9．（2022秋·山西大同·九年级统考阶段练习）综合与实践
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，把线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，反比例函数的图象经过点，与直线交于两点和．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，若点的横坐标是1，点的纵坐标是．
①直接写出线段和的数量关系和当时，的取值范围；
②连接和，求的面积；
（3）当点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，以点，，和为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
【思路点拨】
（1）证明，得到点，进而求解；
（2）①观察函数图象即可求解；②由的面积，即可求解；
（3）当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式和列出表达式，即可求解；当是对角线时，同理可解．
【解题过程】
（1）解：对于，令，解得，令，则，
即点、的坐标分别为、，
，，
，
，，
，
，，
点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，
故反比例函数表达式得：；
（2）当时，，即点，
同理可得，点，
①由点、、的坐标知，，
即，
观察函数图象知，当时，的取值范围为：或；
②延长交轴于点，设交轴于点，

设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：，即点；
同理可得，直线的表达式为：，即点，
则，，，
则的面积
；
（3）设、，，
当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得；
即点；
当是对角线时，同理可得：
，解得，
即点；
当是对角线时，同理可得：
，解得：，
故点；
综上，点的坐标为：或或．
10．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当t为何值时，为等腰直角三角形；
（3）点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标．
【思路点拨】
（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）分是以为斜边和以为直角边的等腰直角三角形，两种情况进行讨论求解即可．
（3）根据四边形为平行四边形，得到，，列式计算即可．
【解题过程】
（1）解：把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：；
把点C的坐标代入上式得：，
故点C的坐标为，
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：①当是以为斜边的等腰直角三角形，
∴为直角，
过点D作于点H，如下图所示：
设点E的坐标为，则点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得（舍去），．
经检验是原方程的解；
②当是以为直角边的等腰直角三角形时，如图，
∵点E的坐标为，则点，
∴，
∴，
解得：（负值已舍去），
经检验是原方程的解；
综上：当或时，是等腰直角三角形．
（3）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（负值已舍去），
经检验：是原方程的解，
∴．
11．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，已知点、点C在反比例函数图象上．

（1）______；
（2）若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标；
（3）若点A绕点C顺时针旋转，所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段的长．
【思路点拨】
（1）将点代入即可解得；
（2）根据点C在反比例函数图象上设点C的坐标为，再根据点A关于点C的对称点为点D，求出点D的坐标，再将点D的坐标代入反比例函数解析式，即可求出c，从而得到点C的坐标；
（3）利用旋转构造特殊角的直角三角形，设出点坐标，然后通过旋转得性质进行线段表示与转化，最后利用勾股定理求出线段长度即可．
【解题过程】
（1）解：将点代入得：，
解得：，
故答案为：；
（2）∵，
∴反比例函数的解析式是：，
设点C的坐标为，点D的坐标为，

∵点A关于点C的对称点为点D，即点C是的中点，，
∴，
解得：，
∴点D的坐标是：，
又∵点D在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）如图，过点作轴于点，作轴于点，将绕点顺时针旋转，得，延长交轴于点，则，

∵轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
由旋转的性质可知：，，，
设，
则，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，，
，
∵点，
．
∵，，
，
，
解得：，(舍去)，
，，
，
，
，
，
．
12．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．

（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标．
【思路点拨】
（1）设点A的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于H，得到，求得，于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点A的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；
②延长交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为，于是得到结论．
【解题过程】
（1）解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，
∴设点A的坐标为，
∵点C关于直线的对称点为点E，
∴，平分，
如图．连接交于H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴于D，
∴轴，
∴，
∵，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点A的坐标为，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，，
把，代入得，
∴；
②延长交y轴于P，
∵，，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴，
则点P即为符合条件的点，
由①知，，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故当最大时，点P的坐标为．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足．
（1）若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；
（2）连接、，求的最小值；
（3）若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
【思路点拨】
（1）由矩形的性质可得出点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出的值，进而可得出反比例函数解析式，由可求出点的纵坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标；
（2）作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时取得最小值，由点的坐标可求出点的坐标，再利用勾股定理即可求出的最小值；
（3）设点的坐标为，由线段的长及点的纵坐标可得出只能为边，分点在点的上方及点在点的下方两种情况考虑：①当点在点的上方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标；②当点在点的下方时，由可求出的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标．综上，此题可得解．
【解题过程】
（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴点的坐标为，，
∵点在反比例函数的第一象限内的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴当点在这个反比例函数的图像上，点的坐标为；
（2）如图1，由（1）可知，点在直线上，作点关于直线的对称点，连接'交直线于点，
∵点和点关于直线的对称，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
即此时取得最小值，最小值为的长，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，，
∴．
∴的最小值为．
（3）∵轴，，点的纵坐标为，
∴不能为对角线，只能为边，
设点的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当点在点的上方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为；
②当点在点的下方时，由，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又∵，且轴，
∴点的坐标为，点的坐标为．
综上所述：当以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为，，或．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数（）图像上一点，作轴于B点，轴于C点，得正方形．
（1）写出A点的坐标______；
（2）如图2，点是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交x轴于点G，过点B作交y轴正半轴于点D，求证：．
（3）在（2）的条件下，连接，将直线沿x轴向右平移，交y轴正半轴于点D，交x轴正半轴于E点（如图3），轴交双曲线于Q点，轴于F点，交于H点，M是的中点．
①连接，，探究与的关系，并说明理由．
②动点R在x轴的上方，且满足，点N是平面内一点，若以Q、R、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的所有点N的坐标．
【思路点拨】
（1）根据是正方形，可知点的轴、轴坐标相等，即可求出A点的坐标；
（2）根据，，，可以得到，再结合，即可证明；
（3）①因为，所以，而是的斜边中点，可以得到，还有，这样可以证明，得到，，再根据是的斜边中点，得到，求出，即可得到；②因为轴交双曲线于Q点，且，所以，又因为，可知点在直线上，根据四边形以Q、R、F、N为顶点且为菱形，，即可知点的坐标，最后根据菱形的性质结合勾股定理即可得到点的坐标．
【解题过程】
（1）∵点A是反比例函数（）图像上一点，且是正方形，
∴，
∴A点的坐标为；
（2）∵，，
而，
∴，
∵是正方形，
∴，
∴；
（3）①连接，如图所示
∵，
∴，而是等腰的斜边中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的斜边中点，
∴
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴；
综上所诉，与的关系为且；
②∵轴交双曲线于Q点，且，
∴
∴，即，
∵
∴点在直线上，
∵四边形以Q、R、F、N为顶点且为菱形，而，
∴，
∵轴于F点，
∴轴 ，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为或
当点的坐标为时，
∵
∴点到直线与直线交点的距离为：，
∴点的坐标为：或，
∴点的坐标为：或；
当点的坐标为时，
∵，
∴点到直线与直线交点的距离为：，
∴点的坐标为：或，
∴点的坐标为：或；
综上所诉：点的坐标为：或或或．
15．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，将锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正半轴重合，角的另一边交函数的图象（记为曲线l）于点A．在射线的右侧构造矩形，对角线和交于点E．满足轴，，作射线．

（1）若点，点，求k的值；
（2）求证：点D在直线上；
（3）如图2，当时，射线交曲线l于点F，以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点H．求证：轴．
【思路点拨】
（1）根据矩形的性质，得出点是的中点，根据中点坐标公式求出点B的坐标，即可求出A、C两点的坐标，即可得出答案；
（2）设，求出直线的解析式为，表示出，，得出，把点D坐标代入即可得出答案；
（3）先求出，，设，则，得出，求出，过点B作于点G，直线的解析式为：，联立，得：，求出，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：四边形为矩形，
，互相平分，
点是的中点，
，，
，
，，
；
（2）解：设，设直线的解析式为，

则，
解得：
∴直线的解析式为，
矩形，轴，
∵点A、C在反比例函数图象上，
∴，，
∴，
代入得：右边左边，
点D在直线上；
（3）解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴设，则，
∴，
在中，，
，
，
，
即，
过点B作于点G，

则，
∵，
∴，
在中，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，得：，
则，
，
轴．
16．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．
（1）m与n的数量关系是( )
A． B． C． D．
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_____；
（3）若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）把分别代入得：，即可解答；
（2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，，，根据， ， 即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，
求出所在直线函数表达式为，再求出，则，最后根据即可求解；
（3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：把分别代入得：，
∴，整理得：，
故选：B．
（2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合
∴，，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的表达式为过，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，
将代入得：
，解得：，
∴所在直线函数表达式为，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴，
故答案为：8．
（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，
∴设，
∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，
①当为对角线时，
，解得：，
∴；
②当为对角线时，
，解得：，
∴；
∵，
∴不符合题意，舍去
③当为对角线时，
，解得：，
∴
综上：存在，或．
17．（2023·四川成都·统考一模）如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
（2）M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M的坐标；
（3）如图2，反比例函数的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求m的值．
【思路点拨】
（1）将A（2，a），代入一次函数解析式，求出值，再求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，求出点坐标；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可；
（3）分别用含的式子表示出，的面积，再利用的面积是的面积的3倍，列式计算即可．
【解题过程】
（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点，
将A（2，a），代入，得：，
∴A（2，1），
∴，
∴，
联立，得：，整理，得：，
解得：，
当时，，
∴；
（2）解：设，，
∵A（2，1），，
∴点是由点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的；
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
①将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，
则：，即：，，
∴；
②将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，
则：，，即：，
∴；
综上：当点坐标为或时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形；
（3）如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
由题意，可知：，
设直线的解析式为，
将，代入，则：
解得：
则直线的解析式为
当时，，则；
∵
∴，
∴
；
设直线的解析式为
将， 代入得：
解得：
则直线的解析式为
当时，则：，
∵，
∴，
；
∵，
∴，
解得：，，
又∵，
∴．
18．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图1，已知点，，且、满足处于平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．
（1）_________，________；
（2）求点的坐标；
（3）点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
（4）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【思路点拨】
（1）先根据非负数的性质求出a、b的值；
（2）故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（3）由（2）知k=4可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（4）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）∵，
∴，，
∴；．
故答案为：；．
（2），，
为中点，
，
设，
又四边形是平行四边形，
．
．
．
．
（3）∵D（1，4）在双曲线上，
∴k=xy=1×4=4．
∴反比例函数的解析式为，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则，
解得x=1，
此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则，
解得x=-1，
此时P2（1，4），Q2（0，6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；
∴，
解得x=-1，
∴P3（1，4），Q3（0，2）；
综上所述，；；．
（4）如图4，连接、、，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形中，，而，
所以，，
所以，四边形内角和为，
所以，
，
．
即的定值为．
19．（2023·山东济南·统考二模）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与的面积相等，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连结，并在左侧作正方形．当顶点F恰好落在直线上时，求点M的坐标．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可；
（3）设，分两种情况讨论：当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，通过证明，确定点，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，同理可得：，确定点N的坐标，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标．
【解题过程】
（1）解：设直线的解析式为，
将点，点代入，
解得
∴直线的解析式为，
将代入中，
，
解得，
，
将代入，
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，
，
，
，
的面积且与的面积相等，
∴E点在过D点且与平行的直线上，即，
，
设，
则

解得，（不合题意，舍去）
，
∴；

（3）解：设，
如图，当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，
过点D作交于点H，

，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得，
如图，当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，

同理可得：，
，
，
，
解得：或，
点M在点D左侧，
，
综上所述：M点坐标为或．
20．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为．点P是x轴负半轴上的一点．
（1）分别求出直线和双曲线的表达式；
（2）连接，，，，若，求点P的坐标；
（3）我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）把分别代入两个解析式计算即可；
（2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可；
（3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；
当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得．
【解题过程】
（1）把代入得：，解得，
∴直线解析式为
把代入双曲线得：，解得，
∴双曲线解析式为；
（2）设，直线与x轴交点，则，
联立，解得或
∴，
过作轴于，过作轴于，则，
∴
∵，
∴，
解得
∴
（3）平面内存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形．
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
设，
当时，如图，
则，
∴，
解得：，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
解得：，
∴；
当时，如图，设直线AB交x轴于点C，过点A作轴于E，作轴，过点Q作于F，
则，
由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，平面内存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，Q点的坐标为、、、．专题26.1 反比例函数的综合
【典例1】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．

（1）求反比例函数的解析式和点的坐标．
（2）点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标．
（3）点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）将代入，可得点坐标，将代入，可得的值，再根据点、关于原点对称，得出点的坐标；
（2）设，则，根据，即可得出的方程；
（3）分或，分别根据型全等，表示出点坐标，从而解决问题．
【解题过程】
（1）解：将代入，得，
解得：，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点和点关于原点对称，
∴．
（2）如图，过点作轴于点，交于，
设，则，
∵，
∴，
当时，
解得：或（负值不符合题意，舍去）
当时，
解得：或（负值不符合题意，舍去）
∴或，
∴点的坐标为或．
（3）存在，当时，
当点在轴正半轴时，
过点作轴，过点作于点，
∴，
∵是以为直角边的等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
设，
∵
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
当点在轴负半轴时，如图，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，
∴，，
设，
∵
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
当时，
当点在第一象限时，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，
∴，，
设，
∵
∴，
解得：，
∴；
当点在第三象限时，
过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，
∴，，
设，
∵
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为或或．
1．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为．
（1）求此菱形的边长；
（2）若反比例函数的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．
2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点分别是反函数、一次函数的交点，已知．

（1）求出的值，以及一次函数的表达式；
（2）在线段上取一点，
①若使点是线段的三等分点，求出点的坐标；
②过点作直线平行轴，交反比例函数于点，连接，记的面积为，求最大值．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，B两点，连接．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点M在第一象限内反比例函数图像上，点N在x轴上方且在一次函数图像上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
4．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数经过点，反比例函数经过点B，且交边于点D，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数于点N．在点P运动过程中，直线上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求此反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．
（3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．

（1）求线段的长度；
（2）试判断点是否在函数的图像上，并说明理由；
（3）已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．

（1）如图1，若点坐标为．
①求，的值；
②若点的横坐标为，连接，求的面积．
（2）如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值．
8．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接
（1）求k，b的值.
（2）当的面积为3时，求点P的坐标.
（3）设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
9．（2022秋·山西大同·九年级统考阶段练习）综合与实践
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，把线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，反比例函数的图象经过点，与直线交于两点和．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，若点的横坐标是1，点的纵坐标是．
①直接写出线段和的数量关系和当时，的取值范围；
②连接和，求的面积；
（3）当点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，以点，，和为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
10．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当t为何值时，为等腰直角三角形；
（3）点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标．
11．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，已知点、点C在反比例函数图象上．

（1）______；
（2）若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标；
（3）若点A绕点C顺时针旋转，所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段的长．
12．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．

（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足．
（1）若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；
（2）连接、，求的最小值；
（3）若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数（）图像上一点，作轴于B点，轴于C点，得正方形．
（1）写出A点的坐标______；
（2）如图2，点是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交x轴于点G，过点B作交y轴正半轴于点D，求证：．
（3）在（2）的条件下，连接，将直线沿x轴向右平移，交y轴正半轴于点D，交x轴正半轴于E点（如图3），轴交双曲线于Q点，轴于F点，交于H点，M是的中点．
①连接，，探究与的关系，并说明理由．
②动点R在x轴的上方，且满足，点N是平面内一点，若以Q、R、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的所有点N的坐标．
15．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，将锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正半轴重合，角的另一边交函数的图象（记为曲线l）于点A．在射线的右侧构造矩形，对角线和交于点E．满足轴，，作射线．

（1）若点，点，求k的值；
（2）求证：点D在直线上；
（3）如图2，当时，射线交曲线l于点F，以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点H．求证：轴．
16．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．
（1）m与n的数量关系是( )
A． B． C． D．
（2）如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_____；
（3）若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2023·四川成都·统考一模）如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
（2）M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M的坐标；
（3）如图2，反比例函数的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求m的值．
18．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图1，已知点，，且、满足处于平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．
（1）_________，________；
（2）求点的坐标；
（3）点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
（4）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
19．（2023·山东济南·统考二模）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与的面积相等，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连结，并在左侧作正方形．当顶点F恰好落在直线上时，求点M的坐标．
20．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为．点P是x轴负半轴上的一点．
（1）分别求出直线和双曲线的表达式；
（2）连接，，，，若，求点P的坐标；
（3）我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

展开更多......

收起↑