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河南省洛阳市栾川县2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试卷
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中，比小的数是（　　）
A. B. C. 4 D. 1
2. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
3. 唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（ ）
A B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D. 全体实数
7. 如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
9. 如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是______．
12. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________．
13. 如图是一个并联电路图，电路连接完好，且各元件正常，随机闭合开关中两个，能使灯泡发亮的概率是_______．
14. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，若，，则的长__________．
15. 如图，在中，，，是平面内一点，，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的最大值为_____，最小值为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：．
（2）下面是小彬解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解答过程 自我检查
解：去分母，得，…第一步
去括号，得，…第二步 第一步正确，其依据是： ；
移项，得，…第三步 第二步符合去括号法则，也正确；
合并同类项，得，…第四步 系数化为，得．…第五步 第三步出错了！
①第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： ；
②第三步出错的原因是 ；
③请从第三步开始，写出正确的解答过程．
17. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
平均数 中位数 众数
甲组 8 8
乙组 7.5 7.5
【数据应用】
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：_____，_____．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由．
（3）小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
18. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点，点 B 在 x 轴正半轴上．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请在的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
点P到两边距离相等；．
（3）在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标．
19. “垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾）
（1）分别求A，B两种型号垃圾桶的单价．
（2）根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费．
20. 物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线为水平桌面，线段为支架，虚线为铅锤P运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题．
（1）若点到和距离相等，则称此时点P的位置为“黄金位置”．过点P作的切线交于点D，如图（2），若，证明此时点P处于“黄金位置”．
（2）已知，，在射线上有一点E，且，连接，如图（3），在点P运动的过程中，当与相切时，求点P到的距离．
21. 圭表塔是耸立在河南科技馆新馆最高的建筑，某校数学兴趣小组的同学使用卷尺和自制的高的测角仪测量圭表塔的高度，示意图如图所示，组员甲在水平地面点E 处用测角仪测得圭表塔最高点B 处的仰角为，组员乙从点M 处沿台阶上至第4级，在点D 处测得圭表塔最高点 B 处的仰角为，用卷尺测得每级台阶宽为， 高为，点 M，E 之间的距离为． 求圭表塔的高度（ 点M，C，B，A 在同一竖直平面内，，， 结果精确到．参考数据：，，）．
22. 如图，某农户用喷枪对斜坡上的绿地进行喷灌，经测量，喷水头距地面，斜坡可以用一次函数刻画，喷出水柱的形状是抛物线，已知喷出水柱的水平距离（单位：米）与喷出水柱的高度（单位：米）的变化规律如表：
0 1 2 3 4 5 6 …
1 4 5 4 …
下面是某数学社团同学的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象．
（2）求抛物线的表达式．
（3）若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
23. 新考法 知识探索＋迁移＋拓展
【操作判断】
①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”）
② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F， 如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”）
【探索发现】
根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ；
② ．
【迁移探究】
如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由．
【拓展应用】
如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值．
河南省洛阳市栾川县2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试卷
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】A
二、填空题（每小题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】（答案不唯一）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】 ①. ## ②. ##
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
【16题答案】
【答案】（1）（2）①不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；②移项没有变号；③见解析
【17题答案】
【答案】（1）8；9；
（2）乙，理由见解析；
（3）见解析．
【18题答案】
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【19题答案】
【答案】（1）A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元；
（2）所需的最少经费为6480元．
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）点P到的距离为或．
【21题答案】
【答案】
【22题答案】
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）从处喷出的水柱能越过这棵树的树顶，理由见解析．
【23题答案】
【答案】[操作判断] ①不变；②不变；
[探索发现] ①平分线；②；
[迁移探究]不变，理由见详解；
[拓展应用]的值为7或8

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