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浙江省2025年中考数学押题黑白卷02
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第一卷（选择题 30分）
一、选择题（共30分）
1．（本题3分）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．
2．（本题3分）下列用七巧板拼成的图案轮廓中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）截至2025年2月5日，的全球下载量约为次，数据“”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）某班参加五个兴趣小组的人数分别为4，7，x，6，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（本题3分）如图是一款文雅的中式屏风，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）小海的圆形镜子摔碎了，想配一面与原来直径相同的镜子．他的办法是：将一块含角的直角三角板的顶点A放在圆上，记两边与圆的交点分别为B，C，如图所示，则需测量的弦为（ ）
A． B．
C． D．、、均可
8．（本题3分）如图，在直角坐标系中，线段与是位似图形，O为位似中心，若点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（本题3分）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形．连结，若，，（a为常数），则下列各式为定值的是（ ）
A． B． C． D．
第二卷（非选择题 90分）
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）因式分解：= ．
12．（本题3分）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是 ．
13．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
14．（本题3分）已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为 ．
15．（本题3分）某挂饰由圆盘和挂绳组成（如图），，分别切于点，．若，则的度数为 度．
16．（本题3分）如图，在中，，，是的中点，连结，将绕点逆时针旋转至，连结，交于点，交于点，则 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（本题8分）如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
(1)在图中作格点C，使得．
(2)连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹）
19．（本题8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．
被抽样的学生视力情况频数表
组别 视力段 频数
A 5.1≤x≤5.3 25
B 4.8≤x≤5.0 115
C 4.4≤x≤4.7 m
D 4.0≤x≤4.3 52
（1）求组别C的频数m的值．
（2）求组别A的圆心角度数．
（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？
20．（本题8分）近年来中国的基础建设得到了大幅度提高，无论是在建设的速度还是建设的质量方面都赢得了世界的公认，中国一度被世人戏称为“基建狂魔”．芜湖长江大桥就是中国基础建设的杰作，它是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，在同类型重载桥梁中，它的主跨度居世界第二．如图，是该桥面上的一根立柱和拉索的示意图，小明测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索底端的距离为20米，且已知两拉索顶端的距离为2米，请求出立柱的长（结果精确到米，）．
21．（本题8分）如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形ABCD是矩形．
22．（本题10分）小王与小刘相约从商场出发到景区集合，路线如图1，具体时间与路程信息如图2，小王先到咖啡馆坐了15分钟后与小刘同时到达园林，游玩15分钟后准备前往景区，小王选择休息一会儿再出发，小刘则马上出发，最终小王比小刘早7.5分钟到，两人行走速度不变．
(1)请求出小王与小刘的速度．
(2)请求出60分钟后小刘的路程s关于时间的函数表达式．
(3)求图2中小王与小刘相遇时的值．
23．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知y关于x的二次函数（m为常数）．
(1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
(2)若点，其中．
①若的最大值是1，求m的值；
②若点也在抛物线上，且对于，，都有，求m的取值范围．
24．（本题12分）已知四边形内接于，对角线，交于点E，P为上一点，连结．
(1)如图1，若为的直径，且与均为等腰直角三角形，求证：．
(2)如图2，若与均为等边三角形，
①求证：．
②若，求的最小值．
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参考答案
1．C
【分析】根据负数定义可得答案．
【详解】解：实数2，0，-2，中，为负数的是-2，
故选：C．
【点睛】本题考查正数与负数，解题的关键是熟悉其概念，本题属于基础题型．
2．B
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的性质；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查平均数和中位数，先根据平均数的公式计算出，再把这组数据从小到大排列，根据中位数的定义即可求出．
【详解】解：根据题意得，，
解得：，
∴从小到大排列为：2，4，6，6，7；
∴这组数据的中位数是：6；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可．
【详解】
解：由图可知，主视图为：，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
根据圆周角定理得到，继而得到为等腰直角三角形，那么得到，即可求解．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此确定了，即可确定半径，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了位似变换的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握位似比等于相似比是解题的关键．本题可知，，得到线段与的相似比为，进而可得点的对应点的坐标．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∴线段与的相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即．
故选：C．
9．B
【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，比较三点的横坐标的大小，结合性质和m的符号分类解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点，
且，
故，
故在每一个象限内，y随x的增大而增大，
由，
解得
当时，则，且
故，
故A选项不符合题意；
当时，则，且
故，
故B选项符合题意；
当时，则，且
故，
故C选项不符合题意；
当时，则，且，
故，
故D选项不符合题意；
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.过点N作，交的延长线于点H，由题意易得，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示：
∵正方形，正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
即，
∴是定值；
故选D．
11．
【分析】得出多项式的公因式进而提取得出即可．
【详解】3xy-12xy 2 =3xy（1-4y）．
故答案为3xy（1-4y）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12．
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故答案为：
13．1
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程，根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
故答案为：1．
14．2
【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义求出各数的值，然后相加解题即可．
【详解】解：，，，，
∴，
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查了切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质．连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
，分别切于点，，
，
，
，即的度数为，
故答案为：．
16．
【分析】过点作于点，过点作于点，可证，可得，再证，可得，，设，在中，运用勾股定理可得的长，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形全等和相似是解题的关键．
17．（1）2；（2）1
【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂和负整数指数幂，算术平方根以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算零指数幂和负整数指数幂，算术平方根，再进行加减计算；
（2）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并即可．
【详解】解：（1）原式
；
解：（2）原式
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查无刻度直尺作图，重心的概念；
（1）根据网格得到，即可求出．
（2）根据三角形重心是三角形三条中线的交点，再结合网格即可求出．
【详解】（1）解：如图，C为所求；
（2）解：如图，G为所求；
19．（1）308；（2）18°；（3）7000人，同学们应少玩电子产品，注意用眼保护
【分析】（1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值；
（2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可．
【详解】解：（1）本次抽查的人数为：115÷23%=500，
m=500×61.6%=308，
即m的值是308；
（2）组别A的圆心角度数是：360°×=18°，
即组别A的圆心角度数是18°；
（3）25000×=7000（人），
答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人，建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．
【点睛】本题主要考查了统计图的应用，准确识图，从中找到有用的信息是解题的关键．
20．立柱的长约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，则，解得到，解得到，进而建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴立柱的长约为．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线的性质得到两组角对应相等，由中点的性质以及线段的和差得到一组对边相等，利用判定．
（2）由对角线互补判定四边形是平行四边形，进而由对角线相等的平行四边形是矩形判定即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵O为的中点，即，，
∴，即，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，即，
∴四边形为矩形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握这些判定定理与性质定理．
22．(1)小王：米／分，小刘：米／分
(2)
(3)两人相遇时的值为70分钟
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据速度路程时间求出小王的速度，求出小王到达园林的时间，再根据速度路程时间求出小刘的速度即可；
（2）根据路程速度时间计算并求出的取值范围即可；
（3）求出小王到达景区的时间，从而求出小王从园林出发时的时间，进而根据路程速度时间写出小王从园林到景区的过程中路程关于时间的函数表达式，根据二人相遇时的路程相等列关于的一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：小王的速度为（米／分），
小王到达园林的时间为（分），
小刘的速度为（米／分）．
（2）解：小刘从园林出发的时间（分），
∴，
当时，解得，
∴分钟后小刘的路程关于时间的函数表达式为．
（3）解：小王到达景区的时间为（分），
则小王从园林出发时的时间为（分），
则小王从园林到景区的过程中路程关于时间的函数表达式为，
根据题意，得，
解得，
．
23．(1)，顶点坐标为．
(2)①；②或．
【分析】本题主要考查二次函数的性质，包括二次函数的顶点式、对称轴、单调性，以及利用这些性质求函数最值和根据函数值大小关系求解参数范围．解题关键在于熟练掌握二次函数顶点式的运用，准确分析对称轴与给定区间的位置关系，根据函数单调性判断最值情况，对于根据函数值大小列不等式求解参数范围的问题，要结合变量的取值范围进行分析．
（1）先将代入二次函数表达式，再通过配方法将二次函数化为顶点式（为顶点坐标），从而得到顶点坐标．
（2）①先将二次函数化为顶点式，确定其对称轴，再根据，结合二次函数的性质（时，开口向上，对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增 ）来确定取最大值的情况，进而求出的值．
②先分别求出和的表达式，再根据列出不等式，结合的取值范围求解的取值范围．
【详解】（1）解：①当时，函数变为
∴．
∴．
∴该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①∵，
∴其对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴函数图象开口向上．
∵，在对称轴处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值．
比较端点与的距离为，端点与的距离为，
∴当时，取得最大值．
把代入函数中，可得，即．
∵的最大值是，
∴，
解得．
②∵点在抛物线上，
∴．
∵点在抛物线上，且，
∴．
∵对于，，都有，
∴．的取值范围是，
∴在取值范围内的最大值在或处取得．
当时，；
当时，，
∴最大值为．
∴，移项化为．
对于一元二次方程，
，
∴，．
∵，
∴或．
24．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质；
（1）根据等腰直角三角形的性质，通过两边对应成比例及其夹角相等判定即可；
（2）①根据等边三角形的性质，再利用边角边证出，即可得出结论；
②设，则，证出，得到，再证出，得到，代入并整理得到，即可求出结果．
【详解】（1）证明：和为等腰直角三角形且，
，
即
（2）解：①和为等边三角形
，，
即
②设，则由①可知
，则
，
，
即
，
当时，有最小值
的最小值为．

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