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2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题九 不等式与不等式组
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 不等式的性质
【例1】．已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
方法指导
不等式的基本性质是不等式变形的依据，熟练应用不等式性质使不等式变形求解集的关键，特别是未知数系数是负数时，最容易出错。
变式训练1
1．下列不等式变形中，正确的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
2．已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（）
A． B．
C． D．
4．已知数轴上自左至右的三点，记点分别表示实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
重难点2 一元一次不等式（组）的解法
【例2】．按题目要求解不等式或不等式组
(1)解不等式：，并把解集表示在数轴上．
(2)解不等式组．
方法指导
找不等式解集的公共部分时，可借助数轴口诀，其中确定不等式组解集的口诀是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。
在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号实心点，不含等号画空心圆圈。
变式训练2
1．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
2．利用数轴确定不等式组的解集．
3．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知解方程组得到的都小于1，求的取值范围．
5．当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？
重难点3 一元一次不等式（组）的实际应用
【例3】．妈妈打算重新装修小丽的房间．现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装修公司提供的信息如下表所示：
装修公司 所需装修工人数量/人 每名装修工人费用/（元/天） 设计费/元
甲公司 10 200 3000
乙公司 15 150 2000
根据装修天数讨论选择哪家装修公司更合算．
方法指导
列不等式解集实际问题时与列一元一次方程解决问题的步骤相同，在列不等式解决实际问题时，设未知数不能出现“至多”，“最少”，“最低”等表示不相等关系的词语，但在问题答题时要出现这些词语。
变式训练3
1．“黎侯虎”是一种传统手工艺品，起源于山西省黎城县，因黎城古称黎侯国而得名某网店销售，两款黎侯虎工艺品摆件，已知款黎侯虎工艺品摆件的单价比款黎侯虎工艺品摆件单价的倍少元，购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用比购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用多元．
(1)求，两款黎侯虎工艺品摆件的单价．
(2)某校历史社团组织全校开展“山西民俗我知道”的知识竞赛活动该校历史社团打算购买这两款黎侯虎工艺品摆件共个作为知识竞赛的奖品，且该历史社团的预算不超过元求该历史社团最多能购买款黎侯虎工艺品摆件的数量．
2．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下：
每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格
及以下 a元/ 1.40元/
超过不超过的部分 b元/ 1.40元/
超过的部分 6.00元/ 1.40元/
[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费]
已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元．
(1)求a，b的值．
(2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？
3．近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度．
请你根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式．
素材二 精包装 简包装
每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元
问题解决
任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？
任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
4．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表：
老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 4 5 900
初一（2）班 8 3 820
(1)求《老舍文集》和《四大名著》每套各是多少元；
(2)学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过四大名著的3倍，学校有几种购买方案？请你设计出来．
5．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售额
A型号 B型号
第一周 6台 8台 3040元
第二周 12台 7台 4280元
(1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价；
(2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？
重难点4 一元一次不等式（组）含参问题
【例4】．不等式组的解集是，则m的取值范围是 ．
方法指导
解决不等式（组）含参问题时首先解不等式用含参的式子表示出不等式的解集，再根据题目条件确定参数。
变式训练4
1．若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ．
2．已知关于x的不等式组
（1）若不等式组有解，则m的取值范围是 ．
（2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为 ．
3．关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ．
4．已知不等式组的解集为，求，的值．
5．如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围．
重难点5 数学思想方法
化归思想
【例5-1】．已知关于的不等式组其中字母是常数．
（1）若该不等式组有解，则的取值范围是 ；
（2）若该不等式组所有整数解的和是7，则的取值范围是 ．
方法指导
解决这类问题的思路一般是逆用不等式（组）的解集，借助不等式（组）的解集特点，构造出不等式（组），再求出字母的取值范围。
变式训练5-1
1．已知不等式的解集是，是的取值范围是 ．
2．已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围．
3．已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简．
类比思想
【例5-2】．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得①，②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或．
仿照材料，解不等式．
方法指导
根据同号相乘除得正，异号相乘除得负，转化为不等式组，类比不等式组的解法得出结论。
变式训练5-2
1．阅读理解： 对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1．
观察数轴，得到不等式的解集为：或
(1)根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______；
(2)不等式的解集为______；
(3)已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值．
2．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 ①如果，那么或者；②如果，那么或者；③如果，那么或者．
素材2 范例：解不等式．由不等式可得：不等式组（1）或不等式组（2），解不等式组（1）得，解不等式组（2）得，不等式的解集为或．
任务一 解方程：
任务二 求满足不等式的所有整数解；
任务三 关于的不等式组有且只有2个整数解，并且它们都是任务一中方程的解，求的取值范围．
3．先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题：
例：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，故不等式的解集为或．
请仿照以上解法，求不等式的解集．
2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题九 不等式与不等式组（解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 不等式的性质
【例1】．已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可．
【详解】解：A.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意；
B.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意；
C.由，，则可得到，结论正确，不符合题意；
D.由可得，则，当时，，即，原结论错误，符合题意；
故选：D．
方法指导
不等式的基本性质是不等式变形的依据，熟练应用不等式性质使不等式变形求解集的关键，特别是未知数系数是负数时，最容易出错。
变式训练1
1．下列不等式变形中，正确的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；
根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断．
【详解】A．由，不等式两边都加上，不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意；
B． 由，不等式两边都乘以，不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；
C． 由，不等式两边都乘以2，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；
D．不等式两边都乘以，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，选项A错误，不符合题意；
同理：，即，
∴，选项B错误，不符合题意；
∴，，
∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意；
故选：D．
3．P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，由题意得：，通过不等式的性质求解即可，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
由③得：④，
把④代入②中得：
，
由③得：，
故选：A．
4．已知数轴上自左至右的三点，记点分别表示实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】本题考查了实数与数轴，根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
【详解】解：由题意可知，，
∵，
∴点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小，
∴，，，
∴选项B正确；
∴，
∴，即，故选项C正确，
无法确定的正负情况，选项A错误，
无法确定确定，选项D错误，
故选：BC．
5．下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等一一判断即可．
【详解】解：．若，则，原说法错误，故该选项不符合题意；
．若，则，原说法正确，故该选项符合题意；
．若，则，原说法正确，故该选项不符合题意；
．若，则，原说法正确，故该选项不符合题意；
故选：．
重难点2 一元一次不等式（组）的解法
【例2】．按题目要求解不等式或不等式组
(1)解不等式：，并把解集表示在数轴上．
(2)解不等式组．
【答案】(1)，数轴表示见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
方法指导
找不等式解集的公共部分时，可借助数轴口诀，其中确定不等式组解集的口诀是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。
在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号实心点，不含等号画空心圆圈。
变式训练2
1．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
2．利用数轴确定不等式组的解集．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出两个不等式的解集，最后根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
数轴表示如下：
∴原不等式组的解集为．
3．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据题意可知第一次运算的结果要小于等于13，则，第二次运算的结果要大于13，则，据此建立不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故选：A．
4．已知解方程组得到的都小于1，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，先解二元一次方程组，再根据都小于1，列出不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：
①＋②得：，解得，
把代入①得：，解得，
所以方程组的解为，
因为，所以，
解得，
所以的取值范围是
5．当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？
【答案】1、2、3
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和求不等式的正整数解，根据题意可得不等式，求出不等式的解集，进而求出不等式的正整数解即可得到答案．
【详解】解：∵代数式的值不小于代数式的值，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x可以取的正整数有1，2，3．
重难点3 一元一次不等式（组）的实际应用
【例3】．妈妈打算重新装修小丽的房间．现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装修公司提供的信息如下表所示：
装修公司 所需装修工人数量/人 每名装修工人费用/（元/天） 设计费/元
甲公司 10 200 3000
乙公司 15 150 2000
根据装修天数讨论选择哪家装修公司更合算．
【答案】当时，选择乙公司更合算；当时，选择两家公司费用一样多；当时，选择甲公司更合算
【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，先分别表示甲、乙公司的装修总费用，再进行分类讨论，列式计算，即可作答．
【详解】解：设需要装修天．根据题意，
选择甲公司的装修总费用：（元），
选择乙公司的装修总费用：（元）．
当时，则，
解得，
∴当时，选择乙公司更合算．
当时，则
解得，
∴当时，选择两家公司费用一样多．
当时，
解得，
∴当时，选择甲公司更合算．
综上：当时，选择乙公司更合算；当时，选择两家公司费用一样多；当时，选择甲公司更合算．
方法指导
列不等式解集实际问题时与列一元一次方程解决问题的步骤相同，在列不等式解决实际问题时，设未知数不能出现“至多”，“最少”，“最低”等表示不相等关系的词语，但在问题答题时要出现这些词语。
变式训练3
1．“黎侯虎”是一种传统手工艺品，起源于山西省黎城县，因黎城古称黎侯国而得名某网店销售，两款黎侯虎工艺品摆件，已知款黎侯虎工艺品摆件的单价比款黎侯虎工艺品摆件单价的倍少元，购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用比购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用多元．
(1)求，两款黎侯虎工艺品摆件的单价．
(2)某校历史社团组织全校开展“山西民俗我知道”的知识竞赛活动该校历史社团打算购买这两款黎侯虎工艺品摆件共个作为知识竞赛的奖品，且该历史社团的预算不超过元求该历史社团最多能购买款黎侯虎工艺品摆件的数量．
【答案】(1)款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元
(2)该历史社团最多能购买款黎侯虎工艺品摆件个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，关键是根据题意找到关系式．
（1）设款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，根据款黎侯虎工艺品摆件的单价比款黎侯虎工艺品摆件单价的倍少元，购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用比购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用多元，列出方程组进行求解即可；
（2）设该历史社团购买款黎侯虎工艺品摆件个，然后根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元．
根据题意得，，
解得，
答：款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元；
（2）设该历史社团购买款黎侯虎工艺品摆件个．
根据题意，得．
解得．
为正整数，
的最大值为．
答：该历史社团最多能购买款黎侯虎工艺品摆件个．
2．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下：
每户每月用水量 自来水销售价格 污水处理价格
及以下 a元/ 1.40元/
超过不超过的部分 b元/ 1.40元/
超过的部分 6.00元/ 1.40元/
[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费自来水费污水处理费]
已知小王家2025年4月份用水，交水费64元；5月份用水，交水费89元．
(1)求a，b的值．
(2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的．若小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解．
（1）根据表格收费标准，及小王家4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可；
（2）先判断用水量超过，继而再由水费不超过225，可得出不等式，解出即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
整理得：，
解得：；
（2）解：当用水量为时，水费为：元，元，
∵，
∴小王家6月份的用水量超过，
设小王家6月份用水量为，
由题意得：，
解得：，
∴小王家6月份最多用水．
3．近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度．
请你根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式．
素材二 精包装 简包装
每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元
问题解决
任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？
任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用；
任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可；
任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可．
【详解】任务一：
解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒．
，
解这个方程组，得
答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．
任务二：
解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．
依题意得：
，
由①得．
将代入②．
得，
解得：；
∵，
∴，
∴，
∵m，n，为正整数，
∴或或或；
∴，或，或，或，．
分装方案1：精包装14个，简包装70个；
分装方案2：精包装10个，简包装75个；
分装方案3：精包装6个，简包装80个；
分装方案4：精包装2个，简包装85个；
4．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．初一年级两个班订购图书情况如表：
老舍文集（套） 四大名著（套） 总费用（元）
初一（1）班 4 5 900
初一（2）班 8 3 820
(1)求《老舍文集》和《四大名著》每套各是多少元；
(2)学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过四大名著的3倍，学校有几种购买方案？请你设计出来．
【答案】(1)《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元
(2)4种方案，具体方案见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．
（1）根据题意和表格中的数据可以列出相应的方程组，本题得以解决；
（2）根据题意和（1）中的结果可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设《老舍文集》每套元，《四大名著》每套元，
根据题意，得： ，
解得，
答：《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元；
（2）解：设学校决定购买《老舍文集》套，则购买《四大名著》套．
根据题意，得 ，
解得，，
∵取整数，
∴，13，14，15，
∴该学校共有四种购买方案：
方案1：购买《老舍文集》12套，《四大名著》为8套；
方案2：购买《老舍文集》13套，《四大名著》为7套；
方案3：购买《老舍文集》14套，《四大名著》为6套；
方案4：购买《老舍文集》15套，《四大名著》为5套．
5．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售额
A型号 B型号
第一周 6台 8台 3040元
第二周 12台 7台 4280元
(1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价；
(2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？
【答案】(1)A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元
(2)共有4种不同的进货方案：①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台；②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台；③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台；④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
（1）设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元，根据6台A型号8台B型号的电扇收入3040元，12台A型号7台B型号的电扇收入4280元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台，根据“A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍，200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元”，列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案．
【详解】（1）解：设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，解得：，
答：A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元．
（2）解：①设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台．
依题意得：，
解得：，
∵a是整数，
∴，131，132，133，
∴，69，68，67，
∴共有4种不同的进货方案：
①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台；
②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台；
③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台；
④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台．
重难点4 一元一次不等式（组）含参问题
【例4】．不等式组的解集是，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
先解得，利用同大取大得到，然后解关于m的不等式即可．
【详解】解：，
解①，得，
∴，
∵不等式组的解集是，
∴，
∴．
故答案为：．
方法指导
解决不等式（组）含参问题时首先解不等式用含参的式子表示出不等式的解集，再根据题目条件确定参数。
变式训练4
1．若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵关于x的不等式组有2个整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
2．已知关于x的不等式组
（1）若不等式组有解，则m的取值范围是 ．
（2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键．
（1）根据不等式组有解，可得不等式组的解集为，即可求解；
（2）根据该不等式组的所有整数解的和为，可得不等式组的所有整数解为或，即可求解．
【详解】解：（1），
解不等式①得：，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）由（1）得：不等式组的解集为，
∵该不等式组的所有整数解的和为，
∴不等式组的所有整数解为或，
当不等式组的所有整数解为时，，
∴m的取值范围为；
当不等式组的所有整数解为时，，
∴m的取值范围为；
综上所述，m的取值范围为或．
故答案为：或
3．关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数的取值范围，先解不等式组，根据不等式组有解，和确定不等式组的解集的方法，进行求解即可，熟练掌握不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
故答案为：．
4．已知不等式组的解集为，求，的值．
【答案】，
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先解不等式组求出，结合不等式组的解集为，即可求解．
【详解】解：
解不等式①：
，
解不等式②：
，
不等式组的解集为，
不等式组的解集为，
，，
解得：，．
5．如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围．
【答案】
【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键．
先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组无解，
∴，解得：．
重难点5 数学思想方法
化归思想
【例5-1】．已知关于的不等式组其中字母是常数．
（1）若该不等式组有解，则的取值范围是 ；
（2）若该不等式组所有整数解的和是7，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，
（1）先求出不等式组的解集，根据解的情况，求出a的取值范围即可；
（2）根据题意确定不等式组的整数解为3，4或，然后得到的不等式组解题即可．
【详解】解：（1）解不等式组得
若该不等式组有解，则，解得．
（2）该不等式组的所有整数解的和为7，由（1）知，
不等式组的整数解为3，4或，
或．
或．
方法指导
解决这类问题的思路一般是逆用不等式（组）的解集，借助不等式（组）的解集特点，构造出不等式（组），再求出字母的取值范围。
变式训练5-1
1．已知不等式的解集是，是的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可．
【详解】解：解不等式，
不等式的两边同时减去，得．
∵它的解集是，
，
．
故答案为：．
2．已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查方程组和不等式组的综合，先求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出关于的不等式组，进而求出a的取值范围即可．
【详解】解：由，得：，
∵方程组的解是一对正数，
∴，
解得：．
3．已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质：
（1）用解二元一次方程组的知识把当做已知，表示出、的值，根据x是负数，y是正数建立关于a的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围即可；
（2）根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可．
【详解】（1）解：，
得：，解得：，
将代入得：，解得：，
∵x是负数，y是正数．
∴，
解不等式，得，
解不等式，得，
解得：，
∴a的取值范围是：；
（2）解：∵，
∴，，
∴原式
，
．
类比思想
【例5-2】．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得①，②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或．
仿照材料，解不等式．
【答案】
【分析】本题考查的是有理数乘法法则，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，
①，②，
解不等式组①，得，该不等式组无解；
解不等式组②，得得，即；
的解集为．
方法指导
根据同号相乘除得正，异号相乘除得负，转化为不等式组，类比不等式组的解法得出结论。
变式训练5-2
1．阅读理解： 对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1．
观察数轴，得到不等式的解集为：或
(1)根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______；
(2)不等式的解集为______；
(3)已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值．
【答案】(1)小于；
(2)或
(3)
【分析】（1）根据甲同学提供的方法，解答即可；
（2）将不等式转化为或，解答即可；
（3）先解得方程组的解，后代入不等式，解不等式即可．
本题考查了绝对值的化简，解不等式，解方程组，熟练掌握解题步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离小于1，
不等式的解集为：．
故答案为：小于，．
（2）解：表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离大于1，
得到不等式的解集为：或，即或．
故答案为：或．
（3）解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，即，表示的意义：数轴上，数表示的点与数表示的点的距离小于4，
不等式的解集为：，
∵是整数，
∴的最小值为．
2．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 ①如果，那么或者；②如果，那么或者；③如果，那么或者．
素材2 范例：解不等式．由不等式可得：不等式组（1）或不等式组（2），解不等式组（1）得，解不等式组（2）得，不等式的解集为或．
任务一 解方程：
任务二 求满足不等式的所有整数解；
任务三 关于的不等式组有且只有2个整数解，并且它们都是任务一中方程的解，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）或；（3）
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解不等式组，熟练掌握解不等式是解题关键．
任务一：仿照题意的素材1，把方程转化为或，计算即可求解；
任务二：仿照题意的素材2，把不等式转化为关于的不等式组，解不等式组，即可求解；
任务三：先求出原不等式组的解集，再由和都是原不等式组的解，可得关于的不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】解：任务一：，
或，解得：或；
任务二：
可得不等式组（1）或不等式组（2），
解不等式组（1）得：，不等式组（2）无解，
满足不等式的所有整数解为或；
任务三：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
有且只有2个整数解，且是或，
，
解得：．
3．先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题：
例：解不等式．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，故不等式的解集为或．
请仿照以上解法，求不等式的解集．
【答案】
【分析】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于利用有理数的除法法则．根据有理数的除法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，
得①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得不等式组②无解，
故不等式的解集为．
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