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2025年山东省高考数学押题卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B A，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
2．已知复数z满足|z﹣3+4i|＝1，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，且BB1⊥DD1，则该棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．设B，F2分别是椭圆的右顶点和上焦点，点P在C上，且，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数f（x）的部分图像如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）
A．f（x）＝sin（tanx） B．f（x）＝tan（sinx）
C．f（x）＝cos（tanx） D．f（x）＝tan（cosx）
7．已知，3b＝5，5c＝8，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．已知α，β是函数在上的两个零点，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知向量，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为6
D．若，则
（多选）10．将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（　　）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
（多选）11．已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为x1，x2，x3，则（　　）
A．实数a的取值范围是
B．x1+x2+x3＝0
C．函数g（x）＝f（x）+kf（﹣x）可能有四个零点
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，b＝6，a2+c2＝2ac，则△ABC的面积为 　 　 ．
13．设椭圆的左右焦点为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|＝　 　 ．
14．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列．
（1）求证：数列{an}为等差数列；
（2）若数列{bn}满足b1＝6，且，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合，求M（用列举法表示）．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM＝2MP，AD＝AP，∠PAD＝120°．
（1）求证：BD⊥平面ACM；
（2）若∠ADC＝60°，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值．
17．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α（0＜α＜1），1﹣α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β（0＜β＜1），1﹣β．假设每次信号的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f（α），求f（α）的最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1，x2，x3，x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（x1，x2，x3，x4中任意相邻的数字均不相同时，令X＝1），若，求X的分布列和数学期望．
18．已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex+1﹣2xlnx﹣x2（a∈R）．
（1）当a＝0时，求函数f（x）在区间[e﹣2，1]上的最小值；
（2）讨论函数f（x）的极值点个数；
（3）当函数f（x）无极值点时，求证：．
19．已知动点P与定点A（m，0）的距离和P到定直线的距离的比为常数，其中m＞0，n＞0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点B（﹣m，0），若曲线C．上两动点M，N均在x轴上方，AM∥BN，且AN与BM相交于点Q．
（i）当，n＝4时，求证：的值及△ABQ的周长均为定值；
（ii）当m＞n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S＝λr恒成立？若存在，求λ（用m，n表示）；若不存在，请说明理由．
2025年山东省高考数学押题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C B A D C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD AC BCD
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B A，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
【解答】解：因为合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}且B A，
所以a+2＝3或a+2＝a2，
解得a＝1或a＝﹣1或a＝2，
当a＝±1时a2＝1，集合A不满足元素的互异性，故a≠±1，
当a＝2时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}符合题意．
故选：C．
2．已知复数z满足|z﹣3+4i|＝1，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由题意，复数z的几何意义是复平面内到（3，﹣4）的距离为1的点的集合，即以（3，﹣4）为圆心，以1为半径的圆上点，均位于第四象限．
故选：D．
3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a3a5＝2a2a4，即q2＝2，
故1+q2＝3．
故选：C．
4．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，且BB1⊥DD1，则该棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱交于点P，
设上下底面正方形的中心分别为E，F，
∵BB1⊥DD1，∴△BPD为等腰直角三角形，
又上、下底面正方形的边长分别为1和2，
∴ED1，FD＝PF，且E为PF的中点，
∴EFFD，
∴该棱台的体积．
故选：B．
5．设B，F2分别是椭圆的右顶点和上焦点，点P在C上，且，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得B（b，0），F2（0，c），设P（x，y），
∵，∴（﹣b，c）＝2（x，y﹣c），
∴，，∴P（，），
又点P在椭圆上，
∴，∴，
∴椭圆C的离心率为．
故选：A．
6．已知函数f（x）的部分图像如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）
A．f（x）＝sin（tanx） B．f（x）＝tan（sinx）
C．f（x）＝cos（tanx） D．f（x）＝tan（cosx）
【解答】解：x＝0时，f（0）≠0，
而f（0）＝sin（tan0）＝0，所以A不正确；
f（0）＝tan（sin0）＝0，所以B不正确；
f（0）＝cos（tan0）＝1，f（﹣x）＝cos（tan（﹣x））＝cos（tanx）＝f（x），函数是偶函数，定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，所以C不正确；
f（0）＝tan（cos0）＝tan1，而且f（﹣x）＝tan（cos（﹣x））＝tan（cosx）＝f（x），函数是偶函数，定义域为R，所以D正确．
7．已知，3b＝5，5c＝8，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：由题意得b＝log35，c＝log58，
因为alog3log3log35＝b，即a＞b，
alog5log5log58，即a＞c，
因为1，
所以b＞c，
故a＞b＞c．
故选：C．
8．已知α，β是函数在上的两个零点，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：法一：令f（x）＝0，得3sin（2x）＝2 sin（2x），①
∵x∈在，
∴2x∈（，），②
∵α，β是函数在上的两个零点，不妨令α＜β，③
由①②③得2αarcsin，
∴2α＝arcsin，④
由②③得：2α2β2＝π，
∴α+β，⑤
∴α﹣β＝α﹣（α）＝2αarcsin，
∴cos（α﹣β）＝cos（arcsin）＝sinarcsin．
法二：∵x∈在，
∴2x∈（，），
∵α，β是函数在上的两个零点，
∴3sin（2α）＝2，①
3sin（2β）＝2，②
且2α2β2＝π，
∴α+β，
∴α﹣β＝α﹣（α）＝2α2α，
∴cos（α﹣β）＝cos[（2α）]＝3sin（2α）．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知向量，，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为6
D．若，则
【解答】解：对于A，因为，所以4cosθ+3sinθ＝0，即tanθ，故A正确；
对于B，因为，所以，又因为sin2θ+cos2θ＝1，所以，所以，故B错误；
对于C，，（其中），
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，1﹣2+25＝24，所以，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（　　）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
【解答】解：对于A，S△ABD，∴表面积为6，故A正确；
对于B，如图，设点D在平面ABC内的投影为O，M为BC中点，
则由对称性可知O为△ABC的重心，∴AOAM，
∵AD＝1，∴正三棱锥D﹣ABC的高为DO，
∴该几何体的体积为V＝2VD﹣ABC＝2，故B错误；
对于C，由B知DO⊥面ABC，由对称性知D，O，E三点共线，
∴DE⊥面ABC，故C正确；
对于D，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
其中Ox轴平行于BC，
∵AO，OM，
∴B（），C（，，0），E（0，0，），
（﹣1，0，0），（，，），
设平面BCE的法向量为（x，y，z），
则，取z＝1，得（0，﹣2，1），
A（0，，0），D（0，0，），（0，，），
∵0，∴直线AD与平面BCE不平行，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为x1，x2，x3，则（　　）
A．实数a的取值范围是
B．x1+x2+x3＝0
C．函数g（x）＝f（x）+kf（﹣x）可能有四个零点
D．
【解答】解：对于A，，
设，
则，所以，
从而，故A错误；
对于，设，
则它的定义域为（﹣1，1），它关于原点对称，
且，
所以h（x）是奇函数，
由题意h（x）＝0有三个根x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝0，故B正确；
对于C，由f（x）+kf（﹣x）＝0，所以a（ex+1）lnex+1+k[（ex+1）lnex+1]＝0，
所以，
所以，
即已经有3个实根x1，x2，x3，
当k＞0时，令，则x＝lnk，只需保证lnk≠x1，x2，x3可使得方程有4个实根，故C正确；
对于D，由B可知，x1＝﹣x3，而，
又，
，
所以
，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，b＝6，a2+c2＝2ac，则△ABC的面积为 　3　 ．
【解答】解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，
即，
所以，
所以3．
故答案为：3．
13．设椭圆的左右焦点为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|＝　　 ．
【解答】解：由题意，F1（﹣2，0），F2（2，0），|AF1|＝|F1F2|＝4，
又因为A在椭圆上，所以|AF1|+|AF2|＝2a＝6，所以|AF2|＝2，
设M为AF2中点，则|F2M|＝1，由勾股定理知，|F1M|，
设|BF2|＝x，则|BF1|＝2a﹣x＝6﹣x，|BM|＝|BF2|+|F2M|＝x+1，
在Rt△BF1M中，，即，
解得，所以．
故答案为：．
14．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 　　 ．
【解答】解：设从i出发，最终从1号口出的概率为Pi，
则，
解得P1．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列．
（1）求证：数列{an}为等差数列；
（2）若数列{bn}满足b1＝6，且，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合，求M（用列举法表示）．
【解答】解：（1）证明：由为等差数列，可设kn+b，即Sn＝kn2+bn，
当n＝1时，a1＝S1＝k+b，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝kn2+bn﹣k（n﹣1）2﹣b（n﹣1）＝2kn﹣k+b，
上式对n＝1也成立，则an＝2kn﹣k+b，n∈N*，所以数列{an}为等差数列；
（2）由a2＝4，S4＝20，可得3k+b＝4，16k+4b＝20，解得k＝b＝1，即an＝2n，
由b1＝6，且，
则bn＝b1 ...
＝6 ... 12（），
可得Tn＝12（1...）＝12，
当n+1＝2，3，4，6，12，即n＝1，2，3，5，11时，Tn＝6，8，9，10，11，
所以M＝{6，8，9，10，11}．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM＝2MP，AD＝AP，∠PAD＝120°．
（1）求证：BD⊥平面ACM；
（2）若∠ADC＝60°，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：不妨设AD＝AP＝3，因为∠PAD＝120°，DM＝2MP，
所以，，，
在△APM中，由余弦定理得：，
在△ADM中，AD2+AM2＝DM2，所以MA⊥AD，
因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，MA 平面PAD，
所以MA⊥平面ABCD．
因为BD 平面ABCD，所以MA⊥BD，
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为AC∩MA＝A，且AC 平面ACM，MA 平面ACM，
所以BD⊥平面ACM．
（2）在平面ABCD内，过点B作AD的垂线，垂足为N，
因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，BN 平面ABCD，
所以BN⊥平面ADP，
又因为四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，所以∠BDA＝30°，
所以△ACD，△ABC均为等边三角形，
以点A为坐标原点，AD，AM所在直线及过点A平行于NB的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图），
则A（0，0，0），，D（3，0，0），，
所以，，
由（1）BD⊥平面ACM，所以为平面ACM的一个法向量，
设平面ABP的法向量为（x，y，z），
则，
令，可得，
所以，，
所以平面ACM与平面ABP的夹角的余弦值为．
17．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α（0＜α＜1），1﹣α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β（0＜β＜1），1﹣β．假设每次信号的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f（α），求f（α）的最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1，x2，x3，x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（x1，x2，x3，x4中任意相邻的数字均不相同时，令X＝1），若，求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题可知，
因为0＜α＜1，所以当时，f（α）的最小值为；
（2）由题设知，X的可能取值为1，2，3，4，
①当X＝1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010，
所以，
②当X＝2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011，
所以，
③当X＝3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000，
所以，
④当X＝4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111，
所以，
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
期望．
18．已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex+1﹣2xlnx﹣x2（a∈R）．
（1）当a＝0时，求函数f（x）在区间[e﹣2，1]上的最小值；
（2）讨论函数f（x）的极值点个数；
（3）当函数f（x）无极值点时，求证：．
【解答】解：（1）∵当a＝0时，f（x）＝﹣2xlnx﹣x2，f'（x）＝﹣2﹣2lnx﹣2x是减函数．
f'（e﹣2）＝2﹣2e﹣2＞0，f'（1）＝﹣4＜0．
∴在[e﹣2，1]上存在唯一x0，使得f'（x0）＝0，
则当e﹣2＜x＜x0时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（e﹣2，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减．
∴f（x）在[e﹣2，1]上最小值为min{f（e﹣2），f（1）}＝min{4e﹣2﹣e﹣4，﹣1}＝﹣1．
（2）f'（x）＝axex+1﹣2x﹣2lnx﹣2．＝aex+lnx+1﹣2（x+lnx+1）＝0 a，
设t＝x+lnx+1，，则0 t＜1，
∴h（t）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴．
当x→0时，h（t）→﹣∞；当x→+∞时，h（t）→0．
∴当时，y＝a与y＝h（t）相切或无交点，此时f（x）无极值点；
当时，y＝a与y＝h（t）有两个交点，此时f（x）有两个极值点；
当a≤0时，y＝a与y＝h（t）有一个交点，此时f（x）有一个极值点．
（3）证明：由上可知，，则可得，
设，则，
设F（x）＝xcosx﹣sinx，则当时，F'（x）＝﹣xsinx＜0．
∴F（x）在上单调递减，则此时F（x）＜F（0）＝0，即g′（x）＜0．
∴g（x）在上单调递减，则，
∴，即．
19．已知动点P与定点A（m，0）的距离和P到定直线的距离的比为常数，其中m＞0，n＞0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点B（﹣m，0），若曲线C．上两动点M，N均在x轴上方，AM∥BN，且AN与BM相交于点Q．
（i）当，n＝4时，求证：的值及△ABQ的周长均为定值；
（ii）当m＞n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S＝λr恒成立？若存在，求λ（用m，n表示）；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可知，
即，
经化简，得C的方程为，
当m＜n时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞n时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线．
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2），M′（x3，y3），其中y1＞0，y2＞0且x3＝﹣x2，y3＝﹣y2，
（i）证明：由（1）可知C的方程为，
因为AM∥BN，所以，
因此，M，A，M′三点共线，且，
设直线MM′的方程为，联立C的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
（定值），
由椭圆定义|BQ|+|QM|+|MA|＝8，得|QM|＝8﹣|BQ|﹣|AM|，
∵AM∥BN，∴，
解得，
同理可得，
所以
．
因为，所以△ABQ的周长为（定值）．
（ii）当m＞n时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线，
根据（i）的证明，同理可得M，A，M′三点共线，且|BN|＝|AM′|，
设直线MM′的方程为x＝sy+m，联立C的方程，
得[（m2﹣n2）s2﹣n2]y2+2sm（m2﹣n2）y+（m2﹣n2）2＝0，
∴（*），
因为，
所以
，
将（*）代入上式，化简得，
由双曲线的定义|BQ|+|QM|﹣|MA|＝2n，得|QM|＝2n+|AM|﹣|BQ|，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当S＝λr时，（常数）．
因此，存在常数λ使得S＝λr恒成立，且．
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