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2025年广东省高考数学押题卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若角α的终边过点（4，3），则（　　）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，若，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i
3．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，且对任意x1，x2，均有f（x1x2）＝f（x1）f（x2）成立，则下列函数中符合条件的是（　　）
A．y＝ln|x| B．y＝x3 C．y＝2|x| D．y＝|x|
4．已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则λ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
5．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，即a1＝0，a2＝2，a3＝4，…，若an＝2024，则n＝（　　）
A．34 B．33 C．32 D．30
6．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知数列{an}满足，a1＝a2＝1，（k∈N*），若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝（　　）
A．624 B．625 C．626 D．650
8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，在上的投影向量相等
D．
（多选）10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（　　）
A． B．
C． D．
（多选）11．已知直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），曲线y＝lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（x0，y0），则（　　）
A． B．x1x2＝ex0
C．y1+y2＝1+y0 D．y1y2＜1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列{an}的前n项和，当取最小值时，n＝　 　 ．
13．已知曲线C是平面内到定点F（0，﹣2）与到定直线l：y＝2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在C上，对给定的点T（﹣2，t），用m（t）表示|PF|+|PT|的最小值，则m（t）的最小值为 　 　 ．
14．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 　 　 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈　 　 ．（参考公式：决定系数）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．各项均不为0的数列{an}对任意正整数n满足：．
（1）若{an}为等差数列，求a1；
（2）若，求{an}的前n项和Sn．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA＝PB，DA＝DB，AB＝2，PD＝1，点E，F分别为AB和PB的中点．
（1）证明：CF⊥PE；
（2）若PE＝1，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值．
17．随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
销售金额y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量y与x的样本相关系数r（结果精确到0.01）；
（2）试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程，其中，，
样本相关系数；
参考数据：，．
18．已知双曲线E：的左右焦点为F1，F2，其右准线为l，点F2到直线l的距离为，过点F2的动直线交双曲线E于A，B两点，当直线AB与x轴垂直时，|AB|＝6．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）设直线AF1与直线l的交点为P，证明：直线PB过定点．
19．已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）是其定义域上的增函数；
（3）若f（x）＞ax，其中a＞0且a≠1，求实数a的值．
2025年广东省高考数学押题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A B C C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
一．选择题（共8小题）
1．若角α的终边过点（4，3），则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵角α的终边过点（4，3），
∴cosα，
∴cosα．
故选：A．
2．已知i为虚数单位，若，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i
【解答】解：，
则（1+i）（1﹣i）＝2．
故选：B．
3．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，且对任意x1，x2，均有f（x1x2）＝f（x1）f（x2）成立，则下列函数中符合条件的是（　　）
A．y＝ln|x| B．y＝x3 C．y＝2|x| D．y＝|x|
【解答】解：y＝ln|x|定义域{x|x≠0}，不符合题意；
y＝x3为奇函数，不符合题意；
y＝2|x|定义域为R且为偶函数，当x＞0时，f（x）＝2x单调递增，
又f（x1x2），f（x1）f（x2） ，显然不符合题意；
f（x）＝|x|定义域为R，且为偶函数，
又f（x1x2）＝|x1x2|＝|x1||x2|＝f（x1）f（x2），符合题意．
故选：D．
4．已知，是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则λ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【解答】解：向量在向量上的投影向量为，
则，即，
，是夹角为120°的两个单位向量，
则，即，解得λ＝﹣2．
故选：A．
5．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，即a1＝0，a2＝2，a3＝4，…，若an＝2024，则n＝（　　）
A．34 B．33 C．32 D．30
【解答】解：由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列{an}，
则一位自然数有3个，两位自然数有32﹣3＝6个，三位自然数有33﹣9＝18个，四位自然数有34﹣27＝54个，
又四位自然数为2000，2002，2004，2020，2022，2024，
则2024为四位自然数中的第6个，
所以n＝1+2+6+18+6＝33．
故选：B．
6．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设r1＝a，则r2＝2r1＝2a，圆台的内切球的半径为R，则R＝2，
如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底分别切于点O1，O2，则有ED＝a，EA＝2a，
注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，
Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝DE EA，即2a2＝4，解可得a，
半径为2的球与圆台的上、下底面均相切，则圆台的高为h＝2R＝4，
故圆台的体积V（ππ）h（2π+8π）×4．
故选：C．
7．已知数列{an}满足，a1＝a2＝1，（k∈N*），若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝（　　）
A．624 B．625 C．626 D．650
【解答】解：依题意，由当n＝2k﹣1时，an+2＝an+2，
可得当n为奇数时，an+2﹣an＝2，
∵a1＝1，
∴数列{an}的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，
又当n＝2k时，an+2＝﹣an，
即当n为偶数时，an+2＝﹣an，
此时an+4＝﹣an+2＝﹣（﹣an）＝an，
故数列{an}的偶数项是以2为最小正周期的周期数列，
∵a2＝1，a4＝﹣a2＝﹣1，
∴数列{an}的偶数项为：1，﹣1，1，﹣1，…
∴S50＝a1+a2+…+a50
＝（a1+a3+…+a49）+（a2+a4+…+a50）
＝25×12+（1﹣1+1﹣1+…+1﹣1+1）
＝25+25×24+1
＝626．
故选：C．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据对称性，不妨设A点在第一象限，
∵|AB|＝|AF1|，
∴|BF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，
∴|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，
∵双曲线E的离心率e，∴|F1F2|＝2c，
在△BF1F2中，由余弦定理可得：
cos∠F1BF2，
∴cos∠BAF1＝cos（π﹣2∠F1BF2）
＝﹣cos（2∠F1BF2）＝﹣（2cos2∠F1BF2﹣1）
．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．向量，在上的投影向量相等
D．
【解答】解：已知向量，不共线，向量平分与的夹角，
设，，
则，
由平行四边形法则可得：且四边形ABDC为菱形，
对于选项A，显然错误；
对于选项B，，
即，
即选项B正确；
对于选项C，向量，在上的投影向量为，
即选项C正确；
对于选项D，，，
又与不一定相等，
即选项D错误．
故选：BC．
（多选）10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，甲箱中有3个红球和2个白球，则P（A1），A正确；
对于B，P（A2）＝1，P（B|A1），P（B|A2），
P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2），B正确；
对于C，P（B|A1），C错误；
对于D，P（A2|B），D正确．
故选：ABD．
（多选）11．已知直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），曲线y＝lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（x0，y0），则（　　）
A． B．x1x2＝ex0
C．y1+y2＝1+y0 D．y1y2＜1
【解答】解：由已知，可得，记g（x）＝lnx，则，
则g（x）＝lnx在点M处的切线方程为y﹣y1＝g'（x1）（x﹣x1），
即，①；
同理可得，g（x）＝lnx在点N处的切线方程为，②；
对于选项A，令f（x），f'（x），
x∈（0，e）时，f（x）递增，x∈（e，+∞）时，f（x）递减，
所以f（x）极大值为f（e），当x＞1时，f（x）＞0，
因为直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），
y＝k与的图象存在两个不同的交点，
则，故A正确；
对于选项B，曲线y＝lnx在点M处的切线与点N处的切线相交于点P（x0，y0），
则有即，
则，即，则，
又由选项A，可知，则，即x1x2＞ex0，故B错误；
对于选项C，由选项B，可知，即x0＝kx1x2，
则有，
即y1+y2＝y0+1故C正确；
对于选项D，若y1y2＜1成立，则有kx1 kx2＜1，即，
则，由对数不等式，显然成立，故D正确；
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．已知数列{an}的前n项和，当取最小值时，n＝　3　 ．
【解答】解：由题意得a1＝S1＝2，
当n 2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n，
又a1＝2满足该式，所以an＝2n，
则，
当且仅当，即n＝3时取等号，
所以当取最小值时，n＝3．
故答案为：3．
13．已知曲线C是平面内到定点F（0，﹣2）与到定直线l：y＝2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在C上，对给定的点T（﹣2，t），用m（t）表示|PF|+|PT|的最小值，则m（t）的最小值为 　2　 ．
【解答】解：设P（x，y），当y≥2时，|PF|+y﹣2＝6，
所以，化简得：x2＝60﹣20y，y∈[2，3]，即；
当y＜2时，|PF|+2﹣y＝6，所以，整理得：x2＝4y+12，y∈[﹣3，2]，即；
对于曲线C上任意一点P，
则|PF|+|PT|≥|TF|，当且仅当P是线段TF与曲线C的交点时取“＝”，
因为|TF|2，所以|PF|+|PT|≥|TF|≥2，当且仅当t＝﹣2，
即点T的坐标为（﹣2，﹣2）时，m（t）取得最小值为2．
故答案为：2．
14．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）．令xi＝lnWi，yi＝lnfi，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为 　﹣0.3　 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数R2≈　0.98　 ．（参考公式：决定系数）
【解答】解：∵，，经验回归方程为，
∴5＝87.4，
∴0.3，
对f＝cWk（c，k为参数）两边同时取对数得，lnf＝lnc+klnW，
∵令xi＝lnWi，yi＝lnfi，
∴k0.3，
由公式可知，R2≈1110.98．
故答案为：﹣0.3；0.98．
四．解答题（共5小题）
15．各项均不为0的数列{an}对任意正整数n满足：．
（1）若{an}为等差数列，求a1；
（2）若，求{an}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则（），
由，
可得（...）1，
则a1d＝1，d＝2，解得a1；
（2）令n＝1，可得1，又，解得a2＝﹣3，
再令n＝2，可得1，解得a3＝﹣1．
当n≥2时，由，可得...1，
相减可得1（1）（），
则an+1﹣an＝2，
又a2﹣a1≠2，a3﹣a2＝2，
则{an}从第二项起是公差为2的等差数列，可得Sn＝a1+（a2+a3+...+an）3（n﹣1）（n﹣1）（n﹣2）×2＝n2﹣6n．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA＝PB，DA＝DB，AB＝2，PD＝1，点E，F分别为AB和PB的中点．
（1）证明：CF⊥PE；
（2）若PE＝1，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取PE的中点G，连接DG，FG，由，AB＝2，
易知△DAB为等腰直角三角形，
此时DE＝1，又PD＝1，
所以PE⊥DG，
因为PA＝PB，所以PE⊥AB，
由FG∥EB，
即FG∥AB，所以PE⊥FG，
此时，CD∥AB∥FG，有C，D，G，F四点共面，FG∩DG＝G，
所以PE⊥平面CDGF，又CF 平面CDGF，
所以CF⊥PE．
（2）由AB⊥PE，AB⊥DE，且PE∩DE＝E，所以AB⊥平面PDE；
由PE＝DE＝PD＝1，得△PDE为等边三角形，
以E为原点，EB，ED所在直线分别为x轴，y轴，过E且与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，D（0，1，0），B（1，0，0），C（2，1，0），，
，，设平面PBD的法向量，
由，即，
取z＝1，，
又，
设直线CF与平面PBD所成角为θ，
则，
所以直线CF与平面PBD所成角的正弦值为．
17．随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
销售金额y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量y与x的样本相关系数r（结果精确到0.01）；
（2）试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程，其中，，
样本相关系数；
参考数据：，．
【解答】解：（1）（1+2+3+4+5+6），
（15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.4）＝85.4，
1+4+9+16+25+36﹣617.5，
0.96．
（2）由题意38.3，
85.4﹣3.5×38.3＝﹣48.7，
所以y关于x的经验回归方程为y＝38.3x﹣48.7，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为y＝38.3×7﹣48.7＝219.4万元．
18．已知双曲线E：的左右焦点为F1，F2，其右准线为l，点F2到直线l的距离为，过点F2的动直线交双曲线E于A，B两点，当直线AB与x轴垂直时，|AB|＝6．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）设直线AF1与直线l的交点为P，证明：直线PB过定点．
【解答】解：（1）由题意，
所以双曲线E的标准方程为．
（2）证明：由题意，设直线AB的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），F1（﹣2，0），
联立方程组，消去x得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
所以，
直线AF1的方程为：，
∴，
所以PB的方程为，
由对称性可知PB过的定点一定在x轴上，
令
，
又，
所以，
所以直线PB过定点．
19．已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）是其定义域上的增函数；
（3）若f（x）＞ax，其中a＞0且a≠1，求实数a的值．
【解答】解：（1）由题意f（1）＝e﹣1，即切点为，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1+e﹣1，即y＝x+e﹣2；
（2）证明：由，设g（x）＝（x﹣1）ex+1，则g′（x）＝xex，
所以当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，
所以对于任意的x≠0有g（x）＞0，即f′（x）＞0，
因此f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递增，
即h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1，
所以x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）＞h（0）＝0，即ex﹣1＞x，即，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）＞h（0）＝0，即ex﹣1＞x，即，所以f（x）是其定义域上的增函数．
（3）由（2）可知，x＜0时，f（x）＜1，所以ax＜1，故a＞1，
令a＝ek，k＞0，F（x）＝e（1﹣k）x﹣e﹣kx﹣x，
由题意x＜0时，F（x）＜0，x＞0时，F（x）＞0，
若k≥1，则当x＞1时，F（x）＝e（1﹣k）x﹣e﹣kx﹣x≤1﹣e﹣kx﹣x＜0，不满足条件，
所以0＜k＜1，而F′（x）＝（1﹣k）e（1﹣k）x+ke﹣kx﹣1，
令G（x）＝F′（x），则G′（x）＝（1﹣k）2e（1﹣k）x﹣k2e﹣kx＝e﹣kx[（1﹣k）2ex﹣k2]，
令G′（x）＝0，得，
F′（x）在单调递减，在单调递增，
若，则当时，F′（x）＜F′（0）＝0，F（x）单调递减，
此时F（x）＞F（0）＝0，不满足题意；若，
则当时，F′（x）＜F′（0）＝0，F（x）单调递减，
此时F（x）＜F（0）＝0，不满足题意；若，
则当x＜0时，F′（x）＞F′（0）＝0，F（x）单调递增，此时F（x）＜F（0）＝0，
且当x＞0时，F′（x）＞F′（0）＝0，F（x）单调递增，此时F（x）＞F（0）＝0，满足题意，
所以，解得，
综上所述，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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