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期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 丰台区期末）下面是入围2022年北京冬奥会会徽设计评选的四幅作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 淮安期末）点M（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）
3．（2024秋 大理州期末）关于x的方程的根为x＝2，则a应取值（　　）
A．1 B．3 C．﹣2 D．﹣3
4．（2024秋 莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
5．（2020春 海州区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）
A．35° B．40° C．50° D．70°
6．（2024秋 栖霞市期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　）
A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150
7．（2024春 文山市期末）不等式2x﹣1＜﹣3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 开福区校级期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 平南县期末）分解因式：2a2﹣4ab+2b2＝　 　 ．
10．（2024秋 长沙期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 　 　 ．
11．（2024秋 建湖县期末）在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，3）向右平移5个单位得到点Q（2﹣2b，3），则2a+4b+7的值为　 　 ．
12．（2024秋 张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为　 　 ．
13．（2024春 淮安区校级期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 　 　 命题（填“真”或“假”）．
14．（2022秋 和平区校级期末）轮船在静水中的速度是a千米/小时，水流速度是b千米/小时（a＞b），轮船在逆流中航行s千米所需要的时间是　 　 小时．
15．（2024秋 巫山县期末）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　 ．
16．（2024春 南岸区期末）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AF，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AF上，点B的对应点为点Q，折痕为AP，则∠APQ的大小为 　 　 度．
三．解答题（共10小题）
17．（2024秋 普陀区期末）解方程：．
18．（2024秋 西城区期末）分解因式：
（1）3x2+6x+3；
（2）m2（n﹣2）+25（2﹣n）．
19．（2024秋 嘉陵区期末）先化简，再求值：，其中a＝1．
20．（2024春 沐川县期末）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（2024秋 邵阳期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买A、B两种型号的教学设备．已知购买2台A型设备和1台B型设备共需2万元；购买4台A型设备和3台B型设备共需5万元．
（1）求A型、B型设备每台各是多少万元；
（2）根据该校的实际情况，需购买A、B两种型号的教学设备共10台，要求购买的总费用不超过8万元，并且B型设备的数量不少于A型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
22．（2024秋 丰城市期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝16，AD＝5，求EC的长．
23．（2024秋 济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长．
24．（2024秋 福田区校级期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
25．（2024秋 如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．
【方法应用】
（2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长．
26．（2024秋 仁怀市期末）【阅读材料】
教材中把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如：
①分解因式：x2+2x﹣3：
x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3﹣1＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
②求多项式2x2+4x﹣3的最小值：
2x2+4x﹣3＝2（x2+2x）﹣3＝2（x2+2x+1）﹣3﹣2＝2（x+1）2﹣5．
∵2（x+1）2≥0，
∴2（x+1）2﹣5≥﹣5，
∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣3有最小值，最小值是﹣5．
【解决问题】
（1）按照上述方法分解因式：x2﹣4x+3；
（2）多项式3x2+6x+k的最小值为4，请求出k的值；
（3）若实数a，b满足﹣2a2+7a+2b＝12，请求多项式a﹣2b的最值．
期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学八年级下册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C B D D A
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 丰台区期末）下面是入围2022年北京冬奥会会徽设计评选的四幅作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（2024秋 淮安期末）点M（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）
【解答】解：由M（4，﹣3）关于原点对称的点N的坐标是（﹣4，3），
故选：A．
3．（2024秋 大理州期末）关于x的方程的根为x＝2，则a应取值（　　）
A．1 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：把x＝2代入方程得：，
在方程两边同乘4（a﹣2）得：4（4a+3）＝5（a﹣2），
解得：a＝﹣2，
检验：当a＝﹣2时，a﹣x≠0，
故选：C．
4．（2024秋 莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
【解答】解：A、AB∥CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故本选项符合题意；
D、AB＝CD，BC∥AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
5．（2020春 海州区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）
A．35° B．40° C．50° D．70°
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，
∴∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，
∴∠C′AC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠C′AC＝∠BAB′＝40°，
即旋转角的度数是40°，
故选：B．
6．（2024秋 栖霞市期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　）
A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150
【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2，
把a﹣b＝5，ab＝﹣6代入，
ab（a﹣b）2
＝（﹣6）×52
＝﹣150，
故选：D．
7．（2024春 文山市期末）不等式2x﹣1＜﹣3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：移项，得2x＜﹣3+1，
合并同类项，得2x＜﹣2，
x的系数化为1，得x＜﹣1．
在数轴上表示为：
．
故选：D．
8．（2024秋 开福区校级期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植（x﹣3）棵树，
根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春 平南县期末）分解因式：2a2﹣4ab+2b2＝　2（a﹣b）2　 ．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2．
故答案为：2（a﹣b）2
10．（2024秋 长沙期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 　x≠3　 ．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
11．（2024秋 建湖县期末）在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，3）向右平移5个单位得到点Q（2﹣2b，3），则2a+4b+7的值为　3　 ．
【解答】解：∵把点P（a﹣1，3）向右平移5个单位得到点Q（2﹣2b，3），
∴a﹣1+5＝2﹣2b，
∴a+2b＝﹣2，
∴2a+4b+7＝2（a+2b）+7＝﹣4+7＝3．
故答案为：3．
12．（2024秋 张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为　2　 ．
【解答】解：在AB上截取AD＝AC＝4，连接DP，过点D作DE⊥BC于点E，如图，
由题意可得：∠CAB＝90°﹣30°＝60°．
由旋转的性质可得：AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠CAB﹣∠CAP＝∠PAQ﹣∠CAP，即∠CAQ＝∠PAD，
又∵AD＝AC，AQ＝AP，
∴△CAQ≌△DAP（SAS），
∴CQ＝DP，
∴当DP最短时，CQ最小．
∴当点P与点E重合时，DP最短，即为DE的长．
∵AC＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣4＝4．
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∵∠B＝30°，
∴，
故答案为：2．
13．（2024春 淮安区校级期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 　真　 命题（填“真”或“假”）．
【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”
“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 真命题，
故答案为：真．
14．（2022秋 和平区校级期末）轮船在静水中的速度是a千米/小时，水流速度是b千米/小时（a＞b），轮船在逆流中航行s千米所需要的时间是　　 小时．
【解答】解：依题意得：s÷（a﹣b）（小时）．
故答案为：．
15．（2024秋 巫山县期末）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　﹣14　 ．
【解答】解：，
由①得：2x＜2，
x＜1，
由②得：3x﹣a≥﹣5﹣2x，
3x+2x≥a﹣5，
5x≥a﹣5，
，
∴，
∵于x的不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
﹣15＜a﹣5≤﹣10，
﹣10＜a≤﹣5，
，
a+5＝﹣2﹣2（1﹣y），
a+5＝﹣2﹣2+2y，
2y＝a+9，
，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴且，
解得：a≥﹣9且a≠﹣7，
∴a＝﹣5或﹣9，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：﹣5﹣9＝﹣14，
故答案为：﹣14．
16．（2024春 南岸区期末）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AF，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AF上，点B的对应点为点Q，折痕为AP，则∠APQ的大小为 　45　 度．
【解答】解：由翻折的性质可知，AF是正五边形ABCDE的对称轴，AB＝AQ，∠BAP＝∠QAP，∠APB＝∠APQ，∠B＝∠AQP，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BAE108°，
∴∠BAP∠BAE108°＝27°，
在△BPE中，∠B＝108°，∠BAP＝27°，
∴∠APB＝180°﹣108°﹣27°＝45°，
∴∠APQ＝∠APB＝45°．
故答案为：45．
三．解答题（共10小题）
17．（2024秋 普陀区期末）解方程：．
【解答】解：原方程去分母得：5（x+2）﹣3＝x﹣2，
整理得：5x+7＝x﹣2，
解得：x＝﹣2.25，
经检验，x＝﹣2.25是分式方程的解．
18．（2024秋 西城区期末）分解因式：
（1）3x2+6x+3；
（2）m2（n﹣2）+25（2﹣n）．
【解答】解：（1）3x2+6x+3
＝3（x2+2x+1）
＝3（x+1）2；
（2）m2（n﹣2）+25（2﹣n）
＝m2（n﹣2）﹣25（n﹣2）
＝（n﹣2）（m2﹣25）
＝（n﹣2）（m+5）（m﹣5）．
19．（2024秋 嘉陵区期末）先化简，再求值：，其中a＝1．
【解答】解：原式＝（）

，
当a＝1时，原式1．
20．（2024春 沐川县期末）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣4．
解不等式②，得x≤3．
∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤3．
解集在数轴上表示：
21．（2024秋 邵阳期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买A、B两种型号的教学设备．已知购买2台A型设备和1台B型设备共需2万元；购买4台A型设备和3台B型设备共需5万元．
（1）求A型、B型设备每台各是多少万元；
（2）根据该校的实际情况，需购买A、B两种型号的教学设备共10台，要求购买的总费用不超过8万元，并且B型设备的数量不少于A型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
【解答】解：（1）设A型设备x万元/台，B型设备y万元/台，
依题意得：，
解得，
所以A型设备每台0.5万元，B型设备每台1万元，
答：A型设备每台0.5万元，B型设备每台1万元；
（2）设A型设备购买a台，则购买B型设备（10﹣a）台，
依题意得：，
解得：4≤a≤6，
又因为a为正整数，所以a的取值为4，5，6，
所以一共有3种购买方案．
答：一共有3种购买方案．
22．（2024秋 丰城市期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝16，AD＝5，求EC的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝16，
∴BEBD＝8，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝5+16＝21，
∴EC＝BC﹣BE＝21﹣8＝13．
23．（2024秋 济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵点E，F分别为OA，OC的中点，
∴，，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，
∴BD＝40，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴△DCO为等腰三角形，
∵点F是CO的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CDF中，CF＝12，CD＝20，
由勾股定理得：．
24．（2024秋 福田区校级期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°，
∴AB10（dm），
∴AB+AC＝10+8＝18（dm），
答：绳子的总长度为18dm；
（2）如图，
根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm，
∴15（dm），
∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm），
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
25．（2024秋 如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．
【方法应用】
（2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD；
（2）解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠F，
∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝3.5，
由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB，AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠F，
∴DF＝AD＝6，
∴CF＝DF﹣CD＝6﹣3.5＝2.5．
26．（2024秋 仁怀市期末）【阅读材料】
教材中把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如：
①分解因式：x2+2x﹣3：
x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3﹣1＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
②求多项式2x2+4x﹣3的最小值：
2x2+4x﹣3＝2（x2+2x）﹣3＝2（x2+2x+1）﹣3﹣2＝2（x+1）2﹣5．
∵2（x+1）2≥0，
∴2（x+1）2﹣5≥﹣5，
∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣3有最小值，最小值是﹣5．
【解决问题】
（1）按照上述方法分解因式：x2﹣4x+3；
（2）多项式3x2+6x+k的最小值为4，请求出k的值；
（3）若实数a，b满足﹣2a2+7a+2b＝12，请求多项式a﹣2b的最值．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）；
（2）3x2+6x+k
＝3（x2+2x+1）﹣3+k
＝3（x+1）2+（k﹣3），
因为3（x+1）2≥0，
所以3x2+6x+k的最小值为k﹣3，
因为3x2+6x+k的最小值为4，
所以k﹣3＝4，
得：k＝7；
（3）﹣2a2+7a+2b＝12，
即2b＝2a2﹣7a+12，
a﹣2b
＝a﹣（2a2﹣7a+12）
＝﹣2a2+8a﹣12
＝﹣2a2+8a﹣8﹣4
＝﹣2（a﹣2）2﹣4，
因为（a﹣2）2≥0，
所以﹣2（a﹣2）2≤0，
所以﹣2（a﹣2）2﹣4≤﹣4，
所以a﹣2b的最大值是﹣4．
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