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期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 河东区期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 锡山区期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 同安区期末）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．2a3÷a2＝a C．（﹣a2）2＝a4 D．a4+a2＝a6
4．（2024秋 广饶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（　　）
A．66° B．77° C．78° D．101°
5．（2024春 盐城期末）在人体血液中，红细胞的直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×104 B．7.7×10﹣3 C．7.7×10﹣4 D．0.77×10﹣5
6．（2024秋 丰泽区期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　）
A．270° B．250° C．230° D．180°
7．（2024秋 凤阳县期末）如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　）
A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5
8．（2024秋 丰城市期末）如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　）
A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 崇川区期末）计算（﹣5a2b） （﹣3a）＝　 　 ．
10．（2024秋 高新区期末）一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在60%，估计a的值为 　 　 ．
11．（2024秋 晋江市期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为　 　 °．
12．（2024秋 漳州期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 　 　 ．
13．（2024秋 湖州期末）一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　 　 ．
14．（2024秋 高坪区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线MN分别交BC、AB于点D、E，连接AD．若∠B＝32°，则∠CAD的度数为 　 　 °．
15．（2024秋 广陵区期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　 　 ．
16．（2024秋 合肥期末）在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，分别交BC于E，G两点，连接AE，AG，若BC＝8，则△AEG的周长为　 　 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2024秋 长宁区期末）计算：a2 a4+（﹣2a2）3+a8÷a2．
18．（2024秋 崆峒区期末）在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算．
（1）小明在活动中遇到了一道题目：已知2x＝5，2y＝9，求22x﹣y的值．请你帮助小明解答这个问题．
（2）小红在活动中也遇到了一道题目：已知（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，求x2+6xy+y2的值．请你帮助小红解答这个问题．
19．（2024秋 丹徒区期末）根据题意将下列空格补充完整．
如图，若∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A．试说明AB与DF平行．
理由：因为∠DEH+∠EHG＝180°，
所以ED∥　 　 （ 　 　 ），
所以∠1＝∠C（ 　 　 ），
∠2＝ 　 　 （ 　 　 ）．
因为∠1＝∠2，
所以∠C＝ 　 　 ．
又因为∠C＝∠A，
所以∠A＝ 　 　 ，
所以AB∥DF（ 　 　 ）．
20．（2024秋 潮阳区校级期末）如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
21．（2024秋 宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　 　 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
22．（2024秋 砀山县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD相交于点F，且∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD．
（1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数；
（2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD．
23．（2024秋 大名县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积．
24．（2024秋 肥乡区期末）小王周末骑电动车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小王家距离书店多远？
（2）小王在新华书店停留了多长时间？
（3）新华书店到商场的距离是多少？
25．（2024秋 丰城市期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得到点B到OA的距离为8cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为14cm．
（1）判断CE与OD的数量关系，并证明；
（2）求两次摆动中点B和C的高度差DE的长．
26．（2024秋 南安市期末）玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）．
（1）如图1，∠BCP的度数为　 　 ；
（2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值．
期末真题演练卷（试题）2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C C C A D A
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 河东区期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、“爱”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
B、“我”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
C、“中”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
D、“华”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2024秋 锡山区期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：整个图形面积＝4×4＝16，
阴影部分面积，
∴小球停在阴影区域的概率，
故选：B．
3．（2024秋 同安区期末）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．2a3÷a2＝a C．（﹣a2）2＝a4 D．a4+a2＝a6
【解答】解：A、a3 a3＝a6，故此选项不符合题意；
B、2a3÷a2＝2a，故此选项不符合题意；
C、（﹣a2）2＝a4，故此选项符合题意；
D、a4与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．（2024秋 广饶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（　　）
A．66° B．77° C．78° D．101°
【解答】解：∵∠B＝34°，∠ACB＝78°，
∴∠BAC＝68°，
由作图得：AE平分∠BAC，EF垂直平分BC，
∴∠CAE∠BAC＝34°，BF＝CF，
∴∠BCF＝∠B＝34°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝44°，
∴∠α＝∠CAE+∠ACF＝78°，
故选：C．
5．（2024春 盐城期末）在人体血液中，红细胞的直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A．7.7×104 B．7.7×10﹣3 C．7.7×10﹣4 D．0.77×10﹣5
【解答】解：0.00077＝7.7×10﹣4．
故选：C．
6．（2024秋 丰泽区期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　）
A．270° B．250° C．230° D．180°
【解答】解：过点B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵CD∥AE，
∴CD∥BG，
∴∠DCB+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠DCB+∠CBG＝360°，
即∠DCB+∠CBA+∠BAE＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝270°，
故选：A．
7．（2024秋 凤阳县期末）如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（　　）
A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.5
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，AD＝3，
∴BD＝AD＝3，EA＝EB，AB＝2AD＝6，
∵△ACE的周长为9.5
∴AC+AE+EC＝9.5，
∴AC+BE+EC＝9.5，
∴AC+BC＝9.5，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝9.5+6＝15.5，
故选：D．
8．（2024秋 丰城市期末）如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　）
A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF
【解答】解：添加条件：∠E＝∠F，理由如下：
由平行线性质可知∠A＝∠D，
又AE＝DF，∠E＝∠F，
∴△AEC≌△DFB（ASA），
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 崇川区期末）计算（﹣5a2b） （﹣3a）＝　15a3b　 ．
【解答】解：（﹣5a2b） （﹣3a）
＝15a3b，
故答案为：15a3b．
10．（2024秋 高新区期末）一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在60%，估计a的值为 　9　 ．
【解答】解：由题意可得，60%，
解得，a＝9．
经检验，a＝9是分式方程的解且符合题意，
故答案为：9．
11．（2024秋 晋江市期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为　64　 °．
【解答】解：由对顶角相等可知：∠FBC＝∠ABE＝45°，
∵∠CBD＝19°，
∴∠FBD＝45°+19°＝64°，
由题意可知，EF∥GH，
∴∠BDH＝∠FBD＝64°，
故答案为：64．
12．（2024秋 漳州期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 　12　 ．
【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长＝5+5+2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
13．（2024秋 湖州期末）一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　　 ．
【解答】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，
从盒子里任意摸到1个红球的概率是．
故答案为：．
14．（2024秋 高坪区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线MN分别交BC、AB于点D、E，连接AD．若∠B＝32°，则∠CAD的度数为 　26　 °．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝32°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣32°＝58°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝58°﹣32°＝26°．
故答案为：26．
15．（2024秋 广陵区期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　144°　 ．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∵DE∥AB，
∴DE∥CF，
∴∠CDE+∠DCF＝180°，
∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF＝360°，
即∠ABC+∠DCB+∠CDE＝360°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵∠EDC＝126°，
∴∠DCB＝360°﹣∠ABC﹣∠CDE＝144°，
故答案为：144°．
16．（2024秋 合肥期末）在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，分别交BC于E，G两点，连接AE，AG，若BC＝8，则△AEG的周长为　8　 ．
【解答】解：∵DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∴BC＝BE+EG+CG＝AE+EG+AG，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BC＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共10小题）
17．（2024秋 长宁区期末）计算：a2 a4+（﹣2a2）3+a8÷a2．
【解答】解：原式＝a6+（﹣8a6）+a6
＝﹣6a6．
18．（2024秋 崆峒区期末）在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算．
（1）小明在活动中遇到了一道题目：已知2x＝5，2y＝9，求22x﹣y的值．请你帮助小明解答这个问题．
（2）小红在活动中也遇到了一道题目：已知（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，求x2+6xy+y2的值．请你帮助小红解答这个问题．
【解答】解：（1）∵2x＝5，2y＝9，
∴22x﹣y＝22x÷2y＝（2x）2÷2y＝52÷9；
（2）∵（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，
∴x2+2xy+y2＝16①，x2﹣2xy+y2＝6②，
①+②，得2x2+2y2＝22，
∴x2+y2＝11，
①﹣②，得4xy＝10，
∴xy，
∴x2+6xy+y2＝11+626．
19．（2024秋 丹徒区期末）根据题意将下列空格补充完整．
如图，若∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A．试说明AB与DF平行．
理由：因为∠DEH+∠EHG＝180°，
所以ED∥　AC　 （ 　同旁内角互补，两直线平行　 ），
所以∠1＝∠C（ 　两直线平行，同位角相等　 ），
∠2＝ 　∠DGC　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
因为∠1＝∠2，
所以∠C＝ 　∠DGC　 ．
又因为∠C＝∠A，
所以∠A＝ 　∠DGC　 ，
所以AB∥DF（ 　同位角相等，两直线平行　 ）．
【解答】解：因为∠DEH+∠EHG＝180°，
所以ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
所以∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠2，
所以∠C＝∠DGC．
又因为∠C＝∠A，
所以∠A＝∠DGC，
所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：AC，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠DGC，两直线平行，内错角相等，∠DGC，∠DGC，同位角相等，两直线平行．
20．（2024秋 潮阳区校级期末）如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
【解答】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b＝5a+3b．
长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b．
（2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2．
21．（2024秋 宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的a＝ 　0.59　 ，b＝ 　116　 ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　0.6　 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．
故答案为：0.59，116
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6
（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；
22．（2024秋 砀山县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD相交于点F，且∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD．
（1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFC的度数；
（2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵∠A＝∠ABE＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°，
∴∠BFC＝∠ABF+∠CDB＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠A＝∠ABE，∠BDC＝∠CBD＝∠ACB，而∠BFD＝∠CBF+∠BCD，
∴∠BDF＝∠BFD．
23．（2024秋 大名县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴，
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴，
∴∠BDC＝180°﹣20°﹣35°＝125°．
（2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2．
∵BC＝9，
∴．
24．（2024秋 肥乡区期末）小王周末骑电动车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小王家距离书店多远？
（2）小王在新华书店停留了多长时间？
（3）新华书店到商场的距离是多少？
【解答】解：（1）由函数图象可知，小王家距离书店4000米；
（2）小王在新华书店停留了30﹣20＝10（分钟）；
（3）新华书店到商场的距离：6250﹣4000＝2250（米）．
25．（2024秋 丰城市期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得到点B到OA的距离为8cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为14cm．
（1）判断CE与OD的数量关系，并证明；
（2）求两次摆动中点B和C的高度差DE的长．
【解答】解：（1）CE＝BD．理由如下：
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠ODB＝∠CEO＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠OBD＝∠COE，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝BD；
（2）∵点B到OA的距离为8cm，点C到OA的距离为14cm，
∴CE＝14cm，AB＝8cm，
∵△COE≌△OBD，
∴OE＝BD＝8cm，CE＝OD＝14cm，
∴DE＝OD﹣OE＝14﹣8＝6（cm），
∴两次摆动中点B和C的高度差DE的长为6cm．
26．（2024秋 南安市期末）玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）．
（1）如图1，∠BCP的度数为　15°　 ；
（2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值．
【解答】解：（1）∵△ABCD和△DEF为一副三角板，
∴∠EDF＝45°，∠ACB＝30°，
∵PQ∥MN，
∴∠DCP＝∠EDF＝45°，
∴∠BCP＝∠DCP﹣∠ACB＝15°，
故答案为：15°；
（2）∠COF﹣∠ACP为定值，∠COF﹣∠ACP＝45°．
理由如下：
过点O作OG∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴OG∥PQ∥MN，
∴∠ACP＝∠COG，∠GOF＝∠EFD，
∴∠COF﹣∠ACP＝（∠COG+∠GOF）﹣∠ACP ＝（∠ACP+∠EFD）﹣∠ACP＝∠EFD＝45°，
∴∠COF﹣∠ACP为定值，定值是45°；
（3）①当AB∥EF时，
点C，B，E，D在同一条直线上，
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴α＝30；
②当AB∥DF时，
∵AB∥DF即AB∥MN，
又∵PQ∥MN，
∴AB∥PQ∥MN，
∴∠DCQ＝180°﹣∠CDF＝180°﹣45°＝135°，
∠ACQ＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠DCQ﹣∠ACQ＝135°﹣60°＝75°，
∴α＝75；
③当AB∥DE时，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD+∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴α＝120；
综上，在旋转的过程中，当α＝30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行．
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