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2025年中考考前最后一卷（福建卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B D A C B D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．
12．
13．48， 48
14．13
15．
16．33.8
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分）解：（1）
…………………………………………………………………………………………6分
；…………………………………………………………………………………………………8分
18．（本题满分8分）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，……………………………………………………………………………2分
∴． ……………………………………………………………………3分
在和中，
，
∴， ………………………………………………………………6分
∴， ………………………………………………………………………7分
∴． …………………………………………………………………………………8分
19．（本题满分8分）解：
………………………………………………………………………………………2分
……………………………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………………5分
………………………………………………………………………………………………6分
检验，当时，，……………………………………………………………………7分
∴是原方程的解．……………………………………………………………………………8分
20．（本题满分8分）
【详解】（1）解：作可得，
……………………………………………………………3分
所以，就是所求作的三角形．………………………………………………………………4分
（2）解：由（1）知，，，
∴．……………………………………………………………………………………5分
∵，，
∴．……………………………………………………………………………6分
∴．
∴．…………………………………………………………………………………………7分
在中，，
∴．………………………………………………………………………………8分
21．（本题满分8分）解：任务1：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，，
款机器人测试员打分的中位数，
由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分，
款机器人运动能力得分的众数，
故答案为：，；………………………………………………………………………………2分
任务2：
的综合成绩为：（分），
的综合成绩为：
的综合成绩为：
，……………………………………………………………………………………4分
机器人的综合成绩最高；……………………………………………………………………6分
任务3：
①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高；
②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定；
③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好.
(答案不唯一，言之有理即可)……………………………………………………………………8分
22．（本题满分10分）（1）解：设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个，
由题意得：，………………………………………………………………1分
解得，………………………………………………………………………………2分
经检验，是原方程的根，并符合题意，…………………………………………3分
所以，生产商每天生产类手办600个，类手办400个；…………………………4分
（2）解：设购进个种手办，则购进个种手办，
根据题意得：，
解得：．………………………………………………………………………………5分
设这200个手办全部售完获得的总利润为元，
则，即，
∵，…………………………………………………………………………6分
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时（个）．……………………………………………………7分
所以，当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元；
（3）解：由表中数据得：，
∴……………………………………………………………………………………8分
∵，
∴，………………………………………………………………………………9分
∴，
∴，
∴利润至少为10元
∴单价至少为元．………………………………………………………………10分
23．（本题满分10分）（1）解：由题意得，，………………………………………………2分
解得，．………………………………………………………………………………4分
（2）解：，
．………………………………………………………………………………5分
，y均为非负数，
，即，……………………………………………………………………6分
．……………………………………………………………………………………7分
，
，………………………………………………………………………………8分
，
．………………………………………………………………………………10分
24．（本题满分12分）解：概念理解：（1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，
∴目标矩形的纵横比；
故答案为：1；……………………………………………………………………………………1分
（2）根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比；
故答案为：；………………………………………………………………………………………2分
联系实际：如图：

∵最高点C与水面的距离为5米，
∴，………………………………………………………………………………………………3分
∵抛物线目标矩形的纵横比，
∴，
∴，………………………………………………………………………………………………4分
∵抛物线关于y轴对称，
∴，，
设抛物线的表达式为，……………………………………………………………5分
把代入得：，
解得，…………………………………………………………………………………………6分
∴；……………………………………………………………7分
应用拓展：
（1）相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴对称，如图2，

∴，
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．……………………………………………………………………8分
∵最左侧位于拱面上方处，
∴最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为．………………………………………………9分
（2）如图3，当水位达到最高时，水位线为．……………………10分

∵救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，
∴当时，，，，
在中，由勾股定理得：．………………………………11分
答：救生绳至少需．…………………………………………………………………………12分
25．（本题满分14分）解：（1）如图，当点运动到点的位置，即、、三点共线时，、两点之间的距离最小，的最小值为:，
故答案为：；……………………………………………………………………………………2分
（2）证明：连接、，
，
，……………………………………………………………………3分
由题意可知，是的直径，
又，
是等腰直角三角形，，
；………………………………………………………5分
（3）如图3，连接，取的中点，连接，，过点作于点，
根据题意可知与均为直角三角形，
，故、、、四点在上，
，………………………………………………………………6分
，
，，
，
，……………………………………………………………………8分
即要使最小，只需最小即可．
连接，，与的交点为，根据题意可知点在上，且所对的圆心为，
．
，，
，
当点与点重合时，满足最小，进而可知最小．……………………10分
连接，
，，
为等边三角形，………………………………………………………………11分
，
，
，
，……………………………………12分
在中，，……………………13分
，
．……………………………14分
10 / 102025年中考考前最后一卷（福建卷）
数 学
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的倒数是（ ）
A．-2025 B．2025 C． D．
2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．龙泉窑褐彩连座梅瓶是深圳博物馆的陶瓷珍品，代表着宋元时期陶瓷工艺的巅峰，如图，它是由可拆卸的瓶身和镂空瓶座组成．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
4．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表：
种子个数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子个数 94 337 530 664 858 951
发芽种子频率 0.940 0.844 0.883 0.949 0.954 0.951
由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（ ）
A．0.94 B．0.84 C．0.88 D．0.95
6．如图，均为上的点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
9．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图， ABC中，∠A=60°，CD=BE，点M，N，E分别为BD，CE，AB的中点，若MN=，则AB的长度为（　）
A．3+2 B．4 C．3 D．2+3
第ⅠⅠ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．第十五届全国运动会将于年月9日至日举行，由广东、香港和澳门联合举办，这是首次由多地区联合承办的全运会．预估赛事期间将累计接待现场观众人次，用科学记数法表示为 ．
12．若点都在反比例函数的图象上，将按照从小到大的顺序排列： ．
13．某校八年级6名学生的体育测试成绩如图所示，则这组数据的众数是 ，中位数是 ．
14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为 寸．
15．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ．
16．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，则铁架台和点的水平距离的长度为___cm.（结果精确到）．（参考数据： ，，）
三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分8分）计算：；
18．（本题满分8分）如图，在中，点、在对角线上，连接、，，求证：．
19．（本题满分8分）解方程：．
20．（本题满分8分）如图，在中，，点D在延长线上，且，过点D作射线．
求作：，使得点E落在射线上，且（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)连接，求．
21．（本题满分8分）我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分．运动能力测试由位专业测试员打分，每位测试员最高打分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
和
任务1： ， ；
【数据分析与运用】
任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．
22．（本题满分10分）2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同．
(1)求生产商每天单独生产两类手办的个数；
(2)两种手办某商家的购进价和售价如下表：
进价 售价
类/个 80 100
类/个 100 150
根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润；
(3)商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表：
第一天 第二天 第三天 第四天
日销售单件利润（元） 20 30 40 50
日销售量（个） 300 200 150 120
根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价．
23．（本题满分10分）【阅读】材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，．
材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法：
解：，．
，y均为非负数，，即，．
，，．
(1)若，，求a，b的值；
(2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围．
24．（本题满分12分）项目式学习
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．

【概念理解】
（1） 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ．

（2） 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ．
【联系实际】

如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，的高度为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．

【应用拓展】
（1）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．
（2） 据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）
25．（本题满分14分）【问题探究】
（1）如图1，点是半径为的上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为 ；
（2）如图2，的顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：；
【问题解决】
（3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由．

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