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人教版九年级上册 第21章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是　　
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为　　
A．或1 B．1 C． D．
4．将方程改写成的形式，则，，的值分别为　　
A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，，
5．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是　　
A． B．5 C． D．1
6．已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为　　
A．4 B．3 C． D．
8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．
9．关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是　　
A．没有实数根 B．有两个正实数根
C．两根之积为 D．两根之和为1
10．设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
11．如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是　　
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
12．四个单项式依次为、、、，在每两个单项式之间添上“”、“ ”、“ ”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到一个式子，记为；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到另一个式子，记为；那么，下列说法中，正确的个数有　　个．
①将得到的所有化简后，总共只有三种不同结果；
②对于得到的每一个，令，就得到一个关于的方程，若所有关于的方程都有两个不相等的实数根，那么；
③当取一个确定值时，每个都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为，这样，对于每一个的确定值，都有一个值与之对应．那么的最小值为0．
A．3 B．2 C．1 D．0
二．填空题（共5小题）
13．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，可列出方程为 　　．
14．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 　　．
15．如果是方程的一个根，那么代数式的值为 　　．
16．关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，，则的取值范围是　　．
17．对于实数，，定义运算“”： ，关于的方程恰好有三个实数根，则的取值范围是　　．
三．解答题（共5小题）
18．宣威火腿，云南省著名汉族特产之一，因产于宣威而得名，其历史悠久，最迟始于明代，品质优良，足以代表云南火腿；故常称“云腿”，某平台销售的宣威火腿初始价格为150元千克，经“618购物节”和“中秋节”连续两次降价后价格为121.5元千克，并且两次降价的百分率相同．
（1）求每次降价的百分率；
（2）如果“双十一”第三次降价，且保持前两次降价的百分率，那么“双十一”宣威火腿的价格是多少？
19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，且为整数，求的值．
20．已知实数、、，且满足，．
（1）求证：的值是定值；
（2）若、同号，求的取值范围；
（3）当、同号时，设，求的取值范围．
21．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①设每个车位的月租金上涨元，则停车场可以租出多少个车位？（用含的代数式表示）
②当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？同时尽可能让利于民．
22．阅读材料：
材料1．若一元二次方程的两根为、，则，
材料2．已知实数、满足、，且，求的值．
解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程的两根为、，则　 　，　 　．
（2）已知实数、满足、，且，求的值．
（3）已知实数、满足、，且，求的值．
第1页（共1页）人教版九年级上册 第21章 一元二次方程 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用握手的总次数参赛运动员人数（参赛运动员人数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故选：．
2．下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可．
【解答】解：、方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
、是一元二次方程，符合题意；
、未知数最高次为3，不是一元二次方程，不符合题意，
故选：．
3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为　　
A．或1 B．1 C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义得出且，即可求出的值．
【解答】解：若方程是关于的一元二次方程，
则，
解得或，
，
，
，
故选：．
4．将方程改写成的形式，则，，的值分别为　　
A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，，
【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为1，，2，
故选：．
5．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是　　
A． B．5 C． D．1
【分析】提公因式得到，解方程即可得到答案．
【解答】解：，
，
解得，，
关于的一元二次方程的一个根是0，
该方程的另一个根是，
故选：．
6．已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】直接根据△解答即可．
【解答】解：关于的方程没有实数根，
△，
，
故选：．
7．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为　　
A．4 B．3 C． D．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得．
故选：．
8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：．
9．关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是　　
A．没有实数根 B．有两个正实数根
C．两根之积为 D．两根之和为1
【分析】根据题意可得△，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系得到两根之积为，两根之和为，据此可得答案．
【解答】解：由根的判别式可得：△，
原方程有两个不相等的实数根，
两根之积为，两根之和为，
方程的两个实数根为一正一负，
由条件可知，
四个选项中只有选项说法正确，符合题意；
故选：．
10．设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而，可以看成是二次函数的图象与轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量时，对应的函数值的符号，即可得出结论．
【解答】解：方法1、方程有两个不相等的实数根，
则且△，
由，
解得，
，，
又，
，，
那么，
，
即，
解得，
最后的取值范围为：．
故选．
方法2、由题意知，，令，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
抛物线与轴的交点分别在1两侧，
当时，时，，
，
（不符合题意，舍去），
当时，时，，
，
，
，
故选：．
11．如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是　　
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【分析】首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，利用勾股定理求出，进而得到，即可求解．
【解答】解：，
，
或，
解得或8；
四边形是矩形，，
，，
，
．
方程的正数解是线段的长．
故选：．
12．四个单项式依次为、、、，在每两个单项式之间添上“”、“ ”、“ ”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到一个式子，记为；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到另一个式子，记为；那么，下列说法中，正确的个数有　　个．
①将得到的所有化简后，总共只有三种不同结果；
②对于得到的每一个，令，就得到一个关于的方程，若所有关于的方程都有两个不相等的实数根，那么；
③当取一个确定值时，每个都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为，这样，对于每一个的确定值，都有一个值与之对应．那么的最小值为0．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】①“”、“ ”、“ ”打乱顺序分6种情况进行讨论，并计算即可；
②根据△，分别求出每一个一元二次方程中的参数的取值范围；
③对于每个代数式进行配方即可求出最值．
【解答】解：，，，，
①；
；
；
；
；
；
或或，即共有三种不同结果，
故①符合题意；
②当，有两个不相等的实数根，则；
当，即有两个不相等的实数根，则△，；
当，即有两个不相等的实数根，则△，；
，方程都有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③；；，
的最小值为0，
故③符合题意；
综上，符合题意得有①②③，即3个，
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，可列出方程为 　　．
【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
14．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 　1　．
【分析】根据一元二次方程的定义可得且，解得的值即可．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：1．
15．如果是方程的一个根，那么代数式的值为 　18　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
原式．
16．关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，，则的取值范围是　且　．
【分析】由一元二次方程的两个实数根为、，利用根的判别式得出为任意实数时，方程都有解，故再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的不等式，得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可得到的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，，△，
由题意得
解得：，且．
故答案为：且．
17．对于实数，，定义运算“”： ，关于的方程恰好有三个实数根，则的取值范围是　　．
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，进而得出关于的一元一次不等式组，确定的取值范围．
【解答】解：由新定义的运算可得关于的方程为：
（1）当时，即，时，有
，
即：，①，其根为：是非正数，
（2）当时，即，时，有
，
即：，②，其根为：都是正数，
如果关于的方程恰好有三个实数根，那么方程①和方程②共有三个实数根，
因此，只有方程①有一个负根，而方程②有两个正根时符合题意，
故有：，
解得，，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
18．宣威火腿，云南省著名汉族特产之一，因产于宣威而得名，其历史悠久，最迟始于明代，品质优良，足以代表云南火腿；故常称“云腿”，某平台销售的宣威火腿初始价格为150元千克，经“618购物节”和“中秋节”连续两次降价后价格为121.5元千克，并且两次降价的百分率相同．
（1）求每次降价的百分率；
（2）如果“双十一”第三次降价，且保持前两次降价的百分率，那么“双十一”宣威火腿的价格是多少？
【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意可列出关于的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可；
（2）根据保持前两次降价的百分率列出算式求解即可．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为，降价后价格为121.5元千克，并且两次降价的百分率相同，
，
，（舍，
答：每次降价的百分率为；
（2）保持前两次降价的百分率，
“双十一”宣威火腿的价格是元千克．
19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，且为整数，求的值．
【分析】（1）由方程根的个数，根据根的判别式，可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于的不等式，则可求得的取值范围，再求其值即可．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得，
的取值范围为；
（2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
，，
，
，
，
解得，
又由（1）知，
，
为整数，
的值为1或2．
20．已知实数、、，且满足，．
（1）求证：的值是定值；
（2）若、同号，求的取值范围；
（3）当、同号时，设，求的取值范围．
【分析】（1）根据题意，和可看成方程的两个实数根，再结合根与系数的关系进行证明即可．
（2）根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题．
（3）根据题意，结合，的取值范围，求出的取值范围即可．
【解答】（1）证明：，，
和可看成方程的两个实数根，
，
故的值是定值．
（2）解：，
△，
解得，
由（1）知，
．
因为，同号，
所以，
解得．
；
（3）解：由上述过程可知，
，，
所以，
，
．
21．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①设每个车位的月租金上涨元，则停车场可以租出多少个车位？（用含的代数式表示）
②当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？同时尽可能让利于民．
【分析】（1）道路的宽是米，根据铺花砖的面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）①由题意列出代数式即可；
②设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为10080元，则每个车位的月租金为元，根据“该停车场共有车位50个，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）道路的宽是米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：道路的宽是5米；
（2）①设每个车位的月租金上涨元，停车场可以租出个车位；
②设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为10080元，则每个车位的月租金为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：当每个车位的月租金为210元时，停车场的月租金收入为10080元，同时尽可能让利于民．
22．阅读材料：
材料1．若一元二次方程的两根为、，则，
材料2．已知实数、满足、，且，求的值．
解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程的两根为、，则　4　，　 　．
（2）已知实数、满足、，且，求的值．
（3）已知实数、满足、，且，求的值．
【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；
（2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两实数解，则根据根与系数的关系得到，，接着把分解得到，然后利用整体代入的方法计算；
（3）先设，代入化简得到，根据与满足的等式可把与（即为方程的两实数解，则根据根与系数的关系得到，，接着利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1），，
故答案为：4；；
（2）、满足，，
、可看作方程的两实数解，
，，
；
（3）设，代入化简为，
则与（即为方程的两实数解，
，，
．
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