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进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学周练十
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 已知集合，，则 .
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则 .
3．设．若向量与向量平行，则 .
4．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 .
5. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为 .
6. 函数在R上可导，若，则 .
7．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
8. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 .
9．“太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为 .
10．顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到）
11. 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为 .
12. 已知定义在上的函数，当时，，，， 若任意，在区间均有最大值，则的取值范围是 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．若，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
15. 2023年1月底，人工智能聊天程序迅速以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．75 B．77 C．79 D．81
16. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且
，则（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分.）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知函数.
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若，已知在区间上单调，且的图象关于点对称，求在区间上的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分）
17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值；
（3）过点的直线与交于两点，若的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围。
21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分）
若曲线的切线与曲线C共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”.
（1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
（2）求曲线的所有切线的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由.
进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学周练十
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 已知集合，，则 .
【答案】
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则 .
【答案】
3．设．若向量与向量平行，则 .
【答案】
4．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 .
【答案】45
5. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为 .
【答案】1200
6. 函数在R上可导，若，则 .
【答案】12
7．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
8. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 .
【答案】
9．“太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为 .
【答案】
10．顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到）
【答案】
【详解】由圆锥底面半径为，，
则，
又在圆锥的侧面展开图中，，
因此在中，，
故在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为线段的长，故答案为：.
11. 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，E是线段中点，所以，
而是线段上的动点，从而可设，
所以点的坐标是，
所以，
，
所以当时，的最小值是.
12. 已知定义在上的函数，当时，，，， 若任意，在区间均有最大值，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】要满足对，在区间有最大值，
则只需要在上存在最大值，即满足或，
解得或，综上可得：，
二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．若，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C
14．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
15. 2023年1月底，人工智能聊天程序迅速以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．75 B．77 C．79 D．81
【答案】B
【解析】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，当时，，代入得，解得，
当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，，则，
即，则，故选：B.
16. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是奇函数，则，
令，可得，可得，
在中令得，所以，
在中令得，
所以，
所以.故选：D.
三、解答题（本大题共5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分. ）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而. ，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，又，
平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知函数.
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若，已知在区间上单调，且的图象关于点对称，求在区间上的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）
.
当时，即时，取得最小值.
由, 解得. …6分
（2）因为在区间上单调，所以.所以.
由已知得，即.解得，即.
综上. 所以.因为，所以.
所以在区间上的取值范围为. ………………14分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
【答案】（1），
（2），最小值为．
【解析】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得：，
．
（2）当时，
；
当时，
,
故，所以在区间的最小值为．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分）
17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值；
（3）过点的直线与交于两点，若的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1），
点的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆的方程为，
，，点的轨迹的方程为；
（2）证明：设直线与椭圆的交点坐标为
①当直线斜率存在时，如图，设，
联立直线与椭圆的标准方程，
可得：，
显然：恒成立，则，
，，
，
，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图，
显然，可得：即0，
综上所述：为定值.
（3），
，由（i）可知：，
设，即，，
可得，又，，则，
又直线的斜率存在，，，综上：.
21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分）
若曲线的切线与曲线C共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”.
（1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
（2）求曲线的所有切线的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2） （3）存在，理由见解析
【解析】（1）由题意，该切线的斜率为，因此，；4分
（2）由，可得曲线在处的切线方程为：,6分
令，8分
此切线为切线等价于方程有且仅有一个根，即，解得，
因此，曲线的切线仅有一条，方程为；10分
（3）由，
曲线在点处的切线方程为.
令，则.
因为，. 所以，对，在上严格增，
在上严格减. 故的极大值为.
当时，极大值等于0，即，
当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，14分
当为负整数时，极大值全部大于0；
函数所有的极小值为，
当时，极小值，
且随着的增大，极小值越来越小，
因此，在点处的切线为切线，
等价于有三个零点，等价于，即，16分
令，则，
因此为上的严格增函数，因为，
所以，存在唯一实数，满足．
综上，存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线．
18分

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