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进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学周练九
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则_________．
2. 已知等差数列的前项和为，，，则_________．
3. 直线被圆截得的弦长为_________．
4. 已知,则实数_________．
5. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有
的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则_________．
6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为_________．
7.若随机变量，，则_________．
8. 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中
任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是_________．
9. 已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为，则的倾斜角的最大
值为_________．
10.已知函数满足，且则方程的实数解的个数为_________．
11. 甲、乙、丙三人分别从2个不同数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，记中元素的个数为，则的概率为_________．
12.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为_________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13. 若，则复数对应的点位于第（ ）象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
14. 设，随机变量的分布列是则当在内增大时，（ ）
0 1 2
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
15.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16. 设函数是奇函数.若函数，，则( )
A. 28 B. 33 C. 38 D. 43
三、解答题（本大题共有5题，总分78分）．
17．（本题满分14分）木题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，，，点M在棱上，平面.
（1）求证：M为的中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若，，求.
19．（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分．
不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为.
（1）若，求；
（2）若，且，求的最小值；
（3）若，求：当且，的值.
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.
（1）求的方程；
（2）求证：为定值；
（3）设直线，相交于点，求证：为定值.
21．（本题满分18分）本题共4个小题，第1-2小题各4分，第3-4小题各5分．
记 已知函数和的定义域都为D，若存在，，，，使得，当且仅当，，2，，m时等号成立，则称和在D上“m次缠绕”.
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由;
（2）设，，若和在上“2次缠绕”，求a的取值范围;
（3）设，若和在上“3次缠绕”，求a的取值范围;
（4）记所有定义在区间上的函数组成集合A，证明：给定，对任意，都存在，，使得，且和在上“m次缠绕”
进才中学2024-2025学年第二学期高三年级数学周练九
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则_________．
【答案】
2. 已知等差数列的前项和为，，，则_________．
【答案】110
3. 直线被圆截得的弦长为_________．
【答案】4
4. 已知,则实数_________．
【答案】
5. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则_________．
【答案】
6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为_________．
【答案】
7.若随机变量，，则_________．
【答案】
8. 已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中
任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是_________．
【答案】
9. 已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为，则的倾斜角的最大
值为_________．
【答案】
10.已知函数满足，且则方程的实数解的个数为_________．
【答案】5
11. 甲、乙、丙三人分别从2个不同数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，记中元素的个数为，则的概率为_________．
【答案】
【解析】设两个不同数为，一个元素被某人选中的概率为且相互独立，
所以一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为，
由中元素的个数，表示至少一个元素被三人选中，
而两个元素均未被三人选中的概率为，
所以的概率为.故答案为：
12.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为_________．
【答案】
【解析】作出圆锥的轴截面SAB，圆锥的底面圆心为点O，如图：
小球与圆锥的侧面相切，小球、均同时与圆锥的底面和侧面相切，
可知，，，则，，
根据对称性可知，则，，
作于点P，于点Q，
则，，
则小球能接触到的圆锥容器内壁最大面积为上下底面半径分别为、，母线长为的圆台侧面积加上半径为的圆的面积，可得小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
故答案为：
二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13. 若，则复数对应的点位于第（ ）象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】D
14. 设，随机变量的分布列是则当在内增大时，（ ）
0 1 2
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
【答案】D
【解析】,
,
，故先增大后减小.故选D .
15.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】设，，离心率为，则
由，，，解得，
则，又，则，
，解得，故选C.
16. 设函数是奇函数.若函数，，则( )
A. 28 B. 33 C. 38 D. 43
【答案】A
【解析】由函数是奇函数可知，
因此可得；
又，因此；
两式相加可得；
又，因此.故选A
三、解答题（本大题共有5题，总分78分）．
17．（本题满分14分）木题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，，，点M在棱上，平面.
（1）求证：M为的中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连接与交于点，连接.
因为平面，平面平面，平面，
所以.在中，为中点，所以为中点. ………………6分
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，.
因此，,.
设平面的法向量，
则即
令，则，，于是.
设平面的法向量，
则即
令，则，，于是.
设平面与平面的夹角为，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为. ………………13分
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若，，求.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），由正弦定理得，得，
所以，由，得.
（2）如图，因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即；
在中，由余弦定理得，
即，①所以，得，
由解得，代入①得，由解得.
在中，由余弦定理得.
19．（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分．
不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为.
（1）若，求；
（2）若，且，求的最小值；
（3）若，求：当且，的值.
【答案】（1）； （2）3； （3）证明见解析.
【解析】（1）由，得.
（2）由，得．
则
.
令，得．
又上单调递减，
且，故的最小值为3．
（3）由，得
，
.
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.
设直线，的斜率分别为，.
（1）求的方程；
（2）求证：为定值；
（3）设直线，相交于点，求证：为定值.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析
【解析】（1）由，，
所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为，焦距为，则，，所以，所以的方程为.
（2）①由，直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为，，，，
联立，得，则，，，所以．
又，所以，，
所以
.
②由①知，所以． 作关于轴的对称点，
则，，三点共线．又，，设.
则直线方程即为直线方程.
又直线方程为，作差，得，
所以，所以，， 由，得．
又因为，所以，即，即，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以．
21．（本题满分18分）本题共4个小题，第1-2小题各4分，第3-4小题各5分．
记 已知函数和的定义域都为D，若存在，，，，使得，当且仅当，，2，，m时等号成立，则称和在D上“m次缠绕”.
（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由;
（2）设，，若和在上“2次缠绕”，求a的取值范围;
（3）设，若和在上“3次缠绕”，求a的取值范围;
（4）记所有定义在区间上的函数组成集合A，证明：给定，对任意，
都存在，，使得，且和在上“m次缠绕”.
【答案】（1）“2次缠绕” （2） （3） （4）证明见解析
【解析】（1）函数，和，“2次缠绕”，
理由如下：因为对任意，，
当且仅当和时，等号成立，
所以由“m次缠绕”定义可知和在上“2次缠绕”；
（2）
（3）设，
因为和在上“3次缠绕”，所以存在互异的三个正数，，，
使得，当且仅当，，2，3时等号成立，
所以，，是的三个零点.注意到，所以1是的一个零点.
，
①当时，，
在上递增，1是的唯一零点，不合题意，
②当时，，在上递减，1是的唯一零点，不合题意，
③当时，令，，
存在两根，
当时，，递减;
当时，，递增，
当时，，递减，所以，
因为，
设，，因为，
所以在上递减，所以，即，
所以存在，又，，
所以存在，，
所以恒成立，
即时，和在上“3次缠绕”，
综上，a的取值范围是
（4）取，设，
令，，，
显然，且，
当且仅当，，2，，m时，等号成立.
所以对任意，存在，，，
其中，
使得，且和在上“m次缠绕”.

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