资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题一 二次根式
01 知识结构 二次根式
定义：形如（）的式子叫做二次根式
性质
（1） ≥0（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根.
（2）（）2=a（a≥0）意义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
（3）2=│a│ 意义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
化简 ：最简二次根式
运算：（1）二次根式的乘除
（2）二次根式的加减
应用：（1）求线段长度（2）求面积
02 重难点突破
重难点1 二次根式有意义的条件
【例1】．代数式有意义，则x的取值范围是 ．
取值范围的确定：由所给代数式形式确定
所给代数式是整式，取值范围是全体实数；
所给代数式是分式，取值范围是分母不为0的所有实数；
所给代数式是偶次根式，取值范围是非负数；
所给代数式是0次幂或负整数指数幂，取值范围是底数不为0；
所给代数式是复合形式，取值范围是所有式子都有意义。
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．方程的根是 ．
4．若，则的值为 ．
5．若式子有意义，则的取值范围是 ．
重难点2 二次根式的性质
【例2】．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
这类问题主要是利用非负数的和为0，进而得出每个非负数的式子都是0，从而构造方程来求未知数的值。
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
2．若a，b为实数，且，则 ．
3．式子化简的结果为 ．
4．，则 ．
5．若的最大值为，最小值为，则的值为 .
6．【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当，时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
(1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______；
(2)求分式的最小值
(3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？
重难点3 二次根式的运算
【例3】．计算
二次根式运算中，多项式乘法法则、除法法则以及乘法公式仍然适用。
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是 ．
3．已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)
4．先化简，再求值：，其中．
5．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；
(2)若的整数部分是，小数部分为，，求的值．
6．已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)计算：　 　；
(3)比较与的大小，并说明理由．
重难点4 与二次根式有关的化简求值
【例4】．先化简， 再求值： 其中
将二次根式运算与分式化简求值相结合考查，是最常见的考查形式，当未知数的值是无理数时，求值就用到了二次根式的运算。
1．已知，则 ．
2．利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：．
仿照上述操作方法，完成下面的问题：
当时，
①得到的整系数方程为 ；
②计算： ．
3．已知，，求的值．
4．先化简，再求值：，其中．
5．已知，，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
6．（1）已知，求代数式的值．
（2）已知实数满足，求的值．
重难点5 二次根式的应用
【例5】．我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米．
(1)求长方形空闲地块的周长；
(2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
将实际问题转化为数学问题，所给数据中有二次根式时，就涉及二次根式的运算，利用二次根式的性质及运算法则计算。
1．如图，在矩形中，是的中点，且，（均为正数），则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：）
3．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
4．综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小．
解：∵，，
而，
∴．
参考上面例题的解法，回答下列问题：
(1)试比较与的大小；
(2)试比较与的大小．
5．秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．
(1)在中，，请用上面的公式计算的面积；
(2)如图，在中，，，，，垂足为，求的长．
6．现有两块同样大小的长方形纸片，小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)原长方形纸片的周长是_____ （结果化为最简二次根式）；
(2)写出图①中阴影部分的长和宽，并求出它的面积；
(3)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题一 二次根式（解析版）
01 知识结构 二次根式
定义：形如（）的式子叫做二次根式
性质
（1） ≥0（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根.
（2）（）2=a（a≥0）意义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
（3）2=│a│ 意义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
化简 ：最简二次根式
运算：（1）二次根式的乘除
（2）二次根式的加减
应用：（1）求线段长度（2）求面积
02 重难点突破
重难点1 二次根式有意义的条件
【例1】．代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查分式和二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义，从而完成求解．根据分母不为0和被开方数为非负数列出不等式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意：，
解得：，
故答案为：．
取值范围的确定：由所给代数式形式确定
所给代数式是整式，取值范围是全体实数；
所给代数式是分式，取值范围是分母不为0的所有实数；
所给代数式是偶次根式，取值范围是非负数；
所给代数式是0次幂或负整数指数幂，取值范围是底数不为0；
所给代数式是复合形式，取值范围是所有式子都有意义。
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定，再根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提．
【详解】解：由于二次根式有意义，
所以，
所以，
故选：B．
2．若的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：原式根号下面部分为，
，
，
，
，
∴，
，
，
，，，
，当且仅当或时，取到等号，
根据二次根式的性质只能等于0，
，
当时，；
当时，；
原式，
故选：D．
3．方程的根是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，能把无理方程转化成有理方程是解题的关键．先求出使得二次根式有意义的x的取值范围，再根据时，至少一个为即可得到答案．
【详解】解：由题意，且 得到，
，
或，
解得或，
又，
，
∴方程的根是；
故答案为：．
4．若，则的值为 ．
【答案】2025
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得：，
，
，
，
，
故答案为：2025．
5．若式子有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式被开方数是非负数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据二次根式的性质二次根式被开方数是非负数，和分式有意义，可得且，即可得或，分别求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴且，
∴或，
解得：，
∴的取值范围是，
故答案为：．
重难点2 二次根式的性质
【例2】．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、完全平方公式等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
则
，
故选：C．
这类问题主要是利用非负数的和为0，进而得出每个非负数的式子都是0，从而构造方程来求未知数的值。
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得，则，代入求值即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【详解】解：由题意，得，
解得．
∴，
∴．
故选：B．
2．若a，b为实数，且，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的运算，有理数的乘方运算，熟练掌握相关性质是解题的关键；
根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，可得，，再代入即可求解．
【详解】解：，，
，
，，
；
故答案为：．
3．式子化简的结果为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
4．，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式，算术平方根，不等式等知识．熟练掌握两个式子相等，对应部分相等，是解决问题的关键．
先去括号，根据含部分对应相等，得到，根据剩余部分对应相等，得到，即得．
【详解】∵
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴符合，
∴
故答案为：．
5．若的最大值为，最小值为，则的值为 .
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可．
【详解】解：∵
∴，
解得：，
将等式两边平方，得，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
6．【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当，时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
(1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______；
(2)求分式的最小值
(3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？
【答案】(1)；
(2)6
(3)用来做对角线的竹条至少要100厘米长
【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）将化为根据题意即可解答；
（3）得到，在根据题中公式即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得；
，
故式子的最小值为，
故答案为：；；
（2）解：，
∴的最小值为6；
（3）解：四边形的面积；
∴，
∴，
答：用来做对角线的竹条至少要100厘米长．
重难点3 二次根式的运算
【例3】．计算
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先把小括号内的二次根式化简，再计算小括号内的加减法，最后计算二次根式除法即可得到答案．
【详解】解：
．
二次根式运算中，多项式乘法法则、除法法则以及乘法公式仍然适用。
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
先把括号里的二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可得答案．
【详解】解：，
故答案为：B．
2．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘法，再化简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：
3．已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式．
（1）利用完全平方公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：，，
．
4．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，单项式乘多项式．
运用完全平方公式，单项式乘多项式展开，合并同类项，最后把m的值代入进行计算即可．
【详解】原式．
当时，原式．
5．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；
(2)若的整数部分是，小数部分为，，求的值．
【答案】(1)4，
(2)3或13
【分析】本题考查二次根式估值，绝对值计算，二次根式混合计算等．
（1）根据题意可得，继而得到本题答案；
（2）由题意得，，，再将字母的值代入式子的值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是4，
∴小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：，
的整数部分，小数部分，，
当时，，
，
，
，
；
当时，，
，
，
，
；
∴或13．
6．已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)计算：　 　；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)
(3)，理由见详解
【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可；
（2）将原式整理为，即可获得答案；
（3）比较与的大小，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）
．
故答案为：；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键．
重难点4 与二次根式有关的化简求值
【例4】．先化简， 再求值： 其中
【答案】；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
把代入得：
原式．
将二次根式运算与分式化简求值相结合考查，是最常见的考查形式，当未知数的值是无理数时，求值就用到了二次根式的运算。
1．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
2．利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：．
仿照上述操作方法，完成下面的问题：
当时，
①得到的整系数方程为 ；
②计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
①根据已知可得，然后利用完全平方公式进行计算即可解答；
②利用①的结论可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：①，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴得到的整系数方程为：，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
3．已知，，求的值．
【答案】49
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先求出的值，再根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
4．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题关键在于理解并应用二次根式有意义的条件，即根号内的表达式具有非负性．通过分析给出的条件，可以确定和的具体数值，再将二次根式化简，并代入值计算即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，
当，时，原式．
5．已知，，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)9
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案；
（2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
6．（1）已知，求代数式的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值：
（1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可；
（2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（2）∵有意义，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴．
重难点5 二次根式的应用
【例5】．我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米．
(1)求长方形空闲地块的周长；
(2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)长方形的周长为米
(2)要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元
【分析】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式计算即可；
（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
【详解】（1）解：∵长方形的空闲地块，长为米，宽为米，
∴（米），
∴长方形的周长为米；
（2）解：通道的面积为：（平方米），
购买地砖的花费为：（元），
∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元．
将实际问题转化为数学问题，所给数据中有二次根式时，就涉及二次根式的运算，利用二次根式的性质及运算法则计算。
1．如图，在矩形中，是的中点，且，（均为正数），则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，能够将所求三角形的面积转化为矩形和直角三角形的面积差是解答本题的关键．
根据“在矩形中，是的中点，且，”，可设，，再根据即可求解．
【详解】解：矩形中，是的中点
，，
故可设，，
，
故答案为：A．
2．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出和的近似数，再根据题意解答．
【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为和，
原矩形木板的面积为；
（2）解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下：
，，
（块），（块），
（块）．
从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条．
故答案为：．
3．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】(1)
(2)7200元
【分析】本题考查二次根式实际应用，二次根式混合计算，平方差公式计算等．
（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可；
（2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：
．
∴周长是：；
（2）解：，
，
，
（元），
∴张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元．
4．综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小．
解：∵，，
而，
∴．
参考上面例题的解法，回答下列问题：
(1)试比较与的大小；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键，
（1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可；
（2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是，记为三角形的面积，那么．
(1)在中，，请用上面的公式计算的面积；
(2)如图，在中，，，，，垂足为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的应用，明确题意、运用海伦－秦九韶公式求三角形的面积是解题的关键．
（1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
（2）由海伦-秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的面积为．
（2）解：∵，，，
∴，
∴的面积为，
又∵，
∴．
6．现有两块同样大小的长方形纸片，小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)原长方形纸片的周长是_____ （结果化为最简二次根式）；
(2)写出图①中阴影部分的长和宽，并求出它的面积；
(3)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【答案】(1)
(2)阴影部分的长为，宽为，面积为3
(3)不能截出，见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，算出正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答；
（2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答．
（3）先计算，则，据此即可作答．
【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为；
则截出的正方形纸片B的边长为，
则原长方形纸片的长为，宽为，
∴，
故答案为：
（2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长，
即阴影部分的长为，
则
∴阴影部分的宽为，
∴阴影部分的面积．
（3）解：不能截出，理由如下：
∵面积为的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑