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2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题二 二次根式期末复习提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
4．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
5．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（　　）
填空：（每小题4分，共20分）①的倒数是；②的绝对值是；③；④⑤的相反数是
A．4分 B．8分 C．12分 D．16分
6．若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．与最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24
10．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知，则代数式的值是 ．
12．化简 ．
13．已知实数x、y满足，则的值等于 ．
14．若，则 ．
15．已知a＝﹣，则代数式a3+5a2﹣4a﹣6的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
(1)；
(2)．
17．（8分）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
【学习新知，类比求解】解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解．
【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____；
(3)先化简，再求值：，其中．
19．（8分）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小．
解：∵，，
而，
∴．
参考上面例题的解法，回答下列问题：
(1)试比较与的大小；
(2)试比较与的大小．
20．（8分）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．

(1)求大长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为16千克，求张大伯种植蔬菜的总产量．
21．（8分）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题
(1)若，只有当_______时，有最小值_______；若，只有当_______时，有最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
22．（12分）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，)
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
23．（13分）综合探究：观察发现：
，
，
，
，
，
．
…
建立模型：形如的化简（其中，为正整数），只要我们找到两个正整数，（），使，，那么．问题解决：
（1）根据观察证明“建立模型”的结论是正确的；
（2）化简：① ；
② ；
（3）已知一个长方形的长为，宽为，若某正方形的面积与该长方形的面积相等，设正方形边长为，求正方形的边长．
2024-2025学年人教版八年级下期末复习专题特训
专题二 二次根式期末复习提升卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入题后括号内）
1．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
【详解】解：A．，原式不是最简二次根式，不符合题意；
B． ，原式不是最简二次根式，不符合题意；
C．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意；
D．是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意可知在实数范围内有意义要使即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：A．
3．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选：D．
4．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的乘法运算、无理数的估算，先根据二次根式的乘法化简原式，再根据无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：
，
∵，即，
∴，
故选：C．
5．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（　　）
填空：（每小题4分，共20分）①的倒数是；②的绝对值是；③；④⑤的相反数是
A．4分 B．8分 C．12分 D．16分
【答案】B
【分析】本题考查了分母有理化，相反数、倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①的倒数是，该题做错了；
②的绝对值是，该题做对了；
③，该题做错了；
④，该题做对了；
⑤的相反数是，该题做错了；
∴得分应是（分），
故选：B．
6．若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，，
故选：B．
7．与最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先化简得，再根据无理数的估算方法解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
与最接近的整数是，
故选：B．
8．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴值为．
故选：A．
9．如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则．
根据小长方形的长宽列式，依次计算，即可求解．
【详解】解：A、大长方形的长为：，故该选项正确，不符合题意，
B、大长方形的宽为：，故该选项正确，不符合题意，
C、大长方形的周长为：，故该选项不正确，符合题意，
D、大长方形的面积为：，故该选项正确，不符合题意，
故选：C．
10．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，即，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：．
12．化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由题意可知，
∴，则，
，
故答案为：．
13．已知实数x、y满足，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的非负性进行求解及掌握二次根式化简的基本步骤及方法．先根据求出的值，再对进行化简代值计算可得．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
14．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，
原式
，
当时，
原式，
故答案为：．
15．已知a＝﹣，则代数式a3+5a2﹣4a﹣6的值为 ．
【答案】-4
【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3
＝7a－7－7a+3
＝－4．
故答案为－4．
【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，计算二次根式除法，再计算二次根式减法．
（2）先化简二次根式，计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
17．（8分）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
【学习新知，类比求解】解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解．
【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】，7，7；（1）；（2）无解
【分析】学习新知，类比求解：根据题意补充完整即可；
（1）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可；
（2）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可．
【详解】学习新知，类比求解：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
答案为：，7，7 ；
学会转化，解决问题：
（1），
解：移项得，，
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
（2），
移项，
去根号，两边同时平方得方程，
解这个方程，得，
经检验，不是是原方程的解．原方程无解．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)，8
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
（1）（2）根据二次根式的性质判断即可；
（3）根据二次根式的性质把原式化简，把代入计算即可．
【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：，
故答案为：；
（3）解：
，
当时，原式．
19．（8分）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小．
解：∵，，
而，
∴．
参考上面例题的解法，回答下列问题：
(1)试比较与的大小；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键，
（1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可；
（2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（8分）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．

(1)求大长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为16千克，求张大伯种植蔬菜的总产量．
【答案】(1)
(2)736千克
【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键．
（1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可；
（2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解．
【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为
，
答：大长方形空地的周长为；
（2）解：由题意，种植蔬菜的面积为
，
总产量为（千克），
答：张大伯种植蔬菜的总产量为736千克．
21．（8分）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题
(1)若，只有当_______时，有最小值_______；若，只有当_______时，有最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，2，2，8
(2)每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为米
【分析】（1）根据（均为正实数），分别对和进行化简，求最小值即可；
（2）设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，根据题意得出，然后根据题干提供的方法求的最大值即可．
【详解】（1）解：∵，
又∵
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为；
∵，
又∵，
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为8．
故答案为：1，2，2，8．
（2）解：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，
依题意得：，
即，
∴，
即，
∴，
即，
当时， ，
此时，，
即每间隔离房长为 米，宽为米时，S的最大值为米 ．
【点睛】本题考查了完全平方式和二次根式的运用，解题的关键是能灵活运用题中的结论，求出最小值．
22．（12分）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，)
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
【答案】（1）长，慢；（2）该摆钟1分钟发出43次“滴答”声；（3）该摆钟的摆长为0.25米
【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解，审清题意并根据题意正确列式和方程是解题的关键．
（1）根据即可判断；
（2）将代入计算求出T，即可得解；
（3）令求出l即可．
【详解】解：（1）令，
∵g>0，
∴，
∴，
∴，
即，
∴摆线越长，周期越长，摆得越慢，
故答案为：长，慢；
（2）将代入得：，
∴该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数约为：(次)，
答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声；
（3）令，即，
解得：．
答：该摆钟的摆长为0.25米．
23．（13分）综合探究：观察发现：
，
，
，
，
，
．
…
建立模型：形如的化简（其中，为正整数），只要我们找到两个正整数，（），使，，那么．问题解决：
（1）根据观察证明“建立模型”的结论是正确的；
（2）化简：① ；
② ；
（3）已知一个长方形的长为，宽为，若某正方形的面积与该长方形的面积相等，设正方形边长为，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）正方形的边长为
【分析】(1)先利用完全平方公式将表示出来，再根据题意等量代换，最后等式两边同时开方即可证明；
(2)根据阅读材料以及二次根式的性质进行计算即可；
(3)先求出长方形的面积，然后进行开方，最后运用二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：（1），
，，
．
（2）①，
②．
（3）根据题意，得．
．
答：正方形的边长为．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
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