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2024-2025学年八年级数学下册期末知识点复习题--填空压轴题
【题型1 二次根式的性质与化简】
1.已知，则的值是 ．
2.已知，则2x﹣18y2＝ ．
3.已知，若整数满足，则 ．
4.若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
【题型2 二次根式的运算】
1.若的积是有理数，则无理数m的值为 ．
2.化简并计算： ．（结果中分母不含根式）
3.已知，则 ．
4.已知，且，则 ．
【题型3 利用勾股定理构造直角三角形】
1.已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ．
2.如图，度，，，且，AF平分交BC于F，若，，则线段AD的长为 ．

3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，为小正方形边的中点，，为格点，为，的延长线的交点．
（Ⅰ）的长等于 ；
（Ⅱ）若点在线段上，点在线段上，且满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）． ．
4.如图，一个长方体纸箱，长是6，宽和高都是4，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B，它所走的最短路线的长是 ．
【题型4 勾股定理与分类讨论思想结合】
1.如图，在中，，，点为边的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点．当为直角三角形时，的长为 ．
2.在中，，，过点作的平行线，点是直线上异于点的动点，连接，过点作的垂线交直线于点．若，，则线段的长为 ．
3.如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，过点C作，使，连接，点F是的中点，连接并延长，交边所在直线于点G，若，则的长为 ．
4.在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ．
【题型5 勾股定理及其逆定理与网格作图】
1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上．
①线段的长等于 ；
②在射线上有两点，，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，点，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
2.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC ∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
3.如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：连结三格和两格的对角线，的度数是
4.如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为 ．
【题型6 由平行四边形的性质求值】
1.如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为 ．

2.如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，，则的长为 ．

3.如图，在中，E、F在边上，，连接交于G．，若，则线段的长为 ．

4.如图，在 中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、若，，，则
点到直线的距离是 ．
周长的最小值是 ．
【题型7 确定组成平行四边形点的个数】
1.如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动。若设运动的时间为秒，当 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．

2.如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒3cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），设运动时间为t秒．在运动以后，当t= 秒时，以P，D，Q，B四点恰好组成平行四边形．
3.在中，，，，若以A、B、C、P四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为 ．
4.如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过 秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
【题型8 平行四边形的应用】
1.图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

2.如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ．
3.如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
4.如图1木工师傅将三块不全等的的平行四边形木板拼成了一个邻边长为5和 12的大的平行四边形木板，然后通过裁剪又拼成了一个不重叠，无缝隙的大正方形木板如(图2)，数据如图所示，记图 1 中三个小平行四边形的中心分别为 A，B，C，点 A，C 的图2 中的对应点记为 连结 和 当 时, MN的长为 ．
【题型9 矩形、菱形、正方形与勾股定理的综合运用】
1.如图，在菱形中，点E是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的长等于 ．

2.如图，将矩形纸片沿对折，使点落在上点处，再次沿对折，对折后点恰好与点重合．若四边形是菱形，则 ．

3.阅读理解：平面内任意两点，的距离可以表示为，反之，表示点与点之间的距离．尝试利用阅读内容解决问题：如图，在正方形中，M为上一点，且 ，E，F分别为，上的动点，且，若，则的最小值是 ．

4.如图，四边形中，，，E点是B点关于所在直线的对称点，连、、，若，，则的长为 ．

【题型10 矩形、菱形、正方形与全等三角形的综合运用】
1.如图，在矩形中，点，分别时边，的中点，连接，，点，分别时，的中点，这接，苦，，则的长度为 ．

2.如图，在矩形中，，E是的中点，将沿直线翻折至矩形所在平面内，得到，连接，并延长交于点F，则 ．

3.如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G．过点A作，垂足为点M，交边于点N．若，，则线段的长为 ．
4.如图，正方形，点是射线上的动点，过点作，交直线于点，连接，取中点，连接并延长交直线于点，若，，则的长为 ．

【题型11 与一次函数有关的面积问题】
1.已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作．
（1）当时，的值是 ；
（2）当时，的取值范围是 ．
2.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 .
3.如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为 ．
4.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（3，2），点C的坐标（7，4），直线y＝－x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分．
【题型12 由一次函数的性质求取值范围】
1.一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条牛的k的取值范围是 ．
2.一次函数的图象与x轴的交点坐标为，且，则k的取值范围是 ．
3.已知一次函数．
（1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系中有一条线段，其中，，若这个一次函数的图象与线段相交，则的取值范围是 ．
4.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数，
（1）若，则、的图象与x轴围成的区域内包括边界有 个整点；
（2）若、的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，则k的的取值范围是 ．
【题型13 一次函数的应用】
1.2024年春，在一次长跑拉力赛中，小明和小赵运动的路程S（千米）随时间t（分）变化的图象（全程）如图所示．当两人行驶到离出发点4.5千米时第一次相遇，请问两人比赛开始后 分钟时第二次相遇．
2.甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则
（1） ．
（2） ．
3.在一次趣味运动会中，“抢种抢收”的比赛规则如下：全程50米的直线跑道，在起点和终点之间，每隔10米放置一个小桶，共四个，参赛者用手托着放有4个乒乓球的盘子，在从起点跑到终点的过程中，将四个乒乓球依次放入4个小桶中（放入时间忽略不计），如果中途乒乓球掉出小桶，则需要返回将乒乓球放回桶中，率先到达终点者获胜．小明和小亮同时从起点出发，以各自的速度匀速跑步前进，小明在放入第二个乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二个桶的旁边，且落地后不再移动，但他并未发现，继续向前跑了一段距离，被裁判员提醒后立即原速返回捡球，并迅速放回桶中（捡球时间忽略不计），为了赶超小亮，小明将速度提高了1米/秒，小明和小亮之间的距离y（米）和出发时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则小明在掉出乒乓球后又继续跑了 米后开始返回．
4.甲、乙两车分别从，两地同时相向匀速行驶．当乙车到达地后，继续保持原速向远离的方向行驶，而甲车到达地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达地．设两车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），与之间的函数关系如图中的折线所示，其中点的坐标为，点的坐标为，则的面积为 ．
【题型14 数式或图形中规律问题】
1.如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段分成n等份，分点分别为，过每个分点作x轴的垂线分别交直线于点，用分别表示的面积，则 ．
2.观察下列分母有理化
，……
从计算结果中找出规律
．
3.如图，是边长为的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ．
4.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，且AC边在直线a上，将△ABC绕A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝4+2；…按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则AP2020＝ ．
【题型15 数式或图形中新定义问题】
1.定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，
即：当为非负整数时，如果，则．
如：，，，
试解决下列问题：
① ；② ；
③ ．
2.定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：点，，的“最佳间距”是1．
（1）点，，的“最佳间距”是 ；
（2）当点，，的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ．
3.定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为，
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ；
（2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标
4.定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”．已知在“等腰四边形”中，，且为“界线”，则的度数为
参考答案
【题型1 二次根式的性质与化简】
1.9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
2.
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案为：22．
3.
【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．
【详解】解：
为整数
为
故答案为：5．
4.4030
【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
【详解】m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m﹣1）﹣2017m+2015
= （+1）2×﹣2017（+1）+2015
=（2024+2）×﹣2017﹣2017+2015
=2017+2×2016﹣2017﹣2
=4030.
故答案为4030.
【题型2 二次根式的运算】
1.（答案不唯一）
【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．
【详解】解：
的积是有理数，m是无理数，
是有理数，
令，（是有理数）
解得：，
当即，
时，
故答案为：（答案不唯一）．
2.
【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．
【详解】解：原式=
=．
故答案为．
3.3
【详解】设，则 可化为：，
∴，
两边同时平方得：，即：，
∴，解得：，
∴.
故答案为.
4.．
【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案是：．
【题型3 利用勾股定理构造直角三角形】
1.
【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值．
【详解】构造两直角三角形如图，

，，，，点为上一个动点，，，则：
，，，
由图可知：，
∴的最小值为线段的长，
过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
故答案为：．
2.
【分析】由“SAS”可证≌，≌可得，，，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长．
【详解】解：如图，连接EF，过点A作于点G，

，
，
又，
，
在和中
，
≌．
，
，，
∴
，
，
，
，
平分，
，
在和中
，
≌．
．
．
，
∴
，
，，
，
，
∴
故答案为
3. 与网格线相交，得点，取格点，连结并延长与交于，连接，则线段即为所求．图见解析；
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理可求的长；
（Ⅱ）找到特殊点，为小正方形边的中点，为小正方形边的中心，得到M、N的水平距离，垂直距离3，即可得．
【详解】解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，与网格线相交，得点，取格点，连结并延长与交于，连接，则线段即为所求．
证明：由作法可知， 为小正方形边的中点，为小正方形边的中心；
∴．
4.10
【分析】根据题意画出图形，求出AC、BC的长，根据勾股定理求出AB即可.
【详解】有两种情况，如图所示：
（1）如图1，由题意知AC=4，BC=6+4=10
由勾股定理得：
（2）如图2，由题意知：AC=4+4=8，BC=6
由勾股定理得：
（3）如图3，由题意知：AC=4+4=8，BC=6
由勾股定理得：
∵
∴最短是10
故答案为10
【题型4 勾股定理与分类讨论思想结合】
1.或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，，分两种情况：，，分别画出图形，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，点为边的中点，
∴，
依题意得：，
如图，当时，点重合，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，，
∴，
又由折叠可得，，
设，则，
∵，，
∴，
即，
解得，
∴；
综上，的长为为或，
故答案为：或．
2.或
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．分两种情况：当在右侧时，过作，交于，推出是等腰直角三角形，证明，得；再过作于；当在左侧时，过作交的延长线于，分别求解即可得到答案．
【详解】解：当在右侧时，过作，交于，如图所示，

，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
，
，
；
过作于，如图所示，

，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
；
当在左侧时，过作交的延长线于，如图所示，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
综上所述，线段的长为：或．
故答案为：或．
3.或
【分析】分点G在上，和在延长线上，两种情况讨论，当点G在上，连接，证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，设，则，由勾股定理可得，即可求解；当点G在延长线上，连接，同理可证，得，，由是等腰直角三角形，点是的中点，得到是的垂直平分线，推出，设，则，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，当点G在上，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，即，
是等腰直角三角形，点是的中点，
是的垂直平分线，
，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即；
如图，当点G在延长线上，连接，
同理可得：，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，点是的中点，
是的垂直平分线，
，
设，则，，
，
，
，
，即，
解得：，
，
综上，的长为或
故答案为：或．
4.4或
【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积．
【详解】解：当时，如图：
∵，，，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，
∴的面积是：；

当时，
如图，过作于，

设，
∵，，
∴，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴的面积是：．
综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或．
故答案为：4或．
【题型5 勾股定理及其逆定理与网格作图】
1. 图见解析，延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求
【分析】①根据勾股定理求解即可；
②，延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求
【详解】①
故答案为：
②如图，点，点即为所求．
如图，延长过格点，则点满足，则,
取格点，使得，连接交射线于点，则点即满足，为所求．
故答案为：延长过格点，则点满足，取格点，连接交射线于点，则点即满足，为所求．
2.=
【分析】连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得 AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．
【详解】解：连接AC，BD，
根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，
∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°．
故答案为：＝．
3.
【分析】如图，连接，，则，根据平行线的性质得到．计算出，，，得到是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】如图，连接，，则，．
∵，，，，，是等腰直角三角形，．
故答案为．
4.2
【分析】连接AD、CD，由勾股定理得：，，，得出AB＝DE＝BC，，由此可得△ABD为直角三角形，同理可得△BCD为直角三角用形，继而得出A、D、C三点共线.再证明△ABC≌△DEB，得出∠BAC＝∠EDB，得出DF⊥AB，BD平分∠ABC，再由角平分线的性得出DF＝DG＝2即可的解.
【详解】连接AD、CD，如图所示：
由勾股定理可得，
，，，
∵BE=BC=5，∴AB=DE＝AB＝BC ，，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°，∴点A、D、C三点共线，
∴，
在△ABC和△DEB中，
，∴△ABC≌△DEB(SSS)，∴∠BAC＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，
∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，
∵AB=BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，
∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2.
【题型6 由平行四边形的性质求值】
1.
【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．

∵中，，，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理可得出．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当最小时，最小．
∵当点I，H，C三点共线时，最小，
∴此时最小，如图，

∵，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
2.
【分析】连接交于G，连接．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，根据题目中作图过程确定是的平分线，根据等角对等边和等价代换思想确定，根据菱形的判定定理和性质确定，，根据角平分线的定义，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长度，进而即可求出的长度．
【详解】解：如图所示，连接交于G，连接．

∵四边形是平行四边形，
∴，即．
∴．
∵以点B为圆心，的长为半径作弧交于点，
∴．
根据作图过程可知是的平分线．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴平行四边形是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
3.
【分析】取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，作于点R，在上截取，连接，证明四边形、、都是平行四边形，得到，，利用面积法求得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：取的中点P，连接，过点C作交的延长线于点Q，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
作于点R，在上截取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4. 5 /
【分析】过点作的垂线，交延长线于点，在等腰直角三角形中求即可；
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；则长为周长的最小值；在等腰直角三角形中求，即可.
【详解】解：如图：过点作的垂线，交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
∴
，
，
∴点到直线的距离是5；
故答案为；
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，
则长为周长的最小值；
由知，在中，，，
，
，
由对称性可知，，，
是等腰三角形，
又，
，
，
∴周长的最小值；
故答案为：.
【题型7 确定组成平行四边形点的个数】
1.或4或2或3
【分析】如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，，
∴，，

当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴时，
解得，不合题意，舍去；
当四边形是平行四边形时，则，
∴时，
解得：；
当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：，
综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
故答案为：或4或2或3．
2.4.5
【分析】先求出点P到达点D的时间，即可得出点Q的运动距离，可得点Q在BC边上运动的次数，根据平行四边形的性质可得PD=BQ，分情况列方程求出t值，进而可得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=9cm，
∴BC=AD=9，AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵点P的速度是每秒1cm，
∴两点运动的时间为9÷1=9s，
∵点Q的速度是每秒3cm
∴点Q运动的路程为9×3=27cm，
∴在BC上运动的次数为27÷9=3（次），
第一次PD=QB时，9 t=9-3t，
解得：t=0，不合题意，舍去，
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，9 t=3t 9，
解得：t=4.5，
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，9 t=27 3t，
解得：t=9；
此时点P与点D重合，点Q与点B重合，不能构成平行四边形，
∴t=9不符合题意，舍去，
故答案为：4.5
3.14、16或18
【分析】先利用勾股定理求出的长，然后分类讨论即可确定答案，
本题考查了，勾股定理，拼接平行四边形问题，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】解：在中，，，，，
当以为对角线时，此时的周长为；
当以为对角线时，此时的周长为；
当以为对角线时，此时的周长为.
故答案为：14或16或18．
4.
【分析】根据t的值讨论M、N的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】如图，
在直角△ABE中，AE==5cm．
设运动的时间是t秒．
当0＜t＜2时，M在CD上，N在DA上，
若平行四边形是AEMN，
则AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；
当t=2时，M在C点，DN=4cm，
此时，AN≠EC，
则不能构成平行四边形；
当2＜t＜4.5时，M在BC上，
则EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，
当9-2t=8-t时，
解得：t=1（舍去），
当4.5＜t＜6时，M在BC上，
则EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，
当2t-9=8-t时，
解得：t=，
此时四边形AMEN是平行四边形；
当6＜t＜8时，M在AB上，N在AD上，
不能构成平行四边形；
当t=8时，Q与A重合，不能构成平行四边形形．
综上所述：经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
故答案为．
【题型8 平行四边形的应用】
1. 12
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；
（2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解．
【详解】解：（1） ，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）当窗户开到最大时，，，
，
，
，，
；
当关闭状态下，，
窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，
故答案为：12．
2.200m
【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°
∴
∴△ABC是等边三角形
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m
故答案为：200m．
3.4
【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．
共能作出4个平行四边形．
故答案为：4．
4.
【分析】根据题意，得，,结合点B是对角线的中点，点C是对角线的中点，计算，正方形的面积等于平行四边形的面积，得到，，设，则，则，，根据勾股定理，得，计算即可，本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，拼图的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．
【详解】根据题意，得，,则，
∵点B是对角线的中点，点C是对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则
则，
∵，
∴,
故点C到得距离等于点到得距离，为，
设与的交点是Y，
则，
∵,
故
解得，
故答案为：．
【题型9 矩形、菱形、正方形与勾股定理的综合运用】
1.
【分析】连接、,延长交延长线于点F．先证明为等边三角形，得到，，从而求出．再证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出．
【详解】解：如图，连接、,延长交延长线于点F．
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．

故答案为：
2.
【分析】连接，先证，从而得为等边三角形，再证为等边三角形，进而得，设，则，，于是可得，据此可得的值．
【详解】解：连接，如图：

四边形为矩形，
，，
，
由翻折的性质得：，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
又，
为等边三角形，
，，
，
，
设，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
3.
【分析】本题主要考查数形结合，涉及两点之间距离、正方形的性质以及最值的求解，根据题意建立直角坐标系，分别表示点的坐标，利用给定的距离表示和，即可求得答案．
【详解】解：以C为坐标原点，为y轴，为x轴，如图，

设E点坐标为，F点坐标为，则，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
则，
，
∴
，
上式表示点到点与点的距离和的最小值，即求的最小值；
如图，作点T关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，
当点P与点G重合时，，
而；
∴最小值为．
故答案为：．
4.
【分析】连接，过点C作交的延长线于点M，连接，根据条件可证明、是等腰直角三角形，再根据E点是B点关于所在直线的对称点，可得，过点E作于N，于F，可得四边形是矩形，证明，用等面积法即可求出答案．
【详解】解：连接，如图所示，

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点C作交的延长线于点M，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵E点是B点关于所在直线的对称点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
过点E作交延长线于点N，于F，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型10 矩形、菱形、正方形与全等三角形的综合运用】
1.
【分析】连接并延长交于点，连接，由矩形的性质得，，，从而得到，通过证明可得，，由勾股定理进行计算可得，再由三角形中位线定理即可得到的长．
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，
，
四边形是矩形，
，，，
，
点，分别时边，的中点，，，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
点是的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：．
2.
【分析】连接，设交于点H，如图，根据折叠的性质、矩形的性质和三角形的外角性质可证明，进而可得四边形是平行四边形，可得，然后利用勾股定理求出，等面积法求出，进而求得，证明，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，E是的中点，，
∴，，
∴，
连接，设交于点H，如图，
∵将沿直线翻折至矩形所在平面内，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则在直角三角形中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
则在直角三角形中，；
故答案为：．

3.20
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．连接，，，先证明，得到，，证明为等腰直角三角形，从而可证明，设，则根据勾股定理列方程并求解，得到，即可得到答案．
【详解】如图，连接，，，
四边形为正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
设，
，，
，
，，
在中，，
即，
解得，
，
．
故答案为：20．
4.或
【分析】当点在线段上时，作于，由正方形的性质可得，，，证明是等腰直角三角形，，，证明得出，证明是等腰直角三角形得出，，最后由勾股定理，计算即可得出答案；当点在射线上时，同样的方法即可求解．
【详解】解：点在线段上时，如图，作于，

四边形是正方形，，
，，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点在射线上时，如图，作于，

四边形是正方形，，
，，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
故答案为：或．
【题型11 与一次函数有关的面积问题】
1. 或
【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成的三角形的面积问题；
（1）将代入得出，，作出图形，根据三角形的面积即可求解；
（2）依题意得出过定点，则点到轴的距离为,根据，结合题意，得出和时的值，结合图象即可求解．
【详解】解：（1）当时，，
如图所示，设交于点，与轴交于点，与轴交于点，则
∴，解得：，则，
当时，，∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴过定点，则点到轴的距离为,
设与轴交于点，则,则
∴
当时，
解得：或
当时，
解得：或
∵
∴或
故答案为：或．
2.
【分析】如图，利用正方形的性质得到，由于直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则，然后根据三角形面积公式计算出的长，从而可得点坐标．再由待定系数法求出直线l的解析式.
【详解】解：如图，
经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，
，
而，
，
，
点坐标为，．
设直线l的解析式为，
∴，解得，
∴直线l的解析式为
故答案为．
3.或或或
【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：过作于F，如图：
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图：
∵，；
∴直线为，
令得，
∴，
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或；
当P在y轴上时，如图：
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或，
综上所述，P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
4.8
【分析】先连接AC、BD交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将□ABCD的面积平分，然后计算出过E且平行于直线y=-x的直线解析式，从而可得直线y=-x要向右平移10个单位，进而可得答案．
【详解】解：连接AC、BD，交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将 ABCD的面积平分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CE，
∵A（3，2），C（7，4），
∴E（5，3），
∵PE平行于直线y=-x，
∴k=-1，
设PE的解析式为y=-x+b，
∵把E（5，3）代入，得3=-5+b，
∴b=8,
∴PE的解析式为y=-x+8，
直线y=-x要向右平移8个单位，
∴时间为8÷1=8（秒），
故答案为：8．
【题型12 由一次函数的性质求取值范围】
1.且
【分析】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解．
【详解】解：联立与，
得，
解得，
即一次函数()与的图像的交点的横坐标为，
当时，，
，
∴，
解得；
当时，与两条直线平行，且的图象在直线的下方，所以，当时，，满足题意；
又，
满足条件的的取值范围是且，
故答案为：且．
2.
【分析】由，求得，再根据已知和不等式的性质解不等式即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为，
∴由得，
∵，
∴，且，
则，解得；
故答案为：．
3. 或
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题．
（1）将函数解析式转化为， 即可求解；
（2）由（1）可知定点C，即可求解直线的解析式，由一次函数的图象与线段相交，即可求解的取值范围．
【详解】解：（1）将一次函数变形为：
当时，即时，
不论取何值，函数一定经过一个固定的点，这个点的坐标是
故答案为∶ ．
（2）由（1）问可知一次函数经过一个固定的点为C点坐标为，
设直线解析式为：，
代入点坐标可得：
，
解得：，
设直线解析式为：，
代入点坐标可得：
，
解得：，
一次函数的图象与线段相交，
或．
故答案为：或．
4. 4 或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程求与x轴的交点坐标，根据x、y为整数确定k的取值范围．
（1）求出直线与直线交于，再画出图形可得答案；
（2）分两种情况，画出图形可得答案．
【详解】解：（1）若，则
作出，的图象，
则，的图象与x轴围成的区域如图中阴影部分所示，

其中的整点有：，，，，则整点共有4个．
（2）因为，
所以的图象恒经过点，
当时，如图：

直线和交于，
由图可知当直线与轴交点在和之间时，、的图象与轴围成的区域内恰有6个整点，包括，不包括，
把代入得：，解得；
把代入得：，解得；
；
当时，如图：

同理可得；
综上所述，或．
【题型13 一次函数的应用】
1.32
【分析】根据甲8-28分钟运动了2.5千米，可求出甲这段时间的速度，也可求出4.5千米时，对应的时间为24分，设直线OD的解析式为y=kx，将点(24，4.5)代入可得出k的值，继而将x=48代入可得出比赛的全程；从而得出点C坐标，即求出直线BC的解析式，联立直线OD与BC的解析式即可得出第二次相遇的时间．
【详解】解：根据甲8-28分钟运动了5-2.5=2.5(千米)，
所以可得甲这段时间的速度为：(km/分)，
故从2.5千米运动至4.5千米需要=16(分钟)，
即4.5千米对应的时间为16＋8=24(分钟)；
设直线OD的解析式为y=kx，将点(24，4.5)代入可得：24k=4.5，
解得：k=，
故直线OD的解析式为y=x，
当x=48时，y=9，
即这次比赛的全程是9km；
∴点C的坐标为(44，9)， 点B的坐标为(28，5），
设直线BC的解析式为y=ax+b，则
，
解得：，
即直线BC的解析式为y=，
联立直线OD与直线BC的解析式可得：
，解得：，
即第二次相遇的时间是第32分钟．
故答案为：32．
2. 50
【分析】甲出发时，乙行驶了1小时，此时二人相距60km，则可求出乙的速度，甲出发1.5小时后追上乙，此时可求出乙行驶的距离，除以甲行驶的时间即可求出甲的速度，甲行至B地时，此时是甲乙相距最远的时候，由图可知相距80km，80除以甲乙的速度差即可求出甲追上以后行驶至B地的时间，即可求得b值，甲在B地停留时，甲乙之间的距离在缩短，当甲返程时，甲乙之间的距离在加速缩短，此时可知c=b+0.5h（30分钟），根据乙的速度可以求出甲停留时甲乙之间缩短的距离量，用80km减去此值即可求出a值，甲开始返程时，甲乙相向而行，用a值除以甲乙速度之和即可求得d值．
【详解】乙的速度：60÷1=60（km/h），
甲追上乙时，乙行走的距离为：60×(1.5+1)=150（km），
则甲的速度为：150÷1.5=100（km/h），
追上后甲行至B地的用时：80÷(100-60)=2（h），
则b=1.5+2=3.5（h），
则c=b+0.5=3.5+0.5=4（h），
30分钟内，甲乙之间缩短的距离为：60×0.5=30（km），
则a=80-30=50（km），
甲乙相向而行再次相遇所用时间：50÷(100+60)=0.3125（h），
则d=c+0.3125=4.3125=（h），
故答案为：50，．
3.6
【分析】结合图像，运用数形结合的思想，计算判断即可．
【详解】解：根据题意，得：小明捡球后，与小亮之间的距离为4米，小亮中间没有停止也没有返回，
∴小亮的速度为(10×2+4)÷4=6(米/秒)，
根据图象，小明到达终点时，小亮距离终点还有6米，即小亮已经跑了50-6=44(米)，
所用时间为44÷6= (s)，
∴小明从捡到球到到达终点的用时为：-4= (s),
∴小明提速后的速度为(50-10×2)÷=9(米/秒)，
∴小明提速前的速度为9-1=8(米/秒)，
∴小明在掉出乒乓球后又继续跑了(-10×2)÷2=6(米)，
故答案为：6．
4.1200
【分析】5小时后两车距离最大，可知甲车到达B地用5小时，从而可求得甲车的速度，3小时后相遇，可求得两车的速度和，从而求得乙车的速度，从而求得F点纵坐标，设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，根据甲乙两车的路程相差300千米，列方程可求得t的值，即G点的坐标，最后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵的坐标为，
∴AB=300千米．
∴甲车的速度=300÷5=60千米/小时，
又∵300÷3=100千米/小时，
∴乙车的速度=100-60=40千米/小时，
甲车到达B地时，两车相距：40×5=200，即F（5,200），
设甲、乙两车出发后经过t小时同时到达C地，依题意可得
60t-40t=300，
解得t=15，即G（15,0），
∴=，
故答案为：1200．
【题型14 数式或图形中规律问题】
1.
【分析】如图，作于M，．由题意可知：，四边形是矩形，四边形是矩形，推出，，，可得．
【详解】解：如图，作于M，，
由题意可知：，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
故答案为：．
2.2022
【分析】先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后用平方差公式计算．
【详解】解：原式
．
故答案为：2022．
3.
【分析】根据几何图形特征，先求出、、，根据求出的结果，找出规律，从而得出．
【详解】∵点E是BC的中点，ED∥AB，EF∥AC
∴DE、EF是△ABC的中位线
∵等边△ABC的边长为1
∴AD=DE=EF=AF=
则=
同理可求得：=，=
发现规律：规律为依次缩小为原来的
∴=
故答案为：．
4.2692+1348．
【分析】观察图形的变化可得，；；；；；；．发现规律即可求解．
【详解】解：观察图形的变化可知：
AP1＝；
AP2＝2+；
AP3＝4+；
AP4＝4+4；
AP5＝6+4；
AP6＝8+4＝2（4+2）；
…．
发现规律：
AP3n＝n（4+2）；
AP3n+1＝n（4+2）+2；
AP3n+2＝n（4+2）+2+2．
∴AP2020＝AP673×3+1＝673（4+2）+2＝2692+1348．
故答案为：2692+1348．
【题型15 数式或图形中新定义问题】
1. 2 3
【分析】①直接根据新定义，即可求解；
②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解；
③根据，原式可变形为，即可求解．
【详解】解：①；
②∵，
∴，
当时，；
当为正整数时，∵，
∴，
∴，
∴：，
∴，
∴．
③∵，
∴
．
故答案为①2；② 3；③ ．
2. 3 ，或
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理求两点间的距离等知识，若有两点，，则．
（1）求出、、的值即可得到点，，的“最佳间距”；
（2）分别表示出、和，由“最佳间距”为，分情况讨论得出结论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴点，，的“最佳间距”是3；
故答案为：3；
（2）∵点，，，
∴，，
当时，或
若，
，，符合题意；
若，
，，符合题意；
当时，或，
若，
，，符合题意；
当时，无解，
综上，点的横坐标为，或．
故答案为：，或．
3. 或
【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）根据题意，联立，即可求解；
（2）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标．
【详解】解：（1）联立，
解得，
一次函数的“不动点”为，
故答案为：；
（2）直线上没有“不动点”，
直线与直线平行，
，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
或，
或．
故答案为：或
4.60°或90°或150°
【分析】根据题意，分三种情况：①如图1，当AD=AC时，②如图2，当AD=CD时，③如图3，当AC=CD时，分别求出的度数，即可．
【详解】∵在“等腰四边形”中，，且为“界线”，
①如图1，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC，
∴△ABC是正三角形，
∴=∠BAC=∠BCA=60°；
②如图2，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴=90°；
③如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE，
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE，
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°，∠CBF=60°，
∴=60°+90°=150°．
综上所述：的度数为60°或90°或150°．
故答案是：60°或90°或150°．

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