资源简介

第19章《一次函数》期末知识点复习题
【题型1 根据情景确定函数图象】
1.如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ）

B．
C． D．
2.南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）

B．
C． D．
3.小丽早上从家出发骑车去上学，途中想起忘了带昨天晚上完成的数学作业，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回骑，遇到妈妈后停下说了几句话，接着继续骑车去学校．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与学校的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（ ）．
A．A B．B C．C D．D
4.如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图像中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【题型2 一次函数与三角形的面积综合】
1.如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，四边形为正方形，点C的坐标是，点A的坐标是，若直线l把与正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是( )

A． B． C． D．
2.如图，过点的直线与直线交于．

(1)求直线对应的表达式；
(2)求四边形的面积．
3.如图1所示，在中，是三角形的高，且，，点是上的一个动点，由点向点运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．

(1)由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 ，点E停止运动时距离点C ．
(2)求在点E的运动过程中，的面积与运动时间之间的关系是 ．
(3)求点E停止运动后，求的面积．
4.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．

(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积．
(3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标．
【题型3 一次函数与全等三角形】
1.如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．

(1)求直线的函数表达式；
(2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标．
2.已知：如图点在正比例函数图象上，点坐标为，连接，，点是线段的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为秒．
（1）正比例函数的关系式为 ；
（2）当秒，且时，求点的坐标；
（3）连接，在点运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点的运动速度；如果不全等，请说明理由．
3.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．
4.若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C．
（1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ____ ；
（2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式；
（3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【题型4 一次函数与等腰三角形】
1.已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，且．
（1）求A点坐标；
（2）求的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标．
2.等腰三角形中，周长为，设底边为，腰长为．
求与之间的函数关系式；
求自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中画出函数的图象．
3.如图是8×8的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是格点（网格线的交点）．以网格线所在直线为坐标轴，在网格中建立平面直角坐标系xOy，使点A坐标为（－2，4）．
(1)在网格中，画出这个平面直角坐标系；
(2)在第二象限内的格点上找到一点C，使A、B、C三点组成以AB为底边的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是______；
(3)点D为x轴上一动点，当△ABD的周长最小时，点D的坐标为_________．
4.如图，直线l1：y1=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l 1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至 A，设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，APQ的面积S与t的函数关系式；
②是否存在t的值，使APQ面积为APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
③是否存在t的值，使APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型5 一次函数与等腰直角三角形】
1.如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC．
（1）A（　 　）；B（　 　）；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交于点F．
①求证：BD＝ED；
②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2.如图，等腰在平面直角坐标系上，．点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴的正方向运动，过点作直线，直线与射线相交于点．
（1）点的坐标为____________；
（2）点的运动时间是秒．
①当时，在直线右侧部分的图形的面积为，求（用含的式子表示）；
②当时，点在直线上且是以为底的等腰三角形，若，求的值．
3.如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线与的交角内部作等腰，使，边轴，轴，点在直线上，点在直线上，的延长线交直线于点，作等腰，使，轴，轴，点在直线上…按此规律，则等腰的腰长为 ．
4.如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，已知点坐标，点在直线上，横坐标为3，点是轴正半轴上的一个动点，连接，以为直角边在右侧构造一个等腰，且．
(1)求直线的解析式以及C点坐标；
(2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
(3)如图2，连接，，请直接写出使得周长最小时，点E的坐标．
【题型6 一次函数与动点最值问题】
1.在平面直角坐标系中，对任意两点，与，的“距离”，给出如下定义：
若，则点，与，的“距离”是；
若，则点，与，的“距离”的．
如图，已知点，点是直线图象上一个动点，则点与点的“距离”的最小值是 ，此时点D的坐标 ．

2.如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
3.如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
（1）求k和b的值．
（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当最大时，求点P的坐标．
（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且，分别连结，，当四边形的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标．
4.如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OA=OC．点P为线段AC（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O逆时针旋转90°，得线段OQ（见图2）
（1）分别求出点B、点C的坐标；
（2）如图2，连接AQ，求证：∠OAQ=45°；
（3）如图2，连接BQ，试求出当线段BQ取得最小值时点Q的坐标．
【题型7 一次函数的图象的应用】
1.在一次趣味运动会中，“抢种抢收”的比赛规则如下：全程50米的直线跑道，在起点和终点之间，每隔10米放置一个小桶，共四个，参赛者用手托着放有4个乒乓球的盘子，在从起点跑到终点的过程中，将四个乒乓球依次放入4个小桶中（放入时间忽略不计），如果中途乒乓球掉出小桶，则需要返回将乒乓球放回桶中，率先到达终点者获胜．小明和小亮同时从起点出发，以各自的速度匀速跑步前进，小明在放入第二个乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二个桶的旁边，且落地后不再移动，但他并未发现，继续向前跑了一段距离，被裁判员提醒后立即原速返回捡球，并迅速放回桶中（捡球时间忽略不计），为了赶超小亮，小明将速度提高了1米/秒，小明和小亮之间的距离y（米）和出发时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则小明在掉出乒乓球后又继续跑了 米后开始返回．
2.如图，一束光线从点射出，照在经过、的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴反射后的光线恰好通过点，则光线所在直线的函数表达式为 ．

3.有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分钟的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图像，请结合图像，回答下列问题：
(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前2分钟的速度为______米/分；
(2)已知线段轴，前3分钟甲机器人的速度不变．
①在3~4分钟的这段时间，甲机器人的速度为______米/分，F的坐标是______；
②在整个运动过程中，两机器人相距30m时x的值______．
4.甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，乙每小时走4千米，小狗随甲一起同向出发，小狗追上乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直匀速跑下去．如图，折线，分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程与甲行进时间x()之间的部分函数图象．

(1)求所在直线的函数解析式；
(2)小狗的速度为______；求点E的坐标；
(3) 小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，求x为何值时，它离乙的路程与离甲的路程相等？
【题型8 一次函数的实际应用】
1.倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知2台型机器人和5台型机器人同时工作共分拣垃圾3.6吨，3台型机器人和2台型机器人同时工作共分拣垃圾8吨．
(1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨，设购买型机器人台（），型机器人台，请用含的代数式表示；
(3)机器人公司的报价如下表：
型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台
型 20万元/台 原价购买 打九折
型 12万元/台 原价购买 打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少？请说明理由．
2.某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元；
①求关于的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
3.A、B两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价80元，羽毛球每盒定价20元．现两家商店搞促销活动，A店：每买一副球拍赠一盒羽毛球；B店：按定价的9折优惠，八（1）班现需购羽毛球拍4副，羽毛球若干盒（不少于4盒）．
(1)设购买羽毛球盒数为x（盒），在A店购买的付款数为（元），在B店购买的付款数为（元），分别写出在两家商店购买的付款数与羽毛球盒数x之间的函数关系式；
(2)买多少盒羽毛球时，两家商店付款相同？
(3)就羽毛球盒数讨论去哪家商店买合算？
4.“五一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油50升，当行驶100千米时，发现油箱剩余油量为41升（汽车行驶中的余油量与行驶路程是一次函数关系）．
(1)求剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式．
(2)当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家 说明理由．
参考答案
【题型1 根据情景确定函数图象】
1.B
【分析】根据容器的形状可知当液面高度越高时，体积的变化越小，即随着
【详解】由题图知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除C，D选项，
随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项．
故选：B．
2.D
【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可．
【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；
火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；
火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；
符合上述分析过程的为：D．
故选：D．
3.B
【详解】试题分析：小丽从家出发时离学校最远，随着时间的推移离学校越来越近，往回骑后，离学校又开始变远，遇到妈妈后停下说了几句话，离学校的距离没变，即图象与横轴平行，接着继续骑车去学校，会离学校越来越近，最后到达学校时，距离变为为0，据此观察图象，只有B符号条件．
故选B．
4.C
【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时，分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【详解】解：根据题意得：
当水的深度未超过球顶时，水槽中能装水的部分的宽度由下到上，由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注水过程中，水的深度变化从上升较慢变为较快，再变为较慢，
当水的深度超过球顶时，水槽中能装水的部分宽度不再变化，所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化，
综上所述，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升，
故选：C．
【题型2 一次函数与三角形的面积综合】
1.A
【分析】由于正方形与平行四边形均为中心对称图形，故过正方形与平行四边形的对称中心点的直线总可以把各自分成面积相等的两部分，则可以把正方形与平行四边形的组合图形分成面积相等的两部分的直线，必然是过两个对称中心点的连线．先求得正方形与平行四边形的中心点M、N的坐标，然后用待定系数法可以求得直线l的解析式．
【详解】设平行四边形与正方形的中心为点，则直线就是可以将正方形与平行四边形组成的图形分成面积相等的两部分的直线l．(如图)

∵点C的坐标为，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴，
∴点N的坐标为．
由平行四边形OABC的对边相等知，
，
又已知点A的纵坐标为1，
所以点B的纵坐标为3．
点B的坐标为，
因此点M的坐标为．
设直线l的解析式为，
将、代入l的解析式得：
．解得．
∴直线l的解析式为．
故选：A．
2.（1）解：把代入得，则点坐标为；
把，代入得：，
解得，
所以直线的表达式为：；
（2）交轴于，交轴于，
，，
四边形的面积 ．
3.（1）解：根据题意和图象，可得点运动的时间为，速度为，
当点停止运动时，，此时距离点，
故答案为：2，3，2；
（2）解：根据题意得，
即，
故答案为：；
（3）解：当点停止运动后，，
所以的面积为．
4.（1）∵实数a，b满足，
且，，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标为；
（2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足，
∴，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为，即，
，
∴，
即三角形的面积为30；
（3）如图，设直线的解析式为，

将点，点代入，
可得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点，
∴
设点，
∵三角形的面积与三角形的面积相等，
∴，
即，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【题型3 一次函数与全等三角形】
1.（1）解：因为直线：与直线交于点，
所以，
所以，
又因为过点，
故设直线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
所以直线的函数表达式为．
（2）因为直线 ：与x轴交于点A，与y轴交于点D．
所以，
因为轴于点N，
所以，
所以以O、M、N为顶点的三角形与全等，分两种情况：

①如图，当时，，
因为直线的函数表达式为，
当时，，
所以点M的坐标为；
②如图，当时，，
因为直线的函数表达式为，
当时，，
所以点M的坐标为．
综上所述，满足条件的点M的坐标为或．
2.解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx，
把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=．
故答案为：y=x；
（2）当t=1时，BP=2，OP=10．
如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵S△OPQ=OP QH=6，∴QH=．
把Q（x，）代入y=x中，得x=，
∴点Q的坐标为（，）；
（3）∵AO=AB=10，点C是线段AB的中点，
∴BC=5，∠QOP=∠CBP．
若△OPQ与△BPC全等，
则有OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
设Q点的运动速度为v个单位/秒，
①OP=BC=5，OQ=BP时，
∵OP=5，∴12-2t=5．解得t=．
∴OQ=BP=2×=7．
∴AQ=10-7=3．
∴v=3，解得v=．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
②当OQ=BC=5，OP=PB=6时，
由OP=PB=OB=6可知：2t=6，
解得：t=3．
∵OQ=5，∴AQ=OA-OQ=10-5=5．
∴3v=5，解得v=．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，△OPQ与△BPC全等．
3.（1）一次函数y=﹣x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，
∴A（0，4），B（4，0），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
设直线CD的函数表达式为y=kx+b，则，解得，
∴直线CD的函数表达式为y=x+1；
（3）y=x+1，令y=0，则x=﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC=2=4=6，
∴△DBE的面积=△BCE的面积﹣△BCD的面积=×6×（4﹣2）=6；
（3）如图所示，
当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；
当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；
当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；
当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．
4.解：（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），
故答案为：（0，8），（0，3）；
（2）解：过点C作CH⊥AB，交直线AB于点H；

∵ BC平分∠ABO，且CO⊥x轴，CH⊥AB，
∴CO=CH
又∵OC=3，OA=8；
∴CH=3，AC=5；
∴在Rt△CHA中，∠CHA=90°，CH +CA =AH ；
所以AH=4
∵易证△BCH≌△BCO（AAS）；
∴BO=BH；
设OB长为x，则AB=4+x
∴在Rt△AOB中，x +8 =（x+4）
解得x=6
∴B（-6，0）
将点B分别代入直线AB、直线BC可得：
直线AB解析式为：；
直线BC解析式为：；
∴直线AB：yx+8，直线CB：yx+3；
（3）情形1，如图

当△ADE≌△AOB时，AD=AO=8，DE=BO=6，
∴OD=16，
∴点E的坐标为（6，16）
情形2，如图，

当△AED≌△AOB时，AD=AB=10，DE=BO=6，AE=AO=8，
过点E作EF⊥AD，则有
∴
∴点E的横坐标为，代入得，y=,
∴点E的坐标为（，）；
情形3，如图，

当△AED≌△AOB时，方法同情形2可求出EG=，
∴点E的横坐标为-，代入得，y=,
∴点E的坐标为（-，）；
综上，点E的坐标为（6，16），，．
【题型4 一次函数与等腰三角形】
1.解：（1）由，
解得：，
∴A点坐标为；
（2）∵与y轴相交于点B，则B点坐标为，
∴；
（3）由题意可分：
当OA是腰，O是顶角的顶点时，，则P的坐标是或；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，，则P与O关于对称，则P的坐标是；
当OA是底边时，OA的中点是，设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：；
根据题意得：，
直线的解析式是：，
当时，，
∴P点坐标为；
综上所述，P点的坐标是或或或．
2.解：等腰三角形周长为，底边为，腰长为，
；
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
，
解得：；
，
当时，；当时，．
∴函数的图象如图所示：
3.（1）如图，平面直角坐标系即为所求．
（2）如图，点C即为所求，C点坐标（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．
（3）如图点D即为所求，此时△ABD的周长最小．
∵B，关于x轴对称，
∴（-4，-2），
设直线A的解析式为y=kx+b，则
，解得：
∴直线A的解析式为y=3x+10，
将y=0代入y=3x+10，得x=
∴D点坐标（，0）．
故答案为：（，0）．
4.解：（1）∵点P(m，3)为直线l 1上一点，
∴，
解得：，
∴P(，3)，
∵y2=x+b过点P，
∴，
解得：；
（2）①由（1）得：y2=x+，
点时，，
解得：，
∴点，
当时，，
解得，
∴点，
根据题意：点
∴，
∴，
即；
②,
∴
解得：，
∴时，APQ面积为APC的一半；
③根据题意可知，过点作轴于点，
∵P(，3)，，
∴，
∴，
∴,
∴,
∴，
∴当时，APQ为以AQ为底的等腰三角形．
【题型5 一次函数与等腰直角三角形】
1.解：（1）y＝﹣2x+2中，当x＝0时y＝2，
∴A（0，2），
当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴B（1，0）；
故答案为：0，2；1，0；
（2）如图①，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，
则点C（3，1），
设直线BC所在直线解析式为
把点B、C的坐标代入得
解得，
∴直线BC所在直线解析式为；
（3）①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，
则∠BGC＝∠BME＝∠END＝∠BOD＝90°，
∵∠ABC＝90°，且AE＝AC，
∴AB是CE的中垂线，
∴BC＝BE，
∵∠CBG＝∠EBM，
∴△BCG≌△BEM（AAS），
∴BM＝BG＝2，EM＝CG＝1，
∵BO＝1，
∴OM＝EN＝OB＝1，
∵∠BDO＝∠EDN，
∴△BDO≌△EDN（AAS），
∴BD＝ED；
②如图③，
由知D（0，﹣），即OD＝，
则AD＝OA+OD＝，
∴S△ABD＝AD OB＝××1＝，
由①知E（﹣1，﹣1），
根据A（0，2）、E（﹣1，﹣1）得直线AE解析式为y＝3x+2，
当y＝0时，3x+2＝0，解得x＝﹣，
∴F（﹣，0），
设点P的坐标为（m，3m+2），
当点P在点A的下方时，
则△ABP的面积＝S△ABF﹣S△BFP＝×BF×（yA﹣yP）＝（1+）×（2﹣3m﹣2）＝，
解得m＝﹣，
故点P的坐标为（﹣，）；
当点P′在点A的上方时，
则点A是点P′、P的中点，
由中点坐标公式得：点P的坐标为（，），
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．
2.解：（1）过B点作BD⊥OA于点D，如图1，
∵∠OBA=90°，OB=AB，OA=4．
∴，
∴B（2，2），
故答案为（2，2）；
（2）①当2≤t≤4时，如图2，则AC=OA-OC=4-t，
∵∠OBA=90°，OB=AB，
∴∠OAB=45°，
∵直线l⊥OA，
∴∠ACM=90°，
∴∠AMC=45°=∠CAM，
∴AC=CM=4-t，
∴；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，
∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，
∴MA=MB，
∴点M在直线DE上，
∵点M在直线l上，
∴点M为直线l与直线DE的交点，
设直线OB的解析式为y=kx（k≠0），
由（1）知，B（2，2），
∴2=2k，
∴k=1，
∴直线OB的解析式为：y=x，
∵∠ABO=∠ADM=90°，
∴DE∥OB，
∴设直线DE的解析式为y=x+n，
∵A（4，0），B（2，2），D为AB的中点，
∴D（3，1），
把D（3，1）代入y=x+n中，得1=3+n，
∴n=-2，
∴直线DE的解析式为：y=x-2，
∵OC=t，
∴C（t，0），N（t，t），M（t，t-2），
∵，t＞0
∴，
∴，或，
解得，t=6，或．
3.
【分析】设，利用两个函数解析式求出B，C的坐标，然后求出AB的长度，再根据轴，轴，利用求出点的坐标，，再利用求出点，从而可得到结果；
【详解】设，
∵直线与的交角内部作等腰，使，边轴，轴，点在直线上，
∴，
∵点C在直线，
∴，
解得：，
∴等腰Rt△ABC的腰长为，
∴，
∴的坐标为，
设，则，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴等腰Rt△的腰长为，
∴，
∴，
设，则，
∵点在直线，
∴，
解得：，
∴等腰Rt△的腰长为，
以此类推，
，即等腰Rt△的腰长为，
，即等腰Rt△的腰长为，
，
∴，即等腰Rt△的腰长为；
故答案是．
4.（1）把代入中，
得，解得：，
，
把代入，得，
；
（2）作轴于点，轴于点，
是等腰直角三角形，
，，
，且，
，，
，
；
（3）点，
设，，
则，
故点在直线上，
设：直线交轴于点，
过点作直线的对称点，
直线的倾斜角为，则轴，则点，
连接交直线于点，则点为所求点，
是常数，
周长为最小，
由点、的坐标得，直线的表达式为：
联立，
解得：，
故：．
【题型6 一次函数与动点最值问题】
1. （，）
【分析】过点作平行于轴的直线，与过点作平行于轴的直线交于，根据定义可知，当取点与点的“距离”的最小值时，则，即，然后求解即可．
【详解】如图，过点作平行于轴的直线，与过点作平行于轴的直线交于，

根据定义“若，则点，与，的识别距离是”，当取点与点的“距离”的最小值时，则，即，
设，
则，
解得：，
，
，，
此时点与点的“距离”的最小值是．
故答案为：；，．
2.D
【分析】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点，求出点的坐标，连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，再求出直线DE的解析式，联立两条直线的解析式即可求出交点D的坐标．
【详解】如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点
∵直线AB的解析式为
∴直线的解析式为
由
解得
∴直线AB与直线的交点坐标为
∵K是线段的中点
∴
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小
设直线DE的解析式为
可得
解得
∴直线DE的解析式为
联立直线DE和直线直线可得
解得
∴点D的坐标为
故答案为：D．
3.解：（1）把点C（4，c）代入，
解得：c=6，则点C（4，6），
∵一次函数交y轴于点B（0，2），
∴函数表达式为：y=kx+2，
把点C坐标代入上式，解得：k=1，
故：k=1，b=2，
（2）如图，
作A关于y轴的对称点，连接交y轴于P点，
此时最大，
，，
设的解析式为，
将，代入得
，解得，
∴
，
∴．
（3）以下各点的坐标分别为：B（0，2），C（4，6），
过点C作CG∥DE，使GC=DE，
则：四边形DECG为平行四边形，
作点G作关于x轴的对称点F，连接BF，交x轴于D，点D即为所求点，
则点G坐标为（2，6），点F坐标为（2，-6），
则：DF=DG=EC，DB+CE=BD+DG=BD+DF=BF，即：BD+CE最小，
而：DE、BC长度为常数，
故：在图示位置时，四边形BDEC的周长取最小值，
把点B、F点坐标代入一次函数表达式：y=nx+b′，
解得：BF所在的直线表达式为：y=-4x+2，
令：y=0，则x=，
则点D和E的坐标分别为（，0）、（，0），
4.解：（1）对于直线y=2x+8令x=0得到y=8，令y=0，得到x=-4，
∴A（0，8），B（-4，0），
∴OA=OC=8，
∴C（8，0）．
（2）由旋转可知，OP=OQ，∠POQ=∠AOC=90°，
∴∠AOQ=∠COP，
在△AOQ和△COP中，
，
∴△OAQ≌△OPC，
∴∠OAQ=∠OCP，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OCA=45°，
∴∠OAQ=45°．
（3）如图2中，
∵∠OAQ=45°，设直线AQ交x轴与E，则点Q在直线AE上运动，
∵A（0，8），E（-8，0），
∴直线AE的解析式为y=x+8，
根据垂线段最短可知当BQ⊥AE时，BQ的长最短，
∵BQ⊥AE，
∴直线BQ的解析式为y=-x-4，
由，解得，
∴当BQ最短时，点Q坐标为（-6，2）．
【题型7 一次函数的图象的应用】
1.解：根据题意，得：小明捡球后，与小亮之间的距离为4米，小亮中间没有停止也没有返回，
∴小亮的速度为(10×2+4)÷4=6(米/秒)，
根据图象，小明到达终点时，小亮距离终点还有6米，即小亮已经跑了50-6=44(米)，
所用时间为44÷6= (s)，
∴小明从捡到球到到达终点的用时为：-4= (s),
∴小明提速后的速度为(50-10×2)÷=9(米/秒)，
∴小明提速前的速度为9-1=8(米/秒)，
∴小明在掉出乒乓球后又继续跑了(-10×2)÷2=6(米)，
故答案为：6．
2.
【分析】先作出点关于的对称点及点关于轴的对称点，求得过两个对称点的直线与直线的交点，进而即可求解．
【详解】解：如图，分别作出点关于的对称点及点关于轴的对称点，

由题意可知点O关于的对称点是，点A关于y轴的对称点是，
设直线的解析式为，
∵在直线上，
∴，
解得，
∴直线的解析式是，
同理可得的解析式是，
两式联立，得，
解得．则
设直线的解析式为
代入，并解得：
∴直线的解析式为
故答案为：．
3.（1）解：由图像可知，A、B两点之间的距离是米，
甲机器人前2分钟的速度为：（米/分），
故答案为：，；
（2）解：①∵，乙机器人始终以米/分钟的速度行走，
∴甲、乙机器人的速度都是米/分钟；
∵，
∴点F的坐标为，
故答案为：，
②当时，，解得，，
当时，，解得：，
当时，设甲、乙两机器人之间的距离y米与他们的行走时间x分钟之间函数解析式为，
将点和点代入，得
解得，，
即函数解析式为，
令，得，，
即两机器人出发分钟，分钟，分钟时相距30米．
4.（1）解：设所在直线的函数解析式为，
将代入，得，
解得，
∴所在直线的函数解析式为；
（2）解：由，可知，当时，小狗距离乙，
设小狗速度为，
则依题意得，，
解得，，
∴小狗速度为，
由，可知，当时，甲距离乙0，
设甲的速度为，
则依题意得，，
解得，，
∴甲的速度为，
设，
由题意知，当时，甲和小狗出发后第一次相遇，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，，，
同理（1），直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，
∴小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，离乙的路程与离甲的路程相等时，分两种情况：
①，即，解得；
②，即，解得．
综上所述，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当x为或时，它离乙的路程与离甲的路程相等．
【题型8 一次函数的实际应用】
1.（1）解：设1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾吨和吨，
由题意可知 ，
解得，
答：1台型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台型机器人每小时分拣垃圾0.2吨；
（2）由题意可知：，
∴；
（3）当时，此时，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时；
当时，此时，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时；
当时，此时，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，有最小值，此时．
答：选购型号机器人35台时，总费用最少，此时需要918万元．
2.（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元．
（2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得：
；
普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，
，
解得：，
中，
随的增大而减小，
当时，取最大值，
（个），
（元），
答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元．
3.（1）解：由题意，得：，
；
（2）解：当时，即，
解得：，
答：买24盒羽毛球时，两家商店付款相同．
（3）解：当时，即，解得，
∴当买羽毛球多于24盒时，到B店合算；
当时，即，解得，
∴当买羽毛球不少于4盒且小于24盒时，到A店合算；
由（2）得：买24盒羽毛球时，两家商店付款相同．
4.（1）解：∵余油量与行驶路程是一次函数关系．
∴设余油量为Q（升），行驶路程为（千米），则，
把时，， ，，
代入中得，
解得，
∴
（2）解：他们能在汽车报警前回家，
理由如下：
由（1）可知，当千米时，，
∵，
∴他们能在汽车报警前回家；

展开更多......

收起↑