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第19章《一次函数》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在平面直角坐标系中，已知直线与直线平行，且与轴交于点，与轴的交点为，则的面积为（ ）
A．2022 B．1011 C．8 D．4
2．当时，对于x的每一个值，函数（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
3．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，例如，，都是“整点”，四边形（为原点）为正方形且点坐标为，有4条直线，其中，，，互不相等，则这4条直线在正方形内（包括边上）经过的整点个数最多是（ ）个．
A．22 B．24 C．28 D．25
6．如图，在中，点是边上一点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．若，图中阴影部分面积为，则图中可以近似地刻画出与之间关系的是（ ）
B．
C． D．
7．如图，直线与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，将直线沿轴向左平移，当点落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图像如图所示，下列说法：
①乙的速度为千米/时；
②乙到终点时甲、乙相距千米；
③当乙追上甲时，两人距地千米；
④两地距离为千米．
其中错误的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，分别是直线上的动点，若时，都有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一次函数的图像过点，则 ．
12．若一次函数与的图象交于点，则关于的方程的解为 ．
13．一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是 ．
15．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
16．如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是 ．

三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)已知函数．
(1)若函数图象经过原点，求的值；
(2)若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围；
(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求的取值范围．
18．(6分)已知与x成正比例函数关系，且时，．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)求当时，y的值；
(3)求当时，x的值．
19．(8分)已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：

(1)关于x的方程的解是_______；关于x的方程的解是________；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)请直接写出关于x的不等式组的解集．
(4)求的面积．
20．(8分)本市城镇居民年度生活天然气收费标准如下表所示：
阶段 使用量（立方米） 单价（元/立方米）
第一阶段 （含） 3.00
第二阶段 （含） 3.30
第三阶段 超过520 4.20
根据表格信息回答问题：
(1)一同学家2025年度截止到4月已使用328立方米天然气，求至2025年4月，此同学家中使用燃气总共花费多少钱？
(2)试写出缴纳燃气总费用（元）关于燃气使用量（立方米）的函数解析式．
(3)如果该同学家2024年度天然气总缴费1665元，求该同学家2024年度天然气使用总量．
21．(8分)定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”．
(1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ；
(2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值；
(3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围．
22．(8分)一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽，设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，y与x之间的函数图象，如图所示．

(1)修船过程中排水速度为 ，a的值为 .
(2)求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值．
23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点P，直线l上的两点，满足，将线段向右平移5个单位长度得到线段．

(1)点C的坐标为_________；
(2)连接，，，点Q是x轴上一点（不与点P重合），连接，交于点E．
①当恰好平分时，试判断与有什么数量关系？并说明理由；
②设点，记三角形的面积为S，三角形的面积为．当时，求点Q的坐标．
参考答案
选择题
1．D
【分析】先根据两直线平行k值相等，以及直线经过点M(0,4)，即可求出直线MN的解析式，进而可求出N点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】∵直线与直线平行，
∴k=2，即，
∵直线过点M(0,4)，
∴，即b=4，
∴直线MN的解析式为，
当y=0时，有x=-2，
∴N点坐标为(-2,0)，
∴ON=2，
∵M(0,4)，
∴OM=4，
∴△MON的面积为：，
故选：D．
2．C
【分析】先求得时，，当，直线（）与直线平行，且在直线下方；当直线与直线的交点在的上方时，函数（）的值都小于函数的值，据此求解即可．
【详解】解：当时，，即有点，
将点代入，
有，解得，
当，直线（）与直线平行，且在直线下方；

结合图象可知：直线与直线的交点在的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线（）与直线平行时，满足当时，函数（）的值都小于函数的值，
∴，
故选：C．
3．D
【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案．
【详解】解：直线中，
随的增大而减小，
，
，
A、若，则，即与同号（同时为正或同时为负），
，
若取与同为负数，由不能确定的正负，
，为直线上的三个点，
，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意；
B、若，则，即与异号（一正一负），
，
，，由不能确定的正负，
，为直线上的三个点，
，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意；
C、若，则，即与同号（同时为正或同时为负），
，
若取与同为正数，由不能确定的正负，
，为直线上的三个点，
正负不能确定，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意；
D、若，则，即与异号（一正一负），
，
，，由确定的正负，
，为直线上的三个点，
，，则，该选项合题意；
故选：D．
4．D
【分析】①根据一次函数定义即可求解；②，即可求解；③图像经过二、三、四象限，则，，解关于的不等式组即可；④函数图像与轴的交点始终在正半轴，则，即可求解．
【详解】解：①根据一次函数定义：形如的函数为一次函数，
，
，
故①正确；
②，
无论取何值，函数图像必经过点，
故②正确；
③图像经过二、三、四象限，
，
解不等式组得：，
故③正确；
④令，则，
函数图像与轴的交点始终在正半轴，
，
，
经分析知：，
解这个不等式组得，
故④正确．
①②③④都正确．
故选：D．
5．A
【分析】根据“整点”的定义可知，在正方形内（包括边上）扥整点横坐标的取值范围是0到6的自然数，直线在范围时，当，时对应的整点数最多为7个，其次是或时对应的整点数最多为4个，由此即可得到答案．
【详解】解：由画图可知：
，
直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有7个，
直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有7个，
直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有7个，
直线在正方形内（包括边上）经过的整点的个数有4个，
其中点是三条直线、、的交点，点是直线、的交点，
经过的整点的个数最多是：（个），
故选：A．
6．C
【分析】如图:作的高，则为定值．根据三角形的面积公式得出;可判断得到是的正比例函数，最后根据正比例函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：如图，作的高，则为定值．
图中阴影部分的面积，即，
为定值，
为定值，
是的正比例函数．
故答案是C．
7．A
【分析】先求出平移过B点的直线解析式，再求出其与x轴的交点坐标，交点记为C，把A点横坐标与C点的横坐标相减即可作答．
【详解】如下图，
过B作x轴垂线，垂足为D，记平移后的直线与x轴的交点为C，
对于直线，令y=0，解得x=4，∴A点坐标为(4,0)
∴OA=4
∵△OAB为等腰直角三角形，BD⊥x轴
∴易得OD=2，BD=2
∴B(2,2)；
设平移后的直线为：，把B(2,2)代入得2=1+b，解得b=1，
所以平移后的直线解析式为，令其y=0得
解之得x=-2
∴C(0,-2)，
∴OC=2
∴平移的距离为OA+OC=4+2=6．
故选：A．
8．A
【分析】①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度；
②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程-甲走的路程就可以求出结论；
③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距A地的距离；
④求出乙到达终点的路程就是A，B两地距离．
【详解】解：①由题意，得
甲的速度为：12÷4=3千米/时；
设乙的速度为a千米/时，由题意，得
（7-4）a=3×7，
解得：a=7．
即乙的速度为7千米/时，
故①正确；
②乙到终点时甲、乙相距的距离为：
（9-4）×7-9×3=8千米，
故②正确；
③当乙追上甲时，两人距A地距离为：
7×3=21千米．
故③正确；
④A，B两地距离为：
7×（9-4）=35千米，
故④错误．
综上所述：错误的只有④．
故选：A．
9．B
【分析】将向右平移1个单位得到点，过点作的垂线，交于点，交于点，当时，符合题意，同理将点向左平移一个单位得到，进而即可求解．
【详解】解：如图，将向右平移1个单位得到点，过点作的垂线，交于点，交于点，当时，符合题意，
，即，
解得
如图，将点向左平移一个单位得到，
，即，
解得
综上所述，，
故选B
10．B
【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，，求得的横坐标为，于是得到结论．
【详解】解：∵过点作轴的平行线交直线于点，
∴在直线上，
∴，
∵轴，
∴的纵坐标的纵坐标，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，即的横坐标为，
∵轴，
∴的横坐标为，且在直线上，
∴，
∴，
∵轴，
∴的纵坐标的纵坐标，且在直线上，
∴，
∴，
∴，即的横坐标为，
∵轴，
∴的横坐标为，且在直线上，
即：的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
用同样的方法可得：
的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
，
∴的横坐标为，
∴的横坐标为，的横坐标为，
∴的横坐标为，的横坐标为．
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】先把点代入一次函数，得到，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵一次函数的图像过点，
∴，
∴．
故答案为：．
12．1
【分析】由一次函数与的图象交于点得到，代入方程即可求出方程的解．
【详解】解：一次函数与的图象交于点，
当时，，，
，
由得，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】已知中，一次函数的图象不经过第二象限，可判断即，且，解之可得k的取值范围．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴
解得：，
故答案为：．
14．或或
【分析】分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解．
【详解】解：当直线过点时，k值最小，
则，解得，
当直线过点时，k值最大，
则，解得，
故线段与直线有交点时，k的取值范围为，
故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或，
故答案为：或或．
15．
【分析】先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为，即可求出直线l的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为（，0），求出直线CD的解析式为，则直线l与直线CD的交点坐标为（，），再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），
∴AC=7，
∴，
∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，
∴可设直线l的解析式为，
∴，
∴，
∴直线l的解析式为，
∴直线l与x轴的交点坐标为（，0）
∵点C坐标为（3，0），点D坐标为（0，3），
∴直线CD的解析式为，
∵当时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积
∴联立，
解得，
∴直线l与直线CD的交点坐标为（，），
∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
∴，
解得或（舍去），
∴直线l的解析式为 ，
故答案为：．
16．
【分析】根据直线的解析式可知此直线必然经过一三象限，当经过点B时b的值最小，当经过点C时b的值最大，由此可得出结论．
【详解】解：∵直线中，，
∴此直线必然经过一三象限．
∵，，，
∴当经过点B时，，解得；
当经过点C时，，解得，
∴．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：把代入，得
，
解得∶；
（2）解：∵随的增大而减小，
∴，
解得：；
（3）解：∵函数是一次函数，且图象不经过第四象限，即：，，
解得：．
18．（1）解：依题意得：设．
将代入：得
所以，．
（2）由（1）知，，
∴当时，，即；
（3）由（1）知，，
∴当时，，
解得，．
19．（1）∵一次函数和的图象，分别与轴交于，，
∴关于的方程的解是；
关于的方程的解是；
（2）∵一次函数和的图象交于点
∴根据图象可以得到：关于的不等式的解集为；
（3）根据图象可以得到：关于的不等式的解集为，
关于的不等式的解集为
∴关于的不等式组的解集为；
（4）∵，，
∴
∴的面积．
20．（1）解：由题意得：（元），
答：此同学家中使用燃气总共花费元；
（2）解：由题意得：；
（3）解：由（2）知，，
当时，，
∵，
∴该同学家2024年度天然气总使用量超过了520立方米，
（立方米），
答：该同学家2024年度天然气使用总量为立方米．
21．（1）解：点是关于的正比例函数的点，
，
，
点到两坐标轴的距离之和等于，
点是关于的正比例函数的“阶和点”，
．
故答案为：；；
（2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
当在第一象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
；
当在第二象限时，，由于，此种情形不存在；
当在第三象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
．
综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或；
（3）由题意得：，
，
关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，
设为关于的一次函数的图象的“阶和点”，
，
当在第一象限时，，
，
，
，
，，
，符合题意，
当在第一象限时，；
当在第三象限时，，
，
，
，
，
，
；
当在第三象限时，；
当在第四象限时，，
，
，
．
当在第四象限时，．
关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
以上三个条件中同时满足其中两个即可，
当满足不满足时，；
当满足不满足时，；
当满足不满足时，的值不存在，
综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或．
22．（1）解：进水速度为：，
排水速度为：，
∵船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
∴；
故答案为：1；24．
（2）解：设修船完工后y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，
解得：，
∴修船完工后y与x之间的函数关系式为；
（3）解：设修船过程中y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，
解得：，
∴修船过程中y与x之间的函数关系式为
当修船过程中，船内积水量是船内最高积水量的时，根据题意得：
，
解得：；
当船修好后不再进水，船内积水量是船内最高积水量的时，根据题意得：
，
解得：；
综上分析可知，当或时，船内积水量是船内最高积水量的．
23．（1）解： ，
，，
，，
，，
B向右平移5个单位得到C，
故答案为：．
（2）①．理由如下：
平分，
，
向右平移5个单位得到CD，
，
，
．
②令直线l的解析式为，
，在直线l上，
，解得
直线l的解析式为，
当时，
，，
，
如图，连接，

，，，，
，
，
解得或
点坐标为或．

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