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华东师范二附中2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则________．
2．已知则________．
3．不等式的解集是________．
4．已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则________．
5．已知向量，，若，则________．
6．已知的二项展开式中项的系数是54，则________．
7．已知幂函数在上严格增，则实数________．
8．已知随机事件、满足，，，则________．
9．已知复数，复数满足，则的最大值为________．
10．袋中有7个互不相同的小球，其中白球4个，黑球2个，红球1个．现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，每次取1个，取后不放回，直到有人取到白球为止，则最终由乙取到白球，且过程中红球已取出的不同取法数为________．
11．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为_______．
12．已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（ ）
A．吸烟者一定会患肺癌
B．吸烟者患肺癌的概率为99%
C．100个吸烟者大约有99个会患肺癌
D．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%
14．在中，角、、的对边分别为、、，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
15．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
16、设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：
①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（ ）
A．①真；②真 B．①真；②假 C．①假；②真 D．①假；②假
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知（且）．
（1）若，解方程，求的值；
（2）若，求的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合）
（1）证明：平面平面；
（2）若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：
特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
（1）求成对数据的相关系数；
（2）求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值；
（2）设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．
（本题所有答数精确到0.01．）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点．
（1）当时，求椭圆的离心率；
（2）若且点在直线上，求的值；
（3）设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”．
（1）若，直接写出相应的集合；
（2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于1，求的取值范围；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13. D 14.C 15.B 16.B
15．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以底面，
因为点到底面的距离为1．所以．因为，
所以平面，故，，
即该球的直径为
所以球的半径为．故选：B
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2） （2）
20．【答案】（1） （2） （3）
21．【答案】（1） （2） （3）证明略

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