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复旦附中2024-2025学年第二学期高三年级数学毕业考
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，则 ．
2.已知复数满足：（i为虚数单位），则 ．
3.已知一圆锥的侧面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为 ．
4.已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ．
5.圆上的点到直线的距离最大值为 ．
6.已知为奇函数，则实数的值是 ．
7.方程的解为 ．
8.已知为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ．
9.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
10.克罗狄斯 托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为为直径延长线上的一点，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时， ．
11.已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 ．
（附：相关系数
12.已知，存在，当时，都有，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）．
13．已知为正数，则＂＂是＂的（ ）条件．
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
14．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
15．平面直角坐标系中有两点和，以为圆心，正整数为半径的圆记为，以为圆心，正整数为半径的圆记为，对于正整数，点是圆与圆的交点，且都位于第二象限，则这5个点都位于同一（ ）上．
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
16．如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为分别是直线和
平面上的动点，且，则下列判断：
（1）点到棱中点的距离的最大值为
（2）正四面体在平面上的射影面积的最大值为，其中正确的说法是（ ）．
A.（1）（2）都错误
B.（1）（2）都正确
C.（1）错误（2）正确
D.（1）正确（2）错误
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）设集合，求集合A中所有元素的和．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4．线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点．
（1）当时，证明：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用＂5局3胜制＂（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分．甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．
（1）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
（2）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知抛物线的焦点为，点在上，且．过作
互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限．
（1）求的方程；
（2）记和的面积为，求的最小值；
（3）过点作轴的垂线，分别交于两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上＂次缠绕函数＂．若，则称是上的＂次自倒缠绕函数＂．
（1）判断是在上＂几次缠绕函数＂，并说明理由；
（2）设，若在上＂3次自倒缠绕函数＂，求的取值范围；
（3）记所有定义在区间上的函数组成集合A，给定，对任意，
是否存在，使得，且是在上＂次缠绕函数＂.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12.已知，存在，当时，都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，所以，
原不等式等价于，设，
则点在以原点为圆心的单位圆上，
点在函数的图象上，
所以不等式的几何意义是向量与的夹角大于，作出大致图像，如图所示：
由知，时，函数与直线恰好相切，切点为原点，
易知存在，在时，使得恒成立，
当时，不存在一个给定的，使得恒成立，
综上，的取值范围是．
二、选择题
13.A 14.C 15.C 16.D
15．平面直角坐标系中有两点和，以为圆心，正整数为半径的圆记为，以为圆心，正整数为半径的圆记为，对于正整数，点是圆与圆的交点，且都位于第二象限，则这5个点都位于同一（ ）上．
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【答案】C
【解析】根据题意，圆是以为圆心，为半径的圆，
圆是以为圆心，为半径的圆，
若点是圆与圆的交点，则，，
则有，而
则点在在以为焦点，的双曲线上，该双曲线的方程为，
故都在同一个双曲线上，故选C.
16．如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为分别是直线和
平面上的动点，且，则下列判断：
（1）点到棱中点的距离的最大值为
（2）正四面体在平面上的射影面积的最大值为，其中正确的说法是（ ）．
A.（1）（2）都错误 B.（1）（2）都正确
C.（1）错误（2）正确 D.（1）正确（2）错误
【答案】D
【解析】由题意，点在以为直径的球面上的点．
点到棱中点的距离，即以为直径的球面上的点到棱中点的距离．
所以点到棱中点的距离的最大值为点到球心的距离再加上球的半径．
设的中点为，则为以为直径的球的球心，半径为
所以
所以点到棱中点的距离的最大值为，故（1）正确．
由直线平面，且，则平面．
在正四面体中，，又，所以平面
所以在平面上的射影与平行且相等．
当与重合时，正四面体在在平面上的射影为对角线为2的正方形．
此时射影的面积为2，所以（2）不正确．故选：D.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）1023
18.（1）证明略 （2）
19.（1）分布列如下， （2）小于
20．【答案】（1） （2） （3）存在
21．【答案】（1）＂2次缠绕函数＂ （2）
（3）存在，即对任意，存在和满足条件.

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