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大同中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则________．
2．某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为________．
3．已知非零向量在向量上的投影向量为，，则________．
4．已知虚数，其实部为1，且，则实数为________．
5．某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为________．
6．已知正实数、满足，，则________．
7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参考数据及公式如下：参考公式：，其中．
8．若随机变量，且，，则的最小值
为________．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为________．
10．已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为．若，则________．
11．已知函数满足：①，；②，，．若是方程的实根，则________．
12．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为________（用表示）．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13．若、，则“”成立是“”成立的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
14．下列选项中，正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第80百分位数为12
B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
C．若事件，满足，且，则与相互独立
D．若样本数据，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数为8
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
16．设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（ ）．
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
已知数列的前项和满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
（1）证明：平面；
（2）求的长．
19．（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分
甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 3 9 11
（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点．
（1）求的方程；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）过点的直线与交于，两点，，线段，的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”．（已知和定义域均为）．
（1）证明：函数是函数的“控制函数”；
（2）若函数是函数的“控制函数”，求的取值范围；
（3）若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为________（用表示）．
【答案】
【解析】由题知，
故答案为：．
二、选择题
13.D 14.C 15.A 16.A
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为成等差数列，所以，
由正弦定理得
即
因为，列，所以，
又，
所以，即，得，
又在中，最多有一个是钝角，所以0，，
因为
由基本不等式得，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3．故选：A．
16．设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为分别是与同向的单位向量，，
所以，设，则
所以
即，即，即，
设，则
点分别为的中点，
则，
所以
故的最大值为．故答案为：A．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）分布列如下， （3）
20．【答案】（1） （2） （3）是，过定点
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”．（已知和定义域均为）．
（1）证明：函数是函数的“控制函数”；
（2）若函数是函数的“控制函数”，求的取值范围；
（3）若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）证明：，则，
故，即恒成立，
故函数是函数的＂3－控制函数＂；
（2）有，
则，
令则
由，故当时，，
当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
故，即有则当时，
函数是函数的＂控制函数＂，
即；
（3）证明：充分性：若存在常数使得恒成立，
则为偶函数，因为函数为偶函数，所以，
则，即，
所以恒成立，所以；
必要性：若，则，
所以函数为偶函数，函数是函数的＂1－控制函数＂，
因此，又，
因此函数是函数的＂控制函数＂，
所以，即恒成立，用代换有，
综上可知，记，则，
因此存在常数使得恒成立，
综上可得，＂＂的充要条件是＂存在常数使得恒成立＂

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