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控江中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为 .
2．已知集合，集合，则 .
3．设，已知向量与向量满足，则 .
4．设，已知（其中i是虚数单位），则 .
5．设，已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 ．
6．已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 .
7．在的二项展开式中，若各项系数之和为243，则含有项的系数为 .
8．在中，分别为角的对边，已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 .
9．甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为，现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为 .
10．已知随机变量，且等式对恒成立，则 .（结果保留四位小数）（参考数据：．
11．设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交前两支手点，若，则的离心率为 .
12．已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点，则的最小值为 .
二、趟择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）.
13．下列函数中，存在驻点的是（ ）.
A． B． C． D．
14．设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）.
A． B． C． D．
15．已知，函数，若存在常数，使得是偶函数，则的可能取值为（ ）.
A． B． C． D．
16．已知是一个公差不为0的等差数列，其前项和为，若存在正整数（其中）使得，则称具有性质，称有序数对是的一组＂数对＂，记由的全体＂数对＂所组成的集合为，关于：
命题（1）＂若具有性质且，则；
命题（2）＂存在具有性质的及互不相同的正整数（其中且，使得且，下列说法正确的是（ ）.
A．（1）是真命题，（2）是真命题 B．（1）是真命题，（2）是假命题
C．（1）是假命题；（2）是真命题 D．（1）是假命题，（2）是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面．
（1）求证：直线；
（2）求直线与平面所成角的大小．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数，已知函数．
（1）若，求在区间上的零点；
（2）若在上严格增，求的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
为吸引客流，某商场举办了＂摸球赢好礼＂活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏＂前积分、换好礼＂.
（1）小江正在参与第一关游戏，记事件为＂小江摸出的第一个球是红球＂，事件为＂小江晋级了第二关游戏＂，分别求；
（2）小江成功晋级第二关游戏．已知第二关游戏规则如下：游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束．记分规则如下；
颜色 黑色 红色 白色
得分 +10 +5 -1
在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分．最终积分越高，所换取的礼品价值越大。
（i）若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望；
（ii）为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数？
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭椭的方程为分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为知椭的短轴．过作直线交椭圆于两点．
（1）已知的周长为8，椭圆的焦距为2，分别求曲线及的方程；
（2）设，已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标；
（3）设．已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于两点，求四边形面积的最小值．
21．（本趭满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设，已知
（1）若，求函数的值域；
（2）若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范图；
（3）若且函数有最小值，求的取值范围．
控江中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为 .
【答案】
2．已知集合，集合，则 .
【答案】
3．设，已知向量与向量满足，则 .
【答案】
4．设，已知（其中i是虚数单位），则 .
【答案】
5．设，已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 ．
【答案】
6．已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
7．在的二项展开式中，若各项系数之和为243，则含有项的系数为 .
【答案】80
8．在中，分别为角的对边，已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 .
【答案】
9．甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为，现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为 .
【答案】
10．已知随机变量，且等式对恒成立，则 .（结果保留四位小数）（参考数据：．
【答案】0.9772
11．设双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记作圆，过作圆的切线分别交前两支手点，若，则的离心率为 .
【答案】
12．已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点，则的最小值为 .
【答案】
二、趟择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）.
13．下列函数中，存在驻点的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
14．设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
15．已知，函数，若存在常数，使得是偶函数，则的可能取值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
16．已知是一个公差不为0的等差数列，其前项和为，若存在正整数（其中）使得，则称具有性质，称有序数对是的一组＂数对＂，记由的全体＂数对＂所组成的集合为，关于：
命题（1）＂若具有性质且，则；
命题（2）＂存在具有性质的及互不相同的正整数（其中且，使得且，下列说法正确的是（ ）.
A．（1）是真命题，（2）是真命题 B．（1）是真命题，（2）是假命题
C．（1）是假命题；（2）是真命题 D．（1）是假命题，（2）是假命题
【答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面．
（1）求证：直线；
（2）求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）由，知，
又，知，故，2分
又平面，知为在平面上的投影，4分
由三垂线定理，知得证．6分
（2）因为平面，可知：
又在直角梯形中，有，2分
又，故平面即直线与平面所成角的大小．4分
又，故在Rt中，得．7分
因此，直线与平面所成角的大小为．8分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数，已知函数．
（1）若，求在区间上的零点；
（2）若在上严格增，求的取值范围．
【答案】（1）或． （2）
【解析】（1），2分
由，知，
即，得或，4分
因此函数在的零点即或．6分
（2），
法1：，求使在恒成立，2分
由，故，因此即求使在恒成立，4分
由（当时等号成立），故有．6分
而时，在恒成立，且无恒等于0的区间，因此符合题意，综上，的范围为．8分
法2：，其中且分
令，由得，且是的严格增函数，
故题意即是的一个严格增区间，得4分
故，又，得，6分
因此得的范围为．8分
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
为吸引客流，某商场举办了＂摸球赢好礼＂活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏＂前积分、换好礼＂.
（1）小江正在参与第一关游戏，记事件为＂小江摸出的第一个球是红球＂，事件为＂小江晋级了第二关游戏＂，分别求；
（2）小江成功晋级第二关游戏．已知第二关游戏规则如下：游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束．记分规则如下；
颜色 黑色 红色 白色
得分 +10 +5 -1
在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分．最终积分越高，所换取的礼品价值越大。
（i）若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望；
（ii）为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数？
【答案】（1） （2）（i）分布为， （ii）
【解析】（1） 2分 4分
（2）（i），
故的分布为，2分；期望．4分
（ii）记小江第局中所得积分为，第二关的最终得分为，
则，有，1分
且的分布均为，得，
故，记为，3分
由于函数在严格减，在严格增，
即函数在严格减，在严格增，
又，故，
因此小江应设定摸球的次数．6分
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭椭的方程为分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为知椭的短轴．过作直线交椭圆于两点．
（1）已知的周长为8，椭圆的焦距为2，分别求曲线及的方程；
（2）设，已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标；
（3）设．已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）
（2）或或． （3）四边形的面积的最小值为6
【解析】（1）周长，
故，1分；
又椭圆焦距为2，知，得，2分
因此．4分
（2），设为．
由
令，得或，舍），故坐标为；3分
由
令，得或，知为或或．
综上知为或或．6分
（3）设，联立消得，
故，可得，1分
设，联立
消得，
由是线段中点，得，又在上，故，2分
法1：易知到的距离相等，记为，则，
不妨设，知，代入化简得
法2：易知到的距离相等，记为，则
可知，
因此，四边形的面积，5分
即，
知，当时等号成立，7分
综上，四边形的面积的最小值为6．8分
21．（本趭满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设，已知
（1）若，求函数的值域；
（2）若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范图；
（3）若且函数有最小值，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）时，，2分
由，故，即值域为．4分
（2）题意即在时有且仅有三个实数解，2分
记，
当及时，严格减，
当时，严格增，
且当时，：
当时，，且时，．4分
可作草图如右图，
知当且仅当符合题意，故的范围为．6分
（3），
记分子为，则有，2分
当时，
当时严格减，又，故在恒成立，
即在上恒有，故严格减；4分
当时严格增：
又,
知当足够大时，又当时，且图像是一条连续曲线，
故存在使得，因此在上恒有，
故严格增．因此，有最小值；6分
当时，恒成立，且无恒为0的区间，故严格增，
又，故在恒成立，即在恒成立，
因此严格增，无最小值，不符合题意；综上，范围为.8分

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