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华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷4
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的值域为 ．
2．设i是虚数单位，则 ．
3．一组统计数据为，则该组数据的第85百分位数是 ．
4．不等式的解集为 ．
5．椭圆的焦距为 ．
6．已知向量，则 ．
7．若二项式的展开式中存在常数项，则正整数的最小值为 ．
8．在中，边依次成等比数列，则内角的最大值为 ．
9．从5个函数中随机选出两个函数，记选出的两个函数中，图像经过第二象限的函数的个数为，则的数学期望为 ．
10．在平面直角坐标系中，已知点，点在抛物线上，若，则点横坐标的取值范围为 ．
11．某生产线有一批边长相等的正方形铁皮，用每一块铁皮都可以加工出一个无盖的正四棱锥容器.具体的加工方式为：裁下图1中的阴影部分，余下的四个全等的等腰三角形作为容器的侧面（如图2）.现要求每个容器的容积要达到最大，则在裁剪铁皮时应保证余下的等腰三角形的底角大小为 ．
（第11题图1） （第11题图2）
12．设集合由所有满足下列条件的有序数组构成：①每一个元素等于中之一；②，则中元素个数为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）．
13．已知集合满足，则（ ）.
A．P B．N C．M D．
14．在四面体中，分别是的重心，则与平面平行的棱有（ ）.
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
15．已知数列是正项等差数列，前项和为，则（ ）.
A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等差数列
16．已知函数的定义域为［］，对定义域内任意的的取值为或.有如下两个命题：
①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；
②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在8101个可能的取值；则（ ）.
A．①正确； ②正确 B．①正确；②错误
C．①错误；②正确 D．①错误；②错误
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.）
已知函数的两个相邻极值点为和．
（1）求函数的解析式；
（2）设是锐角的内角，，求的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，侧面积为．点为和的交点，点是棱上一个动点，且不与顶点重合．
（1）当时，求的值；
（2）若锐二面角的余弦值为，求的值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
为促进国民身体健康，国家卫生健康委员会2025年在新闻发布会上提出将开展为期3年的＂体重管理年＂活动.某校为了解高一同学的体重情况，从高一年级随机抽取了66名学生，统计了他们的体重（单位：千克），并绘制了如下的茎叶图：
（1）为了解学生＂体重低于75千克＂是否与学生＂性别＂有关，将上述数据绘制成如下的列联表：
①将列联表补充完整；
②是否有的把握认为学生＂体重低于75千克＂与学生＂性别＂有关，说明理由；
（2）现从该校高一年级随机抽取200名学生，用（1）中的频率估计概率，则体重不少于75千克的学生最有可能有多少名？附：，
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知双曲线的右焦点分别为，直线与双曲线的左右支分别交于两点，且．
（1）当时，求双曲线的离心率；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求证：以和为邻边的矩形周长大于．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若函数存在极值，并且其导函数的极值点是的零点，则称函数具有性质.
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由；
（2）设函数，求证：函数不具有性质；
（3）若函数具有性质，记函数和的所有极值之和为，求证：＂＂是＂＂的充分非必要条件．
华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷4
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的值域为 ．
【答案】
2．设i是虚数单位，则 ．
【答案】1
3．一组统计数据为，则该组数据的第85百分位数是 ．
【答案】99
4．不等式的解集为 ．
【答案】
5．椭圆的焦距为 ．
【答案】4
6．已知向量，则 ．
【答案】
7．若二项式的展开式中存在常数项，则正整数的最小值为 ．
【答案】11
8．在中，边依次成等比数列，则内角的最大值为 ．
【答案】
9．从5个函数中随机选出两个函数，记选出的两个函数中，图像经过第二象限的函数的个数为，则的数学期望为 ．
【答案】
10．在平面直角坐标系中，已知点，点在抛物线上，若，则点横坐标的取值范围为 ．
【答案】
11．某生产线有一批边长相等的正方形铁皮，用每一块铁皮都可以加工出一个无盖的正四棱锥容器.具体的加工方式为：裁下图1中的阴影部分，余下的四个全等的等腰三角形作为容器的侧面（如图2）.现要求每个容器的容积要达到最大，则在裁剪铁皮时应保证余下的等腰三角形的底角大小为 ．
（第11题图1） （第11题图2）
【答案】
12．设集合由所有满足下列条件的有序数组构成：①每一个元素等于中之一；②，则中元素个数为 ．
【答案】169
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）．
13．已知集合满足，则（ ）.
A．P B．N C．M D．
【答案】A
14．在四面体中，分别是的重心，则与平面平行的棱有（ ）.
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
15．已知数列是正项等差数列，前项和为，则（ ）.
A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等差数列
【答案】
16．已知函数的定义域为［］，对定义域内任意的的取值为或.有如下两个命题：
①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；
②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在8101个可能的取值；则（ ）.
A．①正确； ②正确 B．①正确；②错误
C．①错误；②正确 D．①错误；②错误
【答案】
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.）
已知函数的两个相邻极值点为和．
（1）求函数的解析式；
（2）设是锐角的内角，，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意，即，
即
（2）
且
即
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，侧面积为．点为和的交点，点是棱上一个动点，且不与顶点重合．
（1）当时，求的值；
（2）若锐二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1） （2）或
【解析】（1）棱柱高，在菱形中，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）．则，设长为，则，
∴，即．
（2），
设平面的法向量为，则，
即，令，则
∵，设平面的法向量为，
则即令，则
设锐二面角的平面角为，则，
解得或或．
【解法2】（1）运用三垂线定理；（2）借助二面角平面角的定理，利用余弦定理解决．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
为促进国民身体健康，国家卫生健康委员会2025年在新闻发布会上提出将开展为期3年的＂体重管理年＂活动.某校为了解高一同学的体重情况，从高一年级随机抽取了66名学生，统计了他们的体重（单位：千克），并绘制了如下的茎叶图：
（1）为了解学生＂体重低于75千克＂是否与学生＂性别＂有关，将上述数据绘制成如下的列联表：
①将列联表补充完整；
②是否有的把握认为学生＂体重低于75千克＂与学生＂性别＂有关，说明理由；
（2）现从该校高一年级随机抽取200名学生，用（1）中的频率估计概率，则体重不少于75千克的学生最有可能有多少名？附：，
【答案】（1）①见解析 ②有关 （3）可能是27人
【解析】（1）①列联表如下：
②原假设：学生体重低于75千克与学生性别无关．
取显著性水平，∵拒绝原假设，
∴有的把握认为学生体重低于75千克与学生性别有关.
（2）体重不低于75千克的学生的频率为，记选出的学生中体重不低于75千克的人数为，则，即要求使得最大，，
∵,
∴，
令，则，
∴，
∴当时，最大，∴体重不低于75的最有可能是27人.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知双曲线的右焦点分别为，直线与双曲线的左右支分别交于两点，且．
（1）当时，求双曲线的离心率；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求证：以和为邻边的矩形周长大于．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）由题意，当时，令，则，
即，∴，
∴离心率．
（2）设左焦点为，
由对称性知，∴，即双曲线为，
令，则，
设线段与轴交于点，则，
∵，解得，
∴．
（3）令，则，
∵，∴
∵，即，即，
∵，令，
则，
当且仅当时，等号成立．因此，
∴周长为．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若函数存在极值，并且其导函数的极值点是的零点，则称函数具有性质.
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由；
（2）设函数，求证：函数不具有性质；
（3）若函数具有性质，记函数和的所有极值之和为，求证：＂＂是＂＂的充分非必要条件．
【答案】（1）具有，不具有 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）极值点为是的零点，所以具有性质P．
极值点为时，，所以不具有性质P．
（2），
①恒成立，无极值点，不具有性质P；
②极值点为，对，
若即时，恒成立，无极值点，不具有性质P；
若即时，，代入得；
所以，令，单调递减，不成立，不具有性质P；
充分性：，极值点为，由，得，
一定有两变号零点，设为，
极值点为，
所以，
非必要性：时，．

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